资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.2.1.2 配方法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解配方法的概念和基本原理。
掌握用配方法将一元二次方程化为（x + m） = n（n≥0）形式的步骤。
能运用配方法熟练求解一元二次方程。
幻灯片 3：知识回顾
完全平方公式：(a + b) = a + 2ab + b ；(a - b) = a - 2ab + b 。
直接开平方法：对于形如（x + m） = n（n≥0）的方程，其解为 x = -m ±√n 。
问题思考：如何解方程 x + 6x + 9 = 25 ？（可化为（x + 3） = 25 ，用直接开平方法求解）
幻灯片 4：情景引入
问题：如何解方程 x + 6x - 16 = 0 ？
分析：这个方程无法直接用开平方法求解，因为左边不是一个完全平方式。能否把左边变成一个完全平方式呢？
尝试转化：x + 6x = 16 ，观察 x + 6x ，根据完全平方公式，x + 6x + 9 = (x + 3) ，所以在方程两边同时加 9，得到 x + 6x + 9 = 16 + 9 ，即（x + 3） = 25 ，此时可利用直接开平方法求解。
引出课题：这种通过配方将方程转化为可直接开平方式子的方法，就是配方法。
幻灯片 5：配方法的概念
定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
核心思想：将一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）转化为（x + m） = n 的形式，其中 n≥0，再利用直接开平方法求解。
关键步骤：把方程左边的二次三项式配成完全平方的形式。
幻灯片 6：配方的基本步骤（以 x + bx 为例）
步骤解析：对于 x + bx ，要配成完全平方形式，需要加上一次项系数一半的平方，即 x + bx + \((\frac{b}{2})^2\) = \((x + \frac{b}{2})^2\) 。
示例：
x + 8x ，一次项系数为 8，一半是 4，平方是 16，所以 x + 8x + 16 = (x + 4) 。
x - 10x ，一次项系数为 - 10，一半是 - 5，平方是 25，所以 x - 10x + 25 = (x - 5) 。
幻灯片 7：用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤
解题步骤：
移项：把常数项移到方程右边，得 x + bx = -c 。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x + bx + \((\frac{b}{2})^2\) = -c + \((\frac{b}{2})^2\) 。
化为完全平方形式：左边化为（x + \(\frac{b}{2}\)） ，右边合并同类项，得（x + \(\frac{b}{2}\)） = \((\frac{b}{2})^2 - c\) 。
开平方：若右边是非负数，即\((\frac{b}{2})^2 - c\) ≥ 0 ，则 x + \(\frac{b}{2}\) = ±√\((\frac{b}{2})^2 - c\) 。
求解：解一元一次方程，得到 x = - \(\frac{b}{2}\) ±√\((\frac{b}{2})^2 - c\) 。
幻灯片 8：例题讲解（一）
例题：解方程 x + 6x - 16 = 0 。
解答过程：
移项得 x + 6x = 16 。
配方：方程两边同时加\((\frac{6}{2})^2 = 9\) ，得 x + 6x + 9 = 16 + 9 。
化为完全平方形式：（x + 3） = 25 。
开平方得 x + 3 = ±5 。
求解：当 x + 3 = 5 时，x = 2 ；当 x + 3 = -5 时，x = -8 。
所以方程的解为 x = 2，x = -8 。
强调要点：配方时两边需同时加上相同的数，保证等式成立。
幻灯片 9：用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程步骤
解题步骤：
化二次项系数为 1：方程两边同时除以二次项系数 a，得 x + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 。
移项：把常数项移到方程右边，得 x + \(\frac{b}{a}\)x = - \(\frac{c}{a}\) 。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上\((\frac{b}{2a})^2\) ，得 x + \(\frac{b}{a}\)x + \((\frac{b}{2a})^2\) = - \(\frac{c}{a}\) + \((\frac{b}{2a})^2\) 。
化为完全平方形式：左边化为（x + \(\frac{b}{2a}\)） ，右边合并同类项。
后续步骤同二次项系数为 1 的情况，开平方并求解。
幻灯片 10：例题讲解（二）
例题：解方程 2x - 8x - 10 = 0 。
解答过程：
化二次项系数为 1：方程两边同时除以 2，得 x - 4x - 5 = 0 。
移项得 x - 4x = 5 。
配方：方程两边同时加\((\frac{-4}{2})^2 = 4\) ，得 x - 4x + 4 = 5 + 4 。
化为完全平方形式：（x - 2） = 9 。
开平方得 x - 2 = ±3 。
求解：当 x - 2 = 3 时，x = 5 ；当 x - 2 = -3 时，x = -1 。
所以方程的解为 x = 5，x = -1 。
幻灯片 11：课堂练习
用配方法解方程 x - 2x - 3 = 0 ，解为______。
用配方法解方程 x + 4x + 1 = 0 ，解为______。
用配方法解方程 2x + 4x - 6 = 0 ，解为______。
将方程 3x - 6x + 1 = 0 化为（x + m） = n 的形式，结果为______。
幻灯片 12：课堂小结
配方法的概念：通过配成完全平方形式求解一元二次方程的方法。
核心步骤：
二次项系数化为 1（若不为 1）。
移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
配方，两边加一次项系数一半的平方。
化为（x + m） = n 形式，用直接开平方法求解。
注意事项：配方时两边需同时加相同的数，保证等式平衡；注意符号的正确性。
幻灯片 13：作业布置
教材课后对应练习题。
思考：用配方法推导一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的求根公式。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.1.2配方法
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
方程(x+3)2=5我们可以用直接开平方法来求解，那么，你能将方程x2+6x+4=0转化为(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解吗？
使左边配成
x2+2bx+b2的形式
两边加9
知识点
用配方法解一元二次方程
x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
左边写成完全平方形式
(x+3)2=5
降次
x+3=±
x+3= ，或x+3=-
解一次方程
x1=-3+ ，x2=-3-
思考：为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加
其他数行吗？
使左边配成
x2+2bx+b2的形式
两边加9
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.
归纳总结
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
配方法的基本思路：
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(1)解：移项，得：x2-8x=-1.
配方，得：x2-8x+42=-1+42，
(x-4)2=15.
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
(2) 2x2+1=3x
解：移项，得：2x2-3x=-1.
二次项系数化为1，得：
配方，得：
分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
(3) 与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方.
例1 解下列方程：
(1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0.
(3) 3x2-6x+4=0
解：移项，得：3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得： .
配方，得：
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
归纳总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则 ，方程有两个不等的实数根
②当p=0时，则 x+n=0，方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n；
③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根.
1.填空：
(1) x2+6x+_____= ( x+_____)2；
(2) x2-x+_____= ( x-_____)2；
(3) 4x2+4x+_____= ( 2x+_____)2；
(4) x2- x+_____= ( x-_____)2.
9
3
1
1
【选自教材P17 习题21.2 第2题】
随堂练习
2. 解下列方程：
（1）x2+10x +9 = 0； （2）x2 －x － = 0；
解：移项，得 x2+10x =－9
配方，得 x2+10x +52 =－9+52
(x+5)2 =16
由此可得 x+5 =±4
x1= －1 ， x2=－9
解：移项，得 x2 － x =
配方，得x2 － x +( )2 = +( )2
(x － )2 = 2
由此可得 x－ =±
x1= + ， x2= －
【选自教材P9 练习 第2题】
（3）3x2+6x －4 = 0； （4）4x2 －6x －3 = 0；
解：移项，得 3x2+6x =4
二次项系数化为1，得 x2+2x =
配方，得 x2+2x +12 = +12
由此可得 x+1 =±
x1= －1+ ， x2=－1－
(x +1)2 =
解：移项，得 4x2 －6x =3
二次项系数化为1，得 x2－ x =
配方，得 x2－ x +( )2 = +( )2
由此可得 x－ =±
(x－ )2 =
x1= ， x2=
2. 解下列方程：
【选自教材P9 练习 第2题】
（5）x2+4x－9 = 2x－11； （6）x(x +4) = 8x+12.
解：移项，得 x2+4x-2x=-11+9
x2+2x =-2
配方，得 x2+2x +12 = -2+12
原方程无实数根.
(x +1)2 =-1
解：移项，得x2 +4x = 8x+12
x2 －4x = 12
配方，得x2 －4x+22=12+22
由此可得x－2 =±4
x1= 6， x2= －2
(x－2)2 = 16
2. 解下列方程：
【选自教材P9 练习 第2题】
3. 用配方法解下列方程：
（1）x2+10x +16 = 0； （2）x2 －x － = 0；
解：移项，得 x2+10x = -16
配方，得 x2+10x +52 = -16+52
(x+5)2 =9
由此可得 x+5 =±3
x1= -2 ， x2= -8
解：移项，得 x2 － x =
配方，得x2 － x +( )2 = +( )2
(x － )2 = 1
由此可得 x－ =±1
x1= ， x2=
【选自教材P17 习题21.2 第3题】
知识点1 二次三项式的配方
1.［教材练习 变式］用适当的数填空：
（1）（___） ；
（2）____（___） ；
（3）___（__） ；
（4）___（__） .
1
25
5
返回
2.若二次三项式是一个完全平方式，则 的值为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.
返回
知识点2 解二次项系数为1的一元二次方程
3.［2025邯郸峰峰矿区期中］用配方法解方程 时，左、
右两边需同时加上( )
C
A.4 B.8 C.16 D.64
返回
4.用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
5.用配方法解方程： .
解：移项，得 .
两边同时加上_____，
得_____ _____，
即（__） ___.
开平方，得_____________，
解得______， ______.
返回
6.解下列方程：
（1）［2024徐州中考］ ；
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 ，
开平方，得 ，
解得， .
（2） ；
解：移项，得 .
配方，得 ，
即 .
开平方，得 ，
解得， .
（3） .
解：移项，得 .
配方，得，即 .
， 原方程无实数根.
返回
知识点3 解二次项系数不为1的一元二次方程
7.把方程 的二次项系数化为1，可得( )
C
A. B.
C. D.
返回
8.用配方法解方程 时，可以将方程化为( )
A
A. B.
C. D.
返回
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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