资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.2.3 因式分解法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解因式分解法解一元二次方程的原理。
掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。
能根据方程特点选择合适的因式分解方法解方程。
幻灯片 3：知识回顾
乘法分配律逆用：若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0（a、b 为实数）。
常见因式分解方法：
提公因式法：ma + mb + mc = m (a + b + c) 。
平方差公式：a - b = (a + b)(a - b) 。
完全平方公式：a + 2ab + b = (a + b) ；a - 2ab + b = (a - b) 。
问题思考：如何解方程 x - 3x = 0 ？（可提取公因式 x，得 x (x - 3) = 0 ，再求解）
幻灯片 4：情景引入
问题：一个数的平方比这个数大 6，求这个数。
分析：设这个数为 x，根据题意可列方程 x = x + 6 ，移项得 x - x - 6 = 0 。
尝试求解：对左边式子因式分解，x - x - 6 = (x - 3)(x + 2) ，所以方程化为 (x - 3)(x + 2) = 0 。根据乘法分配律逆用，得 x - 3 = 0 或 x + 2 = 0 ，解得 x = 3 或 x = -2 。
引出课题：这种通过因式分解将方程化为两个一次因式乘积等于 0 的形式来求解的方法，叫做因式分解法。
幻灯片 5：因式分解法的概念
定义：当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用因式分解的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
原理：利用 “若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0” 的结论，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解。
优势：步骤简便，效率较高，适用于某些特殊形式的一元二次方程。
幻灯片 6：因式分解法的适用方程类型
类型一：方程右边为 0，左边能提取公因式，如 ax + bx = 0（a≠0）。
类型二：方程右边为 0，左边是平方差形式，如 a x - b = 0（a≠0，b≠0）。
类型三：方程右边为 0，左边是二次三项式且能十字相乘法分解，如 x + (p + q) x + pq = 0 可分解为 (x + p)(x + q) = 0 。
类型四：方程右边为 0，左边是完全平方形式的变形，如 x + 2ax + a = 0 可分解为 (x + a) = 0 。
幻灯片 7：用因式分解法解一元二次方程的步骤
解题步骤：
移项：把方程化为右边为 0 的形式，即 ax + bx + c = 0 。
因式分解：把方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积形式，即化为 m n = 0（m、n 为一次因式）。
转化：根据 “若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0”，得到两个一元一次方程 m = 0 或 n = 0 。
求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
幻灯片 8：例题讲解（一）—— 提公因式法
例题：解方程 x - 3x = 0 。
解答过程：
移项（已满足右边为 0）。
因式分解：左边提取公因式 x，得 x (x - 3) = 0 。
转化为一元一次方程：x = 0 或 x - 3 = 0 。
求解：x = 0，x = 3 。
所以方程的解为 x = 0，x = 3 。
强调要点：提取公因式时要提尽公因式，避免漏解。
幻灯片 9：例题讲解（二）—— 平方差公式法
例题：解方程 4x - 9 = 0 。
解答过程：
移项（已满足右边为 0）。
因式分解：左边是平方差形式，4x - 9 = (2x) - 3 = (2x + 3)(2x - 3) ，所以方程化为 (2x + 3)(2x - 3) = 0 。
转化为一元一次方程：2x + 3 = 0 或 2x - 3 = 0 。
求解：2x + 3 = 0 解得 x = - \(\frac{3}{2}\)；2x - 3 = 0 解得 x = \(\frac{3}{2}\) 。
所以方程的解为 x = - \(\frac{3}{2}\)，x = \(\frac{3}{2}\) 。
幻灯片 10：例题讲解（三）—— 十字相乘法
例题：解方程 x - 5x + 6 = 0 。
解答过程：
移项（已满足右边为 0）。
因式分解：左边二次三项式用十字相乘法分解，x - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) ，方程化为 (x - 2)(x - 3) = 0 。
转化为一元一次方程：x - 2 = 0 或 x - 3 = 0 。
求解：x = 2，x = 3 。
所以方程的解为 x = 2，x = 3 。
强调要点：十字相乘法需准确找到两个数，使它们的和为一次项系数，积为常数项。
幻灯片 11：例题讲解（四）—— 先整理再因式分解
例题：解方程 (x - 2) = (2x + 3) 。
解答过程：
移项得 (x - 2) - (2x + 3) = 0 。
因式分解：左边用平方差公式分解，[(x - 2) + (2x + 3)][(x - 2) - (2x + 3)] = 0 ，化简得 (3x + 1)(-x - 5) = 0 。
转化为一元一次方程：3x + 1 = 0 或 - x - 5 = 0 。
求解：3x + 1 = 0 解得 x = - \(\frac{1}{3}\)；-x - 5 = 0 解得 x = -5 。
所以方程的解为 x = - \(\frac{1}{3}\)，x = -5 。
幻灯片 12：课堂练习
用因式分解法解方程 x + 2x = 0 ，解为______。
用因式分解法解方程 9x - 16 = 0 ，解为______。
用因式分解法解方程 x - 7x + 10 = 0 ，解为______。
用因式分解法解方程 (x + 1) = 4x ，解为______。
幻灯片 13：课堂小结
因式分解法原理：利用 “ab = 0 则 a = 0 或 b = 0”，将二次方程转化为一次方程。
解题步骤：移项→因式分解→转化为一次方程→求解。
常用因式分解方法：提公因式法、平方差公式法、十字相乘法等。
注意事项：必须先将方程化为右边为 0 的形式；因式分解要彻底；避免漏解。
幻灯片 14：作业布置
教材课后对应练习题。
比较直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法的适用范围和优缺点，总结解一元二次方程的选择策略。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.3 因式分解法
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经
过x s离地面的高度（单位：m）为：
10x-4.9x2.
问题：设物体经过 x s落回地面，请说说你列出的方程.
10x-4.9x2=0
你能试着用学过的方法解这个方程吗？
知识点1
用因式分解法解一元二次方程
10x-4.9x2=0
配方法：
整理，得 49x2-100x=0
系数化为1，得 x2- x=0
配方，得
降次，得
x1=0，x2=
知识点1
用因式分解法解一元二次方程
10x-4.9x2=0
公式法：
整理，得 49x2-100x=0
a=49，b=-100，c=0
x1=0，x2=
Δ=b2-4ac
=(-100)2-0
=10000＞0
除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解10x-4.9x2=0这个方程吗？
因式分解
x(10-4.9x)=0
两个因式的积为0，说明了什么？
降次，化为两个一次方程
x=0 或 10-4.9x=0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1=0，x2=
10x-4.9x2=0
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降为一次的？
解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
例3 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0；
解： 因式分解，得
(x-2)(x+1)=0.
即 x-2 =0 或 x+1 =0,
x1=2，x2=-1.
解： 移项、合并同类项，得
4x2-1=0.
因式分解，得
(2x-1)(2x+1)=0.
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1= , x2= .
归纳总结
1. 移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式；
2. 把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式；
3. 把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式；
4. 解两个一元一次方程，求出方程的根.
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
知识点2
一元二次方程解法的选用
选择适当的方法解下列方程：
2x2-4x+1=0； (2x-1)2=x(3x+2)-7；
解：
解：化简，得
4x2-4x+1=3x2+2x-7
x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2，x2=4
x2+2x-35=0； (x-1)2+2x-3=0；
解：分解因式，得
(x-5)(x+7)=0
x1=5, x2=-7
解：化简，得
x2-2x+1+2x-3=0
x2-2=0
解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程
一元二次方程的解法及适用类型：
归纳总结
x2=p或 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0)
所有的一元二次方程
1. 解下列方程：
（1）x2+x = 0； （2）x2 - 2 x = 0；
（3）3x2- 6x = - 3； （4）4x2 - 121 = 0；
【选自教材P14 练习 第1题】
解：x(x+1)=0
x1= 0， x2= －1.
解：x(x-2 )=0
x1= 0， x2= 2 .
解：3x2-6x+3=0
x2-2x+1=0
(x-1)2=0
x1= x2= 1.
解：(2x+11)(2x-11)=0
x1= － ，x2= .
随堂练习
（5）3x(2x+1) = 4x+2； （6）(x- 4) 2 = (5-2x) 2 .
解：6x2-x-2=0
(2x+1)(3x-2)=0
x1= － ， x2= .
解：(x-4)2-(5-2x)2=0
(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0
(1-x)(3x-9)=0
x1= 1， x2= 3 .
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
1.由方程 可以得到的方程是( )
A
A.或 B.
C. D.
返回
2.方程 的根是( )
D
A. B.
C.， D.，
返回
3.用因式分解法解一元二次方程 时，要转化成两个一元
一次方程求解，其中的一个方程是 ，则另一个方程是
_______________，所以一元二次方程 的解是________
__________.
，
返回
4.用因式分解法解下列方程：
（1） ;
解：因式分解，得 ，
于是得或 ，
解得， .
（2） ；
解：因式分解，得 ,
于是得或 ，
解得， .
（3） ;
解：整理得.因式分解，得 ，解得
.
（4） ；
解：因式分解，得,于是得 或
，
解得， .
（5） ；
解：因式分解，得，于是得 或
，解得， .
（6） .
解：移项，得 .
因式分解，得 ，
即 ，
于是得或 ，
解得， ．
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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