资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.1 一元二次方程
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握一元二次方程的概念。
掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
体会方程是刻画现实世界的数学模型，感受其与实际生活的紧密联系。
幻灯片 3：知识回顾
方程的定义：含有未知数的等式。
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的整式方程，如 5x - 2 = x + 1 。
幻灯片 4：情景引入（一）
问题描述：如图，有一块矩形铁皮，长 100cm，宽 50cm。在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，制作一个无盖方盒。若要制作的无盖方盒的底面积是 3600cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析过程：设切去的正方形边长为 x cm，则盒底的长为 (100 - 2x) cm，宽为 (50 - 2x) cm。根据方盒底面积为 3600cm ，可列出方程 (100 - 2x)(50 - 2x) = 3600 。
方程整理：展开式子得 5000 - 200x - 100x + 4x = 3600 ，进一步整理为 4x - 300x + 1400 = 0 ，两边同时除以 4 得 x - 75x + 350 = 0 。
幻灯片 5：情景引入（二）
问题描述：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
分析过程：设比赛组织者应邀请 x 个队参赛。每个队要和其他 (x - 1) 个队比赛一场，但两队之间只比赛一场，所以比赛总场数为\(\frac{x(x - 1)}{2}\)。已知赛程共 7 天，每天 4 场比赛，总场数为 28 场，可列出方程\(\frac{x(x - 1)}{2}=28\)。
方程整理：方程两边同时乘以 2 得 x (x - 1) = 56 ，展开式子得 x - x - 56 = 0 。
幻灯片 6：一元二次方程的概念
观察思考：观察方程 x - 75x + 350 = 0 与 x - x - 56 = 0 ，它们有什么共同特点？
共同特点总结：
都是整式方程（等号两边都是整式）。
只含有一个未知数（一元）。
未知数的最高次数是 2（二次）。
定义给出：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
幻灯片 7：一元二次方程的一般形式
一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
各项名称：
ax 是二次项，a 是二次项系数。
bx 是一次项，b 是一次项系数。
c 是常数项。
强调要点：a≠0 这个条件至关重要，因为若 a = 0，方程就不再是二次方程；b、c 可以为 0 。
幻灯片 8：例题讲解（一）
例题：判断下列方程哪些是一元二次方程？
7x + 6 = 2x(3x + 1)
2x - 77 = 0
x = 0
x - 3y + 2 = 0
\(\frac{1}{x }+x - 1 = 0\)
解答过程：
对 7x + 6 = 2x (3x + 1) 进行整理，展开右边式子得 7x + 6 = 6x + 2x ，移项得 7x - 6x - 2x + 6 = 0 ，即 x - 2x + 6 = 0 ，是一元二次方程。
2x - 77 = 0 ，未知数最高次数是 1，是一元一次方程，不是一元二次方程。
x = 0 ，符合一元二次方程定义，是一元二次方程。
x - 3y + 2 = 0 ，含有两个未知数 x 和 y，不是一元二次方程。
\(\frac{1}{x }+x - 1 = 0\) ，分母中含有未知数 x，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程。
总结判断方法：首先判断是否为整式方程，若是整式方程再化简整理，看是否只含有一个未知数且未知数最高次数为 2 。
幻灯片 9：例题讲解（二）
例题：将方程 3x (x - 1) = 5 (x + 2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
解答过程：
展开方程左边得 3x - 3x ，展开右边得 5x + 10 。
移项使右边为 0，得到 3x - 3x - 5x - 10 = 0 。
合并同类项得 3x - 8x - 10 = 0 ，这就是一般形式。
二次项是 3x ，二次项系数是 3；一次项是 - 8x，一次项系数是 - 8；常数项是 - 10 。
强调要点：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包含前面的符号。
幻灯片 10：课堂练习
下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 2x + 1 = 0
B. y + x = 1
C. x + 1 = 0
D. \(\frac{1}{x}+x = 1\)
把方程 (x - 2)(x + 3) = 2 化为一般形式是______，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。
关于 x 的方程 (m - 2) x + 3x - 1 = 0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是______。
幻灯片 11：课堂小结
一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数最高次数为 2 的方程。
一般形式：ax + bx + c = 0（a≠0），明确二次项、一次项、常数项及其系数。
判断方法：先看是否为整式方程，再整理判断是否符合一元二次方程定义。
注意事项：确定系数和项时要带上符号，注意 a≠0 这个条件。
幻灯片 12：作业布置
教材课后相关练习题。
预习一元二次方程的解法。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.1一元二次方程
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会设未知数，列一元二次方程.
2.了解一元二次方程及其根的概念.
3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
列方程解决应用题的一般过程是什么？
审、设、列、解、验、答
请你根据题意列出等量关系式.
解：设雕像的下部应设计为 x m
x2+2x-4=0
只含一个未知数x且最高次数是2
把列出的式子化简，仔细观察它是一元一次方程吗？有什么特点？
新知探究
知识点1
一元二次方程的概念
x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56
思考1：这几个方程有什么共同点？
等号两边都是整式；
只含一个未知数；
未知数的最高次数是2.
=
=
=
x
x
x
x
x
x
2
2
2
阅读课本P2-P3问题1、问题2，回答下列问题：
新知探究
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
思考2：你能总结出一元二次方程的定义吗？
知识点1
一元二次方程的概念
是否为整式方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
不是一元二次方程
是否满足“一元”和“二次”
是
否
是一元二次方程
不是一元二次方程
是
否
识别一元二次方程的方法：
总结
一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c =0(a≠0).
知识点2
一元二次方程的一般形式
x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).
知识点2
一元二次方程的一般形式
x2+2x-4=0 x2－75x+350=0 x2-x=56
因为a=0时，方程为bx+c=0，此时方程是一元一次方程而不是一元二次方程.
为什么要规定a≠0？
一元二次方程的特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0) a b 0
ax2+c=0(a≠0，c≠0) a 0 c
ax2=0(a≠0) a 0 0
一元二次方程的特殊形式:
一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
知识点3
一元二次方程的解（根）
下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数x的值分别代入方程x2+x-12=0中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当x=3或-4时，方程x2+x-12=0左右两边相等.
【选自教材P4 习题21.1 第3题】
练一练
解：一般形式：5x2-4x-1=0
二次项系数：5
一次项系数：-4
常数项：-1
解：一般形式：4x2-81=0
二次项系数：4
一次项系数：0
常数项：-81
4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中
的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）5x2-1 = 4x； （2）4x2=81；
【教材P4 练习 第1题】
（3）4x(x+2)=25； （4）(3x -2)(x+1)=8x -3.
解：一般形式：4x2+8x-25=0
二次项系数：4
一次项系数：8
常数项：-25
解：一般形式：3x2-7x+1=0
二次项系数：3
一次项系数：-7
常数项：1
5. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化
成一元二次方程的一般形式：
(1) 4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形
的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的
积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
4x2=25，化为一般形式为4x2-25=0.
x(x-2)=100，化为一般形式为x2-2x-100=0.
x·1=(1- x) 2，化为一般形式为x2-3x+1=0.
【教材P4 练习 第2题】
6. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次
方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是2π m2，求半径；
解：设这个圆的半径为r m.
由圆的面积公式，得πr2=2π,
所以r2=2，即r2-2=0.
【选自教材P4 习题21.1 第2题】
（2）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积
是9cm2，求较长的直角边的长.
解：设这个直角三角形较长的直角边为xcm，
则另一条直角边为(x-3)cm.
根据题意，得 x(x-3)=9,
整理，得x2-3x-18=0.
7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次
方程的一般形式：
（1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩
形的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xcm，则长为(x+1)cm.
根据题意，得x(x+1)=132,
整理，得x2+x-132=0.
【选自教材P4 习题21.1 第4题】
7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次
方程的一般形式：
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为
0.06m2的矩形
解：设矩形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
整理，得x2-0.5x+0.06=0.
【选自教材P4 习题21.1 第5题】
7. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次
方程的一般形式：
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共
握手10次，有多少人参加聚会？
解：设有x人参加聚会,
根据题意，得 x(x-1)=10，
整理，得x2-x-20=0.
【选自教材P4 习题21.1 第6题】
知识点1 一元二次方程的定义
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.［2025邯郸邯山区月考］若方程 是一元二次方程，
则 的值为( )
D
A.0 B.1 C.2 D.3
返回
3.若关于的方程是一元二次方程，则 的取值
范围是_______.
返回
知识点2 一元二次方程的一般形式
4.一元二次方程 的二次项系数是( )
B
A.2 B.3 C.4 D.
返回
5.［2025保定月考］将一元二次方程 化成一般形式后，二
次项系数和一次项系数分别为( )
C
A.3， B.3，4 C.3， D.，
返回
6.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、
一次项系数及常数项.
（1） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是9，一次项系数
是0，常数项是 .
（2） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系
数是，常数项是 .
（3） ；
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是6，一次项
系数是2，常数项是 .
（4） .
解：方程化为一般形式为 ，二次项系数是3，一次项系
数是，常数项是 .
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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