资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.2.1.1 直接开平方法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解直接开平方法的概念和适用条件。
掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
能运用直接开平方法解决简单的一元二次方程问题。
幻灯片 3：知识回顾
一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0（a≠0）。
平方根的性质：如果 x = a（a≥0），那么 x = ±√a ；当 a < 0 时，方程无实数根。
幻灯片 4：情景引入
问题：一块正方形土地的面积是 25 平方米，求这块土地的边长。
分析：设正方形土地的边长为 x 米，根据正方形面积公式可得 x = 25 。
求解：根据平方根的性质，x = ±√25 = ±5 。因为边长不能为负数，所以 x = 5 ，即这块土地的边长是 5 米。
引出课题：像这样通过开平方来求解一元二次方程的方法，就是我们今天要学习的直接开平方法。
幻灯片 5：直接开平方法的概念
定义：通过直接开平方的方式来求一元二次方程解的方法，叫做直接开平方法。
适用方程形式：形如 x = p（p≥0）或（mx + n） = p（p≥0，m≠0）的一元二次方程，可直接用开平方法求解。
说明：当 p < 0 时，因为一个数的平方不可能是负数，所以方程无实数根。
幻灯片 6：形如 x = p（p≥0）的解法
解题步骤：
把方程化为 x = p 的形式，其中 p 为常数。
若 p≥0，根据平方根的性质，方程的解为 x = ±√p ；若 p < 0，方程无实数根。
例题：解方程 x = 16 。
解：根据平方根的性质，x = ±√16 = ±4 ，所以方程的解为 x = 4，x = -4 。
幻灯片 7：形如（mx + n） = p（p≥0，m≠0）的解法
解题步骤：
把方程化为（mx + n） = p 的形式，其中 m、n 为常数，m≠0，p 为常数且 p≥0。
对方程两边同时开平方，得到 mx + n = ±√p 。
解一元一次方程 mx + n = √p 和 mx + n = -√p，得到方程的两个解。
例题：解方程（x - 3） = 25 。
解：方程两边同时开平方得 x - 3 = ±√25 = ±5 。
当 x - 3 = 5 时，解得 x = 8 ；当 x - 3 = -5 时，解得 x = -2 。
所以方程的解为 x = 8，x = -2 。
幻灯片 8：例题讲解（一）
例题：解方程 2x - 8 = 0 。
解答过程：
移项得 2x = 8 。
两边同时除以 2 得 x = 4 。
根据平方根的性质，x = ±√4 = ±2 。
所以方程的解为 x = 2，x = -2 。
强调要点：先将方程化为 x = p 的形式，再进行开平方求解。
幻灯片 9：例题讲解（二）
例题：解方程 3（x + 2） = 12 。
解答过程：
两边同时除以 3 得（x + 2） = 4 。
方程两边同时开平方得 x + 2 = ±√4 = ±2 。
当 x + 2 = 2 时，解得 x = 0 ；当 x + 2 = -2 时，解得 x = -4 。
所以方程的解为 x = 0，x = -4 。
强调要点：对于含有系数的方程，先将系数化为 1，再按照形如（mx + n） = p 的解法步骤求解。
幻灯片 10：课堂练习
解方程 x = 25 ，解为______。
解方程（x + 1） = 9 ，解为______。
解方程 3x - 27 = 0 ，解为______。
解方程 2（x - 5） = 18 ，解为______。
判断方程 x = -3 是否有实数根，答：______。
幻灯片 11：课堂小结
直接开平方法的概念：通过直接开平方求一元二次方程解的方法。
适用方程类型：
x = p（p≥0），解为 x = ±√p 。
（mx + n） = p（p≥0，m≠0），解为 x = \(\frac{-n ± p}{m}\) 。
解题关键：将方程化为可直接开平方的形式，注意 p 的取值范围对根的影响。
幻灯片 12：作业布置
教材课后对应练习题。
思考：如何用直接开平方法解方程 x - 6x + 9 = 4 ？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.1.1直接开平方法
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程.
2.能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程.
3.体会“降次”的数学思想.
1.如果x2=a，则x叫做a的 .
2.如果x2=a(a≥0)，则x= .
3.如果x2=16，则x= .
4.任何数都有平方根吗？
平方根
±4
负数没有平方根.
阅读课本P5问题1，回答下列问题：
思考1：你能根据题目列出方程吗？
思考2：解该一元二次方程的依据是什么？
思考3：你能总结出直接开平方的方法吗？
x2=25.
知识点1
用直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义.
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
对于方程：x2=p，
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
；
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根.
根据平方根意义解下列方程：
4x2-16=0
16x2-5=20
2x2-4=0
x2=4
x=±2
x1=2，x2=-2
x2=
x=
x1= ，x2=
练一练
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式；
（2）开平方，将方程化为两个一元一次方程；
（3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
归纳总结
知识点2
降次
你认为应怎样解方程(x+3)2=5
由方程x2=25得x=±5.
以此类推：
由方程(x+3)2=5，可得
解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解.
当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 ,
当p<0时，方程(mx+n)2=p .
无实数根
一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，
其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一
次方程是（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4
D
随堂练习
2. 方程3x2+9=0的根为（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根
3. 若8x2-16=0，则x的值是 .
D
解：2x2 = 8
x2 = 4
x1=2， x2=－2
解： x2 =
x1= ， x2=
4.解下列方程：
（1）2x2-8 = 0； （2）9x2-5=3；
【选自教材P6 练习】
解：(x+6)2 = 9
x+6 = ±3
x1= －3， x2=－9
（3）(x+6)2-9 = 0； （4）3(x－1)2－6 = 0；
解： 3(x－1)2 = 6
(x－1)2 = 2
x－1 = ±
x1=1+ ， x2=1－
解： (x-2)2 = 5
x-2 =±
x1=2+ ， x2=2－
解： 9x2 =－4
x2 =
方程无实数根
（5）x2-4x +4 = 5； （6）9x2+5 = 1.
解： x2 =
x1= ， x2=
解： x2 =
x1 = ，x2 =
（1）36x2-1 = 0； （2）4x2 =81;
5. 解下列方程：
【选自教材P16 习题21.2 第1题】
解： x+5 =±5
x1=0， x2=-10
解： (x+1)2 = 4
x+1 =±2
x1=1， x2= -3
（3）(x+5)2 =25； （4）x2+2x+1= 4.
知识点1 形如 的方程的解法
1.一元二次方程 的解是( )
B
A. B.,
C. D.
返回
2.一元二次方程 的根是( )
C
A. B.，
C.， D.
返回
3.若一元二次方程的根分别是，，且，则 的值为
____.
返回
4.用直接开平方法解下列方程：
（1） ;
解：移项，得，即 .
两边直接开平方，得， .
（2） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
即 .
两边直接开平方，得， .
（3） ；
解：移项、合并同类项，得 ，
即 .
两边直接开平方，得， .
（4）［教材练习T（6）变式］ .
解：移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
对于任意实数，都有 ，
原方程无实数根.
返回
知识点2 形如 的方程的解法
5.一元二次方程 可以转化为两个一元一次方程，其中一个
一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程为( )
D
A. B. C. D.
返回
6.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么
的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
返回
7.用直接开平方法解一元二次方程 的步骤如下：
，， .
其中开始出错的步骤是____.（填序号）
②
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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