资源简介

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幻灯片 1：封面
课程标题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。
能运用根与系数的关系解决已知方程求两根之和与两根之积等问题。
能根据两根的关系求方程中的参数或构造一元二次方程。
幻灯片 3：知识回顾
一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0（a≠0）。
一元二次方程的求根公式：x = \(\frac{-b ±\sqrt{b - 4ac}}{2a}\)（b - 4ac ≥ 0）。
问题思考：解下列方程，观察方程的根与系数有什么关系？
x - 7x + 12 = 0 ，解为 x = 3，x = 4 。
2x + 4x - 6 = 0 ，解为 x = 1，x = -3 。
幻灯片 4：情景引入
计算观察：
对于方程 x - 7x + 12 = 0 ，x + x = 3 + 4 = 7 ，x x = 3×4 = 12 ，方程中二次项系数为 1，一次项系数为 - 7，常数项为 12 ，发现 x + x = -(-7)，x x = 12 。
对于方程 2x + 4x - 6 = 0 ，x + x = 1 + (-3) = -2 ，x x = 1×(-3) = -3 ，方程中二次项系数为 2，一次项系数为 4，常数项为 - 6 ，发现 x + x = - \(\frac{4}{2}\)，x ·x = \(\frac{-6}{2}\) 。
提出猜想：一元二次方程的根与系数之间是否存在某种特定的关系？
引出课题：今天我们就来探究一元二次方程的根与系数的关系。
幻灯片 5：根与系数的关系推导
推导过程：对于一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0），当 Δ = b - 4ac ≥ 0 时，方程的两个根为 x = \(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)，x = \(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) 。
计算两根之和：x + x = \(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) + \(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\) = \(\frac{-2b}{2a}\) = - \(\frac{b}{a}\) 。
计算两根之积：x x = （\(\frac{-b + \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)）×（\(\frac{-b - \sqrt{b - 4ac}}{2a}\)） = \(\frac{b - (b - 4ac)}{4a }\) = \(\frac{4ac}{4a }\) = \(\frac{c}{a}\) 。
结论：一元二次方程 ax + bx + c = 0（a≠0）的两个根为 x 、x ，则 x + x = - \(\frac{b}{a}\)，x ·x = \(\frac{c}{a}\) ，这个关系也叫做韦达定理。
幻灯片 6：特殊形式的根与系数关系
二次项系数为 1 的情况：对于方程 x + px + q = 0 ，若它的两个根为 x 、x ，则 x + x = -p，x x = q 。
说明：这是根与系数关系的一种常见特殊形式，在解题中应用广泛，此时 p = -(x + x )，q = x x 。
幻灯片 7：根与系数关系的应用（一）—— 已知方程求两根之和与积
例题：已知方程 2x - 5x + 1 = 0 的两个根为 x 、x ，求 x + x 和 x x 的值。
解答过程：
确定方程中 a、b、c 的值：a = 2，b = -5，c = 1 。
根据根与系数的关系：x + x = - \(\frac{b}{a}\) = - \(\frac{-5}{2}\) = \(\frac{5}{2}\) 。
x ·x = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{1}{2}\) 。
强调要点：准确确定 a、b、c 的值，注意符号的正确性。
幻灯片 8：根与系数关系的应用（二）—— 已知一根求另一根及参数
例题：已知方程 x + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。
解答过程：
设方程的另一个根为 x 。
根据根与系数的关系：2 + x = -k ，2 x = -6 。
由 2 x = -6 ，解得 x = -3 。
将 x = -3 代入 2 + x = -k ，得 2 + (-3) = -k ，即 - 1 = -k ，解得 k = 1 。
所以方程的另一个根是 - 3，k 的值是 1 。
幻灯片 9：根与系数关系的应用（三）—— 构造一元二次方程
例题：已知两个数的和是 5，积是 6，求这两个数。
解答过程：
根据根与系数的关系可知，这两个数是方程 x - 5x + 6 = 0 的两个根。
解方程 x - 5x + 6 = 0 ，因式分解得 (x - 2)(x - 3) = 0 ，解得 x = 2，x = 3 。
所以这两个数分别是 2 和 3 。
方法总结：若两个数为 x 、x ，且 x + x = m，x x = n，则这两个数是方程 x - mx + n = 0 的两个根。
幻灯片 10：例题讲解（四）—— 综合应用
例题：已知关于 x 的方程 x + (2m + 1) x + m - 2 = 0 的两个实数根的平方和等于 11，求 m 的值。
解答过程：
设方程的两个根为 x 、x ，根据根与系数的关系得 x + x = -(2m + 1)，x x = m - 2 。
由题意得 x + x = 11 ，根据完全平方公式 x + x = (x + x ) - 2x x ，所以 [-(2m + 1)] - 2 (m - 2) = 11 。
展开式子得 4m + 4m + 1 - 2m + 4 = 11 ，整理得 2m + 4m - 6 = 0 ，即 m + 2m - 3 = 0 。
因式分解得 (m + 3)(m - 1) = 0 ，解得 m = -3，m = 1 。
检验：当 m = -3 时，Δ = (2×(-3) + 1) - 4×1×((-3) - 2) = (-5) - 4×(9 - 2) = 25 - 28 = -3 < 0 ，方程无实数根，舍去。
当 m = 1 时，Δ = (2×1 + 1) - 4×1×(1 - 2) = 9 - 4×(-1) = 13 > 0 ，方程有两个实数根，符合题意。
所以 m 的值为 1 。
强调要点：利用根与系数关系解题时，要注意方程有实数根的前提是 Δ ≥ 0 。
幻灯片 11：课堂练习
已知方程 3x - 4x - 2 = 0 的两根为 x 、x ，则 x + x = ______，x x = ______。
若方程 x + mx + 6 = 0 的一个根是 2，则另一个根是______，m = ______。
已知两个数的和为 - 3，积为 2，则这两个数分别是______和______。
已知方程 x - 3x + k = 0 的两根平方和为 7，则 k = ______。
幻灯片 12：课堂小结
根与系数的关系（韦达定理）：对于 ax + bx + c = 0（a≠0，Δ ≥ 0），x + x = - \(\frac{b}{a}\)，x ·x = \(\frac{c}{a}\) 。
特殊形式：x + px + q = 0 的两根 x 、x 满足 x + x = -p，x x = q 。
主要应用：
已知方程求两根之和与积。
已知一根求另一根及参数。
构造一元二次方程。
综合解决与根有关的代数式求值问题。
注意事项：应用关系时需保证方程有实数根（Δ ≥ 0）；计算时注意符号和公式的正确运用。
幻灯片 13：作业布置
教材课后对应练习题。
已知关于 x 的方程 2x - (4k + 1) x + 2k - 1 = 0 ，当 k 为何值时，方程的两根互为相反数？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
1. 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2. 如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)
=0 (x1，x2为已知数) 的两根为x1和x2，将方程化
为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与 p，q之
间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0
化为一般式，得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
由上式，得 一次项系数为1，
二次项系数为 p=-(x1+x2)， 常数项为 q=x1x2.
则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：
x1+x2=-p, x1x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0→x2+px+q=0
新知探究
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分
别为x1= ，x2= 。
x1+x2= ，
x1x2= .
.
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
即任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.
思考：把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同除以a，能否得出该结论？
同除以a，得
此时方程的二次项系数为1，则两根与两根之积与系数的关系有：x1+x2=-p, x1x2=q（p为二次项系数，q为常数项）.
故也能得出
例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下
列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2-6x-15=0； (2) 3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2 .
解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15.
拓展提升
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
①
②
③
④
⑤
⑥
练一练
1.设x1，x2是一元二次方程x2-7x-5=0的两个实
数根，则 的值为 .
2.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则：
（1） = ；
（2） = .
3
10
关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= .
已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ .
-2
-1
-7
随堂练习
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1) x2-3x=15； (2) 3x2+2=1-4x；
解：x1+x2=3
x1x2=-15
【选自教材P16 练习】
解：化简得 3x2+4x+1=0
x1+x2=
x1x2=
(3) 5x2-1=4x2+x； (4) 2x2-x+2=3x+1.
解：化简得 x2-x-1=0
x1+x2=1
x1x2=-1
解：化简得 2x2-4x+1=0
x1+x2=2
x1x2=
4. 求下列方程两个根的和与积：
（1）x2－3x+2=10； （2）5x2+x-5=0；
解：x1+x2=3
x1x2=-8
解：x1+x2=
x1x2=-1
【选自教材P17 习题21.2 第7题】
（3）x2+x=5x+6； （4）7x2-5=x+8.
解：化简得 x2-4x-6=0
x1+x2=4
x1x2=-6
解：化简得 7x2-x-13=0
x1+x2=
x1x2=
5. 已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).
根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，
得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.
∴这两个数是6.5和1.5.
6. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ； （2） .
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
1.［2025保定竞秀区月考］已知一元二次方程 的两根分
别为，，则 的值是( )
D
A. B.2 C. D.5
返回
2.若，是方程的两个根，则 的值为
( )
B
A. B. C.2 D.6
返回
3.以2和 为根的一元二次方程可以是( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.［教材 例4变式］不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） ；
解：， .
（2） ；
解： ，
.
（3） ；
解：方程化为 ，
， .
（4） .
解：方程化为 ，
， .
返回
知识点2 根与系数关系的应用
5.已知，是关于的方程的两个根，且 ，
则 ( )
C
A. B.1 C. D.4
返回
6.［2025秦皇岛海港区月考］已知方程的一个根为 ，
则方程的另一个根为( )
C
A. B.5 C. D.2
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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