资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.3.1 传播问题、循环问题与数字问题
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
能分析传播问题、循环问题与数字问题中的等量关系，列出一元二次方程。
掌握用一元二次方程解决实际问题的一般步骤。
体会数学与实际生活的密切联系，提高运用数学知识解决问题的能力。
幻灯片 3：知识回顾
列方程解应用题的一般步骤：审、设、列、解、验、答。
一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
问题思考：生活中存在哪些可以用一元二次方程解决的实际问题？（如病毒传播、比赛场次、数字规律等）
幻灯片 4：传播问题（一）—— 病毒传播模型
情景引入：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
分析过程：
设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑。
第一轮感染后，被感染的电脑数量为 1 + x 台。
第二轮感染中，这些电脑会感染 x (1 + x) 台，所以第二轮感染后，被感染的电脑总数为 1 + x + x (1 + x) 台。
根据经过两轮感染后有 81 台电脑被感染，可列方程 1 + x + x (1 + x) = 81 。
方程整理：方程左边因式分解得 (1 + x) = 81 。
幻灯片 5：传播问题（二）—— 例题讲解
例题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解答过程：
设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑。
根据分析列方程 (1 + x) = 81 。
开平方得 1 + x = ±9 ，解得 x = 8，x = -10（不合题意，舍去）。
检验：x = 8 符合实际意义，即每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑。
答：每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑。
规律总结：传播问题中，若初始数量为 a，每轮传播中每个个体传播给 x 个个体，则经过 n 轮传播后的总量为 a (1 + x) 。
幻灯片 6：循环问题（一）—— 比赛场次模型
情景引入：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
分析过程：
设应邀请 x 个球队参加比赛。
每个球队要和其他 (x - 1) 个球队比赛一场，但两队之间只比赛一场，所以比赛总场次为\(\frac{x(x - 1)}{2}\) 。
根据计划安排 15 场比赛，可列方程\(\frac{x(x - 1)}{2}=15\) 。
方程整理：方程两边同时乘以 2 得 x (x - 1) = 30 ，即 x - x - 30 = 0 。
幻灯片 7：循环问题（二）—— 例题讲解
例题：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解答过程：
设应邀请 x 个球队参加比赛。
根据分析列方程\(\frac{x(x - 1)}{2}=15\) 。
整理得 x - x - 30 = 0 ，因式分解得 (x - 6)(x + 5) = 0 ，解得 x = 6，x = -5（不合题意，舍去）。
检验：x = 6 符合实际意义，即应邀请 6 个球队参加比赛。
答：应邀请 6 个球队参加比赛。
规律总结：单循环问题中，若有 x 个个体，每个个体与其他个体进行一次互动，则总互动次数为\(\frac{x(x - 1)}{2}\) 。
幻灯片 8：循环问题（三）—— 双循环问题
情景引入：某中学组织足球赛，采用双循环赛制（每两队之间赛两场），若一共赛了 90 场，问有多少支球队参加比赛？
分析过程：
设有 x 支球队参加比赛。
每支球队要和其他 (x - 1) 支球队赛两场，所以总比赛场次为 x (x - 1) 。
根据一共赛了 90 场，可列方程 x (x - 1) = 90 。
例题解答：
整理方程得 x - x - 90 = 0 ，因式分解得 (x - 10)(x + 9) = 0 ，解得 x = 10，x = -9（不合题意，舍去）。
答：有 10 支球队参加比赛。
规律总结：双循环问题中，总互动次数为 x (x - 1) 。
幻灯片 9：数字问题（一）—— 两位数问题
情景引入：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 3，把十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到的新两位数与原两位数的积是 574，求原两位数。
分析过程：
设原两位数个位上的数字为 x，则十位上的数字为 x + 3 。
原两位数可表示为 10 (x + 3) + x = 11x + 30 。
交换位置后的新两位数可表示为 10x + (x + 3) = 11x + 3 。
根据新两位数与原两位数的积是 574，可列方程 (11x + 30)(11x + 3) = 574 。
幻灯片 10：数字问题（二）—— 例题讲解
例题：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 3，把十位上的数字与个位上的数字交换位置后得到的新两位数与原两位数的积是 574，求原两位数。
解答过程：
设原两位数个位上的数字为 x，则十位上的数字为 x + 3 。
原两位数为 11x + 30 ，新两位数为 11x + 3 。
列方程 (11x + 30)(11x + 3) = 574 ，展开得 121x + 33x + 330x + 90 = 574 ，整理得 121x + 363x - 484 = 0 ，两边同时除以 121 得 x + 3x - 4 = 0 。
因式分解得 (x + 4)(x - 1) = 0 ，解得 x = 1，x = -4（不合题意，舍去）。
当 x = 1 时，十位上的数字为 1 + 3 = 4 ，原两位数为 41 。
检验：新两位数为 14，41×14 = 574，符合题意。
答：原两位数是 41 。
规律总结：两位数的表示方法：十位数字 ×10 + 个位数字 。
幻灯片 11：课堂练习
某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），经过 3 小时，这种细菌由 1 个可分裂成______个。
参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了 45 份合同，则参加这次商品交易会的公司有______家。
一个两位数，个位上的数字是十位上数字的 2 倍，若把十位上的数字与个位上的数字对调，则得到的新两位数比原两位数大 36，求原两位数。
幻灯片 12：课堂小结
传播问题：
模型：a (1 + x) = b（a 为初始量，x 为传播率，n 为传播轮次，b 为最终量）。
注意舍去不符合实际意义的负根。
循环问题：
单循环：总次数 = \(\frac{x(x - 1)}{2}\) 。
双循环：总次数 = x (x - 1) 。
数字问题：
两位数表示：十位数字 ×10 + 个位数字 。
抓住数字间的关系列方程，注意数字的取值范围。
解题步骤：遵循审、设、列、解、验、答的步骤，检验结果的合理性。
幻灯片 13：作业布置
教材课后对应练习题。
有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为 8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调后得到的新两位数，乘原来的两位数得到 1855，求原来的两位数。
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3.1 传播问题、循环问题与数字问题
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：
（1）本题中有哪些数量关系
（2）如何理解“两轮传染”
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程
（4）根据等量关系列方程并求解.
知识点
列一元二次方程解应用题的一般步骤
特值分析法：
1. 如果每轮每人传染2人.
第1轮传染后患病人数________人；
第2轮传染后患病人数___________人.
注意：不要忽视初始人数的二次传染.
(1+2)=3
(1+2+2×3)
第1轮传染
第2轮传染
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
第一轮传染后有 人患了流感.
第二轮传染中的传染源为 人，第二轮传染后
有 人患了流感.
根据等量关系 “ ”列出方程 .
x+1
x+1
x+1+x(x+1)
两轮传染后，有121人患了流感
x+1+x(x+1)=121
化简得：x2+2x-120=0
(x-10)(x+12)=0
x1=10，x2=-12(舍)
有更简单的方法解这个方程吗？
提取公因式：(x+1)(x+1)=121
(x+1)2=121
x+1=±11
x1=10，x2=-12(舍)
注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验.
解方程 x+1+x(x+1)=121
思考：如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数
第一轮 1 1·x = x (1+x)1
第二轮 1+x (1+x)·x
第三轮
第n轮
(1+x)n
(1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3
1+x+(1+x)·x =(1+x)2
(1+x)2
(1+x)2·x
(1+x)n-1
(1+x)n-1·x
思考：如果最初有2个人，按照这样的传染速度，n轮传染后有多少人患流感 a个人呢
数量关系：
第一轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)；
第二轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)2；
第三轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)3；
第n轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)n；
传播问题数量 = a×(1+x)n
细胞分裂问题
某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂成若干个固定数目的有益菌.
（1）每轮分裂中一个有益菌可分裂成多少个有益菌？
（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培育后共有多少个有益菌？
分析：设每轮分裂中一个有益菌可分裂成x个有益菌.
开始 第1轮分裂后 第2轮分裂后 第3轮分裂后
60 60x 60x2 60x3
解：（1）设每轮分裂中一个有益菌可分裂成x个有益菌.
由题意，得 60x2 =24 000.
解得x1= 20，x2=-20（不合题意，舍去）.
答：每轮分裂中一个有益菌可分裂成20个有益菌.
（2）24000×20=480000(个).
答：经过三轮培育后共有480000个有益菌.
知识点睛：若每一个细胞每轮分裂为x个细胞，则1个细胞第一轮分裂后的总数为x，第二轮分裂后的总数为x2.注意细胞分裂后，原来的细胞就不存在了.
传播问题
某地发生禽类疫情，当地政府和企业迅速进行了疫情排查和处置.在疫情排查过程中，某农场第一天发现3只鸡发病，两天后发现共有192只鸡发病.
(1)每只发病的鸡平均每天传染多少只鸡
(2)若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只吗
分析：设每只发病的鸡平均每天传染x只鸡.
开始 第1天后 第2天后 第3天后 …
3 3+3x， 即3(1+x) (3+3x)+(3+3x)x=3(1+x)2=192 3(1+x)3=192(1+x) …
解：(1)设每只发病的鸡平均每天传染x只鸡.
依题意，得3(1+x)2=192.
解得x1=7，x2=-9(不合题意，舍去).
答：每只发病的鸡平均每天传染7只鸡.
(2)因为192×(1+7)= 1536(只)，
1536>1500，
所以若疫情得不到有效控制，则3天后鸡的发病数会超过1500只.
知识点睛：每轮传播后传播源都不会消失，若传播源为a，传播速度为x，则第一轮传播后传播总量为a(1+x)，第二轮传播后传播总量为a(1+x)2……第n轮传播后传播总量为a(1+x)n.
数字问题
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
分析：
原两位数
十位
个位
x
5-x
10x+（5-x）
新两位数
十位
个位
5-x
x
10（5-x）+x
个位与十位对调
积为736
列方程
解方程
检验
随堂演练
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数的十位上的数字为x ，则个位上的数字为5-x.
依题意，得[10x+(5-x)][10(5-x) +x]=736.
解得x1=2，x2=3.则5-x1=3，5-x2=2.
所以原来的两位数是23或32.
单循环与双循环问题
某公司举办产品鉴定会，参加会议的是该公司的林经理和他邀请到的专家，在专家到会时，林经理和每位专家握一次手表示欢迎；在专家离会时，林经理又和他们每人握一次手表示道别，且参加会议的每两位专家之间都握了一次手，则所有参加会议的人共握手20次.参加这次会议的专家有多少人
单循环
解：设参加这次会议的专家有x人.
根据题意，得
解得x1=-8(不合题意，舍去)，x2=5.
答：参加这次会议的专家有5人.
知识点1 传播问题
1.有1人患了流感，第一轮传染了6人，第一轮过后共有___人患了流感；
第二轮传染时平均每人也传染了6人，第二轮传染了____人，第二轮过
后共有____人患了流感.
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2.［2025保定月考］［教材习题 变式］某树主干长出若干数目的
支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是
31.若设主干长出 个支干，则所列方程正确的是( )
B
A. B.
C. D.
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3.［教材 探究1变式］冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，
经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了
( )
B
A.10个人 B.11个人 C.12个人 D.13个人
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4.化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，
回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验
的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这
个实验了.问一个人每节课手把手教会了多少名同学？
解：设一个人每节课手把手教会了 名同学，由题意得
，解得， （不合题意，舍去）.
答：一个人每节课手把手教会了6名同学.
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类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数
单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题
双循环问题 每两个元素之间算两次 互赠贺卡 n(n -1)
多边形对角线 每两个元素之间算一次 凸n边形对角线条数问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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