资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.5 弧长和扇形面积的计算
副标题：探索圆弧与扇形的度量奥秘
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解弧长和扇形的概念，明确弧长与圆心角、半径的关系。
掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程，能准确记忆并运用公式。
能运用弧长公式和扇形面积公式解决实际问题中的计算问题，提升几何计算能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：扇形的扇子，扇面边缘的圆弧长度和扇面面积。
图片 2：建筑中的弧形门窗，弧形部分的长度和扇形区域的面积。
提问引导：在这些扇形或弧形结构中，如何计算圆弧的长度和扇形区域的面积？它们与圆的周长和面积存在怎样的联系？这就是本节课要学习的弧长和扇形面积的计算。
幻灯片 4：弧长公式的探索
回顾圆的周长：圆的周长 C = 2πr（r 为圆的半径）。
思考：整个圆的圆心角是 360°，那么 1° 的圆心角所对的弧长是多少？n° 的圆心角所对的弧长又是多少？
分析：360° 的圆心角对应圆的周长 2πr，所以 1° 的圆心角所对的弧长 = 2πr / 360 = πr / 180。
推导：n° 的圆心角所对的弧长 l = n × (πr / 180) = nπr / 180。
弧长公式：l = nπr / 180（其中 n 为圆心角的度数，r 为圆的半径）。
幻灯片 5：弧长公式的数学表述
文字语言：圆心角为 n° 的弧长等于 n 乘以 π 乘以半径再除以 180。
符号语言：l = nπr / 180（n 为圆心角度数，r 为半径，l 为弧长）。
图示强调：绘制一个圆，标注出圆心角 n° 和所对的弧长 l，展示公式中各量的对应关系。
幻灯片 6：弧长计算示例 1
例 1：已知一个圆的半径为 6cm，求圆心角为 60° 的弧长。
解答步骤：
根据弧长公式 l = nπr / 180，其中 n = 60°，r = 6cm。
代入得 l = 60×π×6 / 180 = 360π / 180 = 2π cm。
所以圆心角为 60° 的弧长为 2π cm。
幻灯片 7：弧长计算示例 2
例 2：一条弧的长为 4π cm，所在圆的半径为 6cm，求这条弧所对的圆心角的度数。
解答步骤：
根据弧长公式 l = nπr / 180，已知 l = 4π cm，r = 6cm。
代入得 4π = n×π×6 / 180，两边同时除以 π 得 4 = 6n / 180。
化简得 6n = 4×180 = 720，解得 n = 120°。
所以这条弧所对的圆心角的度数为 120°。
幻灯片 8：扇形面积公式的探索
回顾圆的面积：圆的面积 S = πr 。
思考：整个圆的圆心角是 360°，那么圆心角为 n° 的扇形面积是多少？
分析：360° 的圆心角对应圆的面积 πr ，所以 1° 的圆心角对应的扇形面积 = πr / 360。
推导：圆心角为 n° 的扇形面积 S = n × (πr / 360) = nπr / 360。
扇形面积公式 1：S = nπr / 360（其中 n 为圆心角的度数，r 为圆的半径）。
幻灯片 9：扇形面积公式的另一种表达
结合弧长公式推导：
由弧长公式 l = nπr / 180，可得 nπr = 180l。
扇形面积公式 S = nπr / 360 = (nπr × r) / 360 = (180l × r) / 360 = lr / 2。
扇形面积公式 2：S = lr / 2（其中 l 为扇形的弧长，r 为圆的半径）。
说明：当已知弧长和半径时，使用公式 2 计算扇形面积更简便。
幻灯片 10：扇形面积计算示例 1
例 3：已知一个扇形的半径为 8cm，圆心角为 90°，求这个扇形的面积。
解答步骤：
根据扇形面积公式 1S = nπr / 360，其中 n = 90°，r = 8cm。
代入得 S = 90×π×8 / 360 = 90×π×64 / 360 = 5760π / 360 = 16π cm 。
所以这个扇形的面积为 16π cm 。
幻灯片 11：扇形面积计算示例 2
例 4：一个扇形的弧长为 6π cm，半径为 6cm，求这个扇形的面积。
解答步骤：
根据扇形面积公式 2S = lr / 2，其中 l = 6π cm，r = 6cm。
代入得 S = 6π×6 / 2 = 36π / 2 = 18π cm 。
所以这个扇形的面积为 18π cm 。
幻灯片 12：练习 1（弧长和扇形面积基础计算）
题目：
(1) 已知圆的半径为 5cm，圆心角为 108° 的弧长为______cm。
(2) 一个扇形的半径为 10cm，面积为 25π cm ，则这个扇形的圆心角为______°。
(3) 扇形的弧长为 10π cm，圆心角为 150°，则扇形的半径为______cm，面积为______cm 。
答案：
(1) 3π（提示：l = 108×π×5 / 180 = 3π）。
(2) 90（提示：25π = n×π×10 / 360，解得 n = 90）。
(3) 12，60π（提示：由 10π = 150×π×r / 180 得 r = 12，面积 S = 10π×12 / 2 = 60π）。
幻灯片 13：弧长和扇形面积的实际应用示例
例 5：一个圆形花坛的半径为 3m，现要在花坛周围种上 2m 宽的环形草坪，求草坪的面积和环形外边缘的弧长（结果保留 π）。
解答步骤：
草坪是环形，外圆半径 R = 3 + 2 = 5m，内圆半径 r = 3m。
草坪面积 = 外圆面积 - 内圆面积 = πR - πr = π×5 - π×3 = 25π - 9π = 16π m 。
环形外边缘的弧长即外圆的周长，l = 2πR = 2π×5 = 10π m。
所以草坪的面积为 16π m ，环形外边缘的弧长为 10π m。
幻灯片 14：练习 2（实际应用问题）
题目：
(1) 一个扇形零件的半径为 5cm，圆心角为 72°，求这个零件的弧长和面积。
(2) 如图，一个圆心角为 120° 的扇形，半径为 6cm，求这个扇形的周长（结果保留 π）。
答案：
(1) 弧长 l = 72×π×5 / 180 = 2π cm，面积 S = 72×π×5 / 360 = 5π cm 。
(2) 扇形周长 = 弧长 + 2× 半径 = 120×π×6 / 180 + 2×6 = 4π + 12 cm。
幻灯片 15：课堂总结
公式回顾：
弧长公式：l = nπr / 180（n 为圆心角度数，r 为半径）。
扇形面积公式：S = nπr / 360 或 S = lr / 2（l 为弧长，r 为半径）。
解题关键：
明确公式中各量的含义，根据已知条件选择合适的公式。
计算时注意单位统一，结果可根据要求保留 π 或取近似值。
实际应用：在解决环形面积、扇形零件尺寸等问题时，灵活运用弧长和扇形面积公式。
幻灯片 16：课后作业
基础作业：教材中与弧长和扇形面积计算相关的练习题，巩固公式的基本应用。
拓展作业：
一个钟面的半径为 10cm，从 3 点到 3 点 30 分，分针针尖走过的弧长是多少？分针扫过的面积是多少？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，以点 C 为圆心，CA 为半径画弧交 AB 于点 D，求 AD 的长。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.5 弧长和扇形面积的计算
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解扇形、圆锥等有关概念.
2.经历探索弧长、扇形面积公式的过程.
3.会计算弧长及扇形的面积.
4.知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系，会计算圆锥的侧面积.
1.圆的周长如何计算
2.圆的面积如何计算
3.圆周长所对的圆心角是多少度
学生活动一
通过阅读课本P167—P168,并完成1-2题，推导出扇形的弧长公式和面积公式
学生活动二
1.一条 和经过这条弧的两条 所组成的图形叫做扇形.如图1，由 组成的图形是一个扇形，由 组成的图形也是一个扇形.在同一个圆中，一个扇形对应一个 ,反过来，一个圆心角对应一个 .
给定的圆心角 1° 90° n°
所对的弧长
扇形面积
2.半径为r的☉O ，它的周长为2πr，面积为πr2，圆心角为360°。按下表给定的圆心角，计算所对的弧长以及扇形的面积，填写下表：
弧长公式是 .
扇形的面积公式是① .
② .
学生活动三
3.请完成下表：
扇形半径/cm 扇形圆心角/° 扇形弧长/cm 扇形面积/cm2
5 30°
2 0.4π
20π 240π
3 3π
学生活动四
自主课本第168页圆锥的有关概念：
1.圆锥的 与底面圆周上 的连线叫做圆锥的母线.如图 1， 是圆锥的母线；圆锥的 与底面 之间的线段叫做圆锥的高.如图 1， 是圆锥的高.
归纳:如图 1，若我们将 OA 记作r，CA 记作 R,CO 记作 h,∠BCA=n,请指出圆锥与其侧面展开图之间联系:
（1） (圆锥底面周长与扇形的弧长之间的关系).
（2） (侧面展开图的面积S与r，R之间的关系).
学生活动五
（3） (r，R的比与n 之间的关系).
（4） (r，R与h之间的关系).
（5） (你还有什么要补充的吗 ).
1.圆锥的侧面展开图是一个弧长为 12π的扇形，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A. 24 B.12 C.6 D.3
2.用一个半径为 30，圆心角为 120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是( )
A.10 B.20 C.10π D.20π
3.圆锥的母线长为 12，底面圆的半径为6，则圆锥的侧面积是 (结果保留 π).
4.用一块半径为 4，圆心角为 90 °的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高为 .
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D
1.
如图所示，一张直径为40 cm的圆饼被切掉了一块，则优弧ABC的长度为(　　)
A．10π cm
B．15π cm
C．20π cm
D．30π cm
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2.
A
某钟表分针长度为5 cm，则经过30分钟分针针尖走过的路线长为(　　)
3.
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，∵OD⊥BC，
∴∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠C，
∴OD∥AC，∴∠BOD＝∠A＝60°.
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，∠A＝60°，半径OD⊥BC，垂足为点E.
(1)求∠BOD的度数；
(2)若AB＝8，求BD的长．
︵
︵
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4.
A
如图，在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，若AB1恰好经过点C，则阴影部分的面积为(　　)
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5.
11π
[2024吉林中考]某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形BOC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D．OA＝1 m，OB＝10 m，∠AOD＝40°，则阴
影部分的面积为________m2
(结果保留π)．
6.
如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，AB的长为10.
(1)求⊙O的半径；
(2)求劣弧BC的长及扇形BOC的面积．
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7.
B
一个扇形的半径为30 cm，圆心角为120°，用它作一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为(　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．20 cm
D．30 cm
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8.
1 cm
[2024徐州中考]将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4π cm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为________．
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9.
D
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10.
[2024宿迁中考]如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的DF的长为________．
︵
1.扇形定义:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
2.弧长和扇形面积公式:l=,S==lr.
3.弧长和扇形面积的应用:已知公式中的两个量，可以求另外一个量.
4.圆锥母线、高的定义:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高.
5.圆锥的侧面积:圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图的扇形的面积,扇形的弧长为圆锥底面周长，扇形的半径为圆锥的母线.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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