资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.2.2 公式法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程。
掌握一元二次方程的求根公式，能运用公式法解一元二次方程。
理解根的判别式的意义，能根据判别式判断方程根的情况。
幻灯片 3：知识回顾
配方法步骤：
化二次项系数为 1。
移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
配方，两边加一次项系数一半的平方。
化为（x + m） = n 形式，用直接开平方法求解。
问题回顾：用配方法推导一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的求根公式（承接上节课作业）。
幻灯片 4：求根公式的推导
推导过程：
对于方程 ax + bx + c = 0（a≠0），化二次项系数为 1，得 x + \(\frac{b}{a}\)x + \(\frac{c}{a}\) = 0 。
移项得 x + \(\frac{b}{a}\)x = - \(\frac{c}{a}\) 。
配方：两边加\((\frac{b}{2a})^2\) ，得 x + \(\frac{b}{a}\)x + \((\frac{b}{2a})^2\) = - \(\frac{c}{a}\) + \((\frac{b}{2a})^2\) 。
化为完全平方形式：（x + \(\frac{b}{2a}\)） = \(\frac{b - 4ac}{4a }\) 。
当 b - 4ac ≥ 0 时，开平方得 x + \(\frac{b}{2a}\) = ±\(\frac{\sqrt{b - 4ac}}{2a}\) 。
求解得 x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\) 。
结论：一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的求根公式为 x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（b - 4ac ≥ 0）。
幻灯片 5：公式法的概念
定义：利用求根公式 x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（b - 4ac ≥ 0）解一元二次方程的方法，叫做公式法。
意义：公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有一元二次方程（在有实数根的情况下）。
与配方法关系：公式法是配方法的一般化和公式化，避免了每次解方程都重复配方过程。
幻灯片 6：根的判别式
定义：把 b - 4ac 叫做一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的根的判别式，通常用符号 “Δ” 表示，即 Δ = b - 4ac 。
根的情况判断：
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根：x = \(\frac{-b + \sqrt{ }}{2a}\)，x = \(\frac{-b - \sqrt{ }}{2a}\) 。
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根：x = x = - \(\frac{b}{2a}\) 。
当 Δ < 0 时，方程没有实数根。
幻灯片 7：用公式法解一元二次方程的步骤
解题步骤：
把方程化为一般形式 ax + bx + c = 0（a≠0），确定 a、b、c 的值。
计算判别式 Δ = b - 4ac 。
根据 Δ 的值判断方程根的情况：
若 Δ < 0，方程无实数根，解题结束。
若 Δ ≥ 0，将 a、b、Δ 的值代入求根公式 x = \(\frac{-b ±\sqrt{ }}{2a}\) 。
计算并写出方程的根。
幻灯片 8：例题讲解（一）
例题：用公式法解方程 x - 7x + 12 = 0 。
解答过程：
确定一般形式：a = 1，b = -7，c = 12 。
计算判别式：Δ = (-7) - 4×1×12 = 49 - 48 = 1 > 0 。
代入求根公式：x = \(\frac{-(-7) ±\sqrt{1}}{2 1}\) = \(\frac{7 ±1}{2}\) 。
计算得：x = \(\frac{7 + 1}{2}\) = 4，x = \(\frac{7 - 1}{2}\) = 3 。
所以方程的解为 x = 4，x = 3 。
幻灯片 9：例题讲解（二）
例题：用公式法解方程 2x + 4x - 1 = 0 。
解答过程：
确定一般形式：a = 2，b = 4，c = -1 。
计算判别式：Δ = 4 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 > 0 。
代入求根公式：x = \(\frac{-4 ±\sqrt{24}}{2 2}\) = \(\frac{-4 ±2\sqrt{6}}{4}\) = \(\frac{-2 ±\sqrt{6}}{2}\) 。
所以方程的解为 x = \(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\)，x = \(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\) 。
强调要点：结果要化为最简形式，根号下的数需化简。
幻灯片 10：例题讲解（三）
例题：用公式法解方程 3x - 6x + 3 = 0 。
解答过程：
确定一般形式：a = 3，b = -6，c = 3 。
计算判别式：Δ = (-6) - 4×3×3 = 36 - 36 = 0 。
代入求根公式：x = \(\frac{-(-6) ±\sqrt{0}}{2 3}\) = \(\frac{6}{6}\) = 1 。
所以方程有两个相等的实数根 x = x = 1 。
幻灯片 11：例题讲解（四）
例题：判断方程 x + x + 1 = 0 是否有实数根。
解答过程：
确定一般形式：a = 1，b = 1，c = 1 。
计算判别式：Δ = 1 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3 < 0 。
结论：因为 Δ < 0，所以方程 x + x + 1 = 0 没有实数根。
幻灯片 12：课堂练习
用公式法解方程 x - 2x - 8 = 0 ，解为______。
用公式法解方程 2x - x - 1 = 0 ，解为______。
方程 3x - 2x + 1 = 0 的判别式 Δ = ，方程（填 “有” 或 “无”）实数根。
当 k = ______时，方程 x + 2x + k = 0 有两个相等的实数根。
幻灯片 13：课堂小结
求根公式：x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（b - 4ac ≥ 0）。
根的判别式：Δ = b - 4ac ，用于判断方程根的情况。
公式法步骤：化一般式→算判别式→代公式求解（根据判别式结果）。
注意事项：确定 a、b、c 的值时要带符号；结果需化简；判别式小于 0 时方程无实根。
幻灯片 14：作业布置
教材课后对应练习题。
已知关于 x 的方程 x + (2k + 1) x + k = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.2 公式法
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程.
说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1.移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边；
2.二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数；
3.配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
4.降次，利用平方根的意义降次；
5.解两个一元一次方程，移项、合并同类项.
你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？
知识点1
一元二次方程根的判别式
ax2+bx+c=0 (a≠0)
移项，得
ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得
配方，得
即
能直接开方吗？
①当b2－4ac>0时， >0，方程有两个不等的
实数根
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
②当b2－4ac=0时， =0，方程有两个相等的
实数根
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
③当b2－4ac＜0时， ＜0，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
因为a≠0，所以4a2＞0. 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
归纳总结
b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
根的判别式，用“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
Δ的符号 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况
Δ＞0 有两个不等的实数根
Δ＝0 有两个相等的实数根
Δ＜0 无实数根
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1) 2x2-3x- =0； (2) 16x2-24x+9=0；
【选自教材P17 习题21.2 第4题】
方程有两个不等的实数根
Δ=b2-4ac
=(-3)2-4×2×
=21>0
解：Δ=b2-4ac
=(-24)2-4×16×9
=0
方程有两个相等的实数根
解：
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(3) x2-4 x+9=0； (4) 3x2+10=2x2+8x.
【选自教材P17 习题21.2 第4题】
方程无实数根
Δ=b2-4ac
= -4×1×9
=-4＜0
化简，移项得 x2-8x+10=0
Δ=b2-4ac
=(-8)2-4×1×10
=24>0
方程有两个不等的实数根
解：
解：
知识点2
用公式法解一元二次方程
当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
知识点2
用公式法解一元二次方程
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
(1) x2-4x-7=0； (2) 2x2- x +1=0;
(3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.
解：方程化为5x2-4x-1=0
a=5，b=-4，c=-1
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
=36>0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17
Δ= b2－4ac
=(-8)2-4×1×17
=-4＜0
方程无实数根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
归纳总结
(1)将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0);
(2)确定a，b，c的值；
(3)求出b2-4ac的值；
(4)若b2-4ac≥0，则利用求根公式求解；若b2-4ac＜0，则方程无实数根.
易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是（ ）
A.b2-4ac=0 B.b2-4ac＞0
C.b2-4ac＜0 D.b2-4ac≥0
B
随堂练习
3. 利用求根公式求5x2+ =6x的根时，a，b，c的值分
别是（ ）
2. 已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0.
下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
B
C

4.用公式法解下列方程：
(1) x2+x-12=0;
解：a=1，b=1，c=-12
Δ= b2－4ac
=12-4×1×(-12)
=49>0
【选自教材P17 习题21.2 第5题】
(2) x2- x- =0;
(3) x2+4x+8=2x+11;
解：方程化为 x2+2x-3=0
a=1，b=2，c=-3
Δ= b2－4ac
=22-4×1×(-3)=16>0
(4) x(x-4)=2-8x;
解：方程化为 x2+4x-2=0
a=1，b=4，c=-2
Δ= b2－4ac
=42-4×1×(-2)=24>0
(5) x2+2x=0;
解：a=1，b=2，c=0
Δ= b2－4ac
=22-0=4>0
(6) x2+2 x+10=0.
解：a=1，b=2 ，c=10
Δ= b2－4ac
= -4×1×10
=-20＜0
原方程无实数根
5. 解下列方程：
（1）x2+x－6 = 0； （2） x2－ x － = 0；
（3）3x2 －6x－2 = 0； （4）4x2－6x = 0；
（5）x2 +4x+8 = 4x+11； （6）x(2x－4) = 5－8x.
x1= 2， x2= －3
x1= 1+ ， x2= 1－
x1= ， x2=－
x1= +1， x2= －1
x1= ， x2= 0
x1=－1+ ， x2=－1－
【选自教材P12 练习 第1题】
6.如图， 有一块矩形铁皮， 长100cm， 宽50cm， 在它的四角各切去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起 ， 就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2， 那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x2－75x+350 = 0
Δ=b2－4ac=4225＞0
所以x1=70（不合题意，舍去）x2=5，
所以x =5.
所以铁皮各角应切去边长为5 cm的正方形.
【选自教材P12 练习 第2题】
解：设各角应切去xcm的正方形.
x=
7.一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在有18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理.
【选自教材P17 习题21.2 第12题】
解：设这个凸多边形的边数为n.
由题意，得 ，
解得n1=8，n2=-5(不合题意，舍去).
所以n=8，
所以这个凸多边形是八边形.
令 ，
解得 .
而凸多边形的边数应为正整数，故不存在有18条对角线的多边形.
8.无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由.
解：方程可化为x2-5x+6-p2=0，
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×(6-p2)=4p2+1.
∵p2≥0，∴4p2+1＞0，即Δ>0，
∴无论p取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等的实数根.
【选自教材P17 习题21.2 第13题】
知识点1 一元二次方程根的判别式
1.［2025石家庄期中］一元二次方程 的根的判别式的值
是( )
B
A.28 B.4 C.25 D.16
返回
2.关于的方程 的根的判别式的值是( )
B
A. B. C. D.
返回
知识点2 利用根的判别式判断根的情况
3.［2025沧州期中］一元二次方程 的根的情况是
( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.无法确定
返回
4.［2024上海中考］以下一元二次方程有两个相等实数根的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［教材习题 变式］不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ；
解：，， ，
，
方程有两个相等的实数根.
（2） ；
解：方程整理得 ，
则，， ，
，
方程有两个不相等的实数根.
（3） ；
解：，, ,
， 方程无实数根.
（4） .
解：方程整理得 ，
则，, ,
， 方程无实数根.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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