资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：21.3.2 平均变化率问题与销售问题
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
能分析平均变化率问题和销售问题中的等量关系，列出一元二次方程。
掌握解决平均变化率问题和销售问题的基本思路与步骤。
提升运用一元二次方程解决实际经济和增长问题的能力。
幻灯片 3：知识回顾
列方程解应用题的步骤：审清题意、设未知数、列出方程、解方程、检验答案、写出答语。
之前学过的实际问题类型：传播问题、循环问题、数字问题，均通过寻找等量关系列一元二次方程解决。
问题引入：生活中常见的增长率、降低率问题以及商品销售中的利润问题，如何用数学知识解决？
幻灯片 4：平均变化率问题（一）—— 增长率模型
情景引入：某工厂去年的利润为 200 万元，今年的利润比去年增长了 x，预计明年的利润将在今年的基础上再增长 x，明年的利润为 288 万元，求这个增长率 x。
分析过程：
去年利润为 200 万元。
今年利润 = 去年利润 ×(1 + 增长率)，即 200 (1 + x) 万元。
明年利润 = 今年利润 ×(1 + 增长率)，即 200 (1 + x)(1 + x) = 200 (1 + x) 万元。
根据明年利润为 288 万元，可列方程 200 (1 + x) = 288 。
幻灯片 5：平均变化率问题（二）—— 例题讲解
例题：某工厂去年的利润为 200 万元，今年的利润比去年增长了 x，预计明年的利润将在今年的基础上再增长 x，明年的利润为 288 万元，求这个增长率 x。
解答过程：
列方程 200 (1 + x) = 288 。
方程两边同时除以 200 得 (1 + x) = 1.44 。
开平方得 1 + x = ±1.2 ，解得 x = 0.2 = 20%，x = -2.2（不合题意，舍去）。
检验：x = 20% 时，今年利润为 200×(1 + 20%) = 240 万元，明年利润为 240×(1 + 20%) = 288 万元，符合题意。
答：这个增长率为 20% 。
规律总结：增长率问题中，若初始量为 a，平均增长率为 x，经过 n 次增长后，最终量 b 满足 a (1 + x) = b（x > 0）。
幻灯片 6：平均变化率问题（三）—— 降低率模型
情景引入：某商品原价为 100 元，经过两次连续降价后，售价为 64 元，求该商品平均每次降价的百分率。
分析过程：
设该商品平均每次降价的百分率为 x。
第一次降价后售价为 100 (1 - x) 元。
第二次降价后售价为 100 (1 - x)(1 - x) = 100 (1 - x) 元。
根据两次降价后售价为 64 元，可列方程 100 (1 - x) = 64 。
例题解答：
方程两边同时除以 100 得 (1 - x) = 0.64 。
开平方得 1 - x = ±0.8 ，解得 x = 0.2 = 20%，x = 1.8（不合题意，舍去）。
答：该商品平均每次降价的百分率为 20% 。
规律总结：降低率问题中，初始量为 a，平均降低率为 x，经过 n 次降低后，最终量 b 满足 a (1 - x) = b（0 < x < 1）。
幻灯片 7：销售问题（一）—— 利润模型
情景引入：某商店销售一批衬衫，每件进价为 100 元，售价为 150 元时，平均每天可售出 20 件。为了扩大销售，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件。设每件衬衫降价 x 元，平均每天盈利为 y 元，若要平均每天盈利 1600 元，每件衬衫应降价多少元？
分析过程：
每件衬衫进价 100 元，原售价 150 元，降价 x 元后，售价为 (150 - x) 元，每件利润为 (150 - x - 100) = (50 - x) 元。
原每天售出 20 件，每降价 1 元多售出 2 件，降价 x 元后，每天售出 (20 + 2x) 件。
总盈利 = 每件利润 × 销售量，即 y = (50 - x)(20 + 2x) 。
根据平均每天盈利 1600 元，可列方程 (50 - x)(20 + 2x) = 1600 。
幻灯片 8：销售问题（二）—— 例题讲解
例题：某商店销售一批衬衫，每件进价为 100 元，售价为 150 元时，平均每天可售出 20 件。每件衬衫每降价 1 元，平均每天可多售出 2 件。若要平均每天盈利 1600 元，每件衬衫应降价多少元？
解答过程：
列方程 (50 - x)(20 + 2x) = 1600 。
展开式子得 1000 + 100x - 20x - 2x = 1600 ，整理得 - 2x + 80x - 600 = 0 ，两边同时除以 - 2 得 x - 40x + 300 = 0 。
因式分解得 (x - 10)(x - 30) = 0 ，解得 x = 10，x = 30 。
检验：x = 10 时，每件利润 40 元，销售量 40 件，总盈利 40×40 = 1600 元；x = 30 时，每件利润 20 元，销售量 80 件，总盈利 20×80 = 1600 元，均符合题意。
答：每件衬衫应降价 10 元或 30 元 。
规律总结：销售利润问题中，总利润 = （售价 - 进价）× 销售量，需根据价格变化对销售量的影响表示出相关量。
幻灯片 9：销售问题（三）—— 最大利润思考
情景引入：在上述衬衫销售问题中，每件衬衫降价多少元时，平均每天的盈利最多？
分析过程：
总盈利 y = (50 - x)(20 + 2x) = -2x + 80x + 1000 ，这是一个二次函数，二次项系数为负，函数图象开口向下，有最大值。
当 x = - \(\frac{b}{2a}\) = - \(\frac{80}{2 (-2)}\) = 20 时，y 有最大值。
此时最大盈利为 y = -2×20 + 80×20 + 1000 = 1800 元 。
结论：每件衬衫降价 20 元时，平均每天盈利最多，为 1800 元 。
幻灯片 10：课堂练习
某公司今年的产值是 400 万元，计划在今后两年内每年的产值比上一年增长相同的百分数，这样两年后的产值达到 576 万元，求这个百分数为______。
某商品原价 500 元，经过两次降价后现价为 320 元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为______。
某商店销售一批运动鞋，进价为每双 40 元，售价为每双 60 元时，平均每周可售出 300 双。为了尽快减少库存，商店决定降价销售，经调查发现，每双鞋每降价 1 元，平均每周可多售出 20 双。设每双鞋降价 x 元，平均每周盈利为 y 元，若要平均每周盈利 5200 元，每双鞋应降价多少元？
幻灯片 11：课堂小结
平均变化率问题：
增长率：a (1 + x) = b（a 为初始量，x 为增长率，n 为增长次数，b 为最终量）。
降低率：a (1 - x) = b（a 为初始量，x 为降低率，n 为降低次数，b 为最终量）。
注意 x 的取值范围，舍去不合理的负根或大于 1 的根。
销售问题：
总利润 = （售价 - 进价）× 销售量。
根据价格变动对销售量的影响，准确表示出每件利润和销售量。
解方程后需检验解的合理性，结合实际情况选择合适答案。
共性方法：找准等量关系是列方程的关键，解后检验必不可少。
幻灯片 12：作业布置
教材课后对应练习题。
某企业前年的年产值为 1000 万元，今年的年产值为 1210 万元，求这两年的年平均增长率。
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3.2 平均变化率问题与销售问题
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
初中生小戴现在正处于青春期，身体发育较快，已知他去年四月份身高是170cm，今年四月份身高增长了5%.
1.你知道其中的5%是什么意思吗
2.如果明年四月份身高增长依旧是5%，那他身高将是多少
3.他的身高一直会以5%的速度增长下去吗
今年增长的身高是去年身高的5%
今年身高 = 170×（1+5%）=178.5
明年身高 = 178.5×（1+5%）=187.425
不会
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元. 哪种药品成本的年平均下降率较大
下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？
知识点1
平均变化率问题
下降率是下降的成本与前一年成本的比值；
下降率= ×100%
前一年成本－本年成本
前一年成本
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元. 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元. 哪种药品成本的年平均下降率较大
分析：下降后的量=下降前的量（1-下降率）
设甲种药品成本平均每年的下降率为x.
第一次下降前的量
5000
第二次下降前的量
5000（1-x）
下降率x
第二次下降后的量
5000（1-x）2
下降率x
设甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）
5000(1-x)
5000(1-x) 2
根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.
（舍）
算一算：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，乙种药品成本的年平均下降率是多少
设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系可得方程 .
6000(1-y)2=3600
（舍）
两种药品成本的年平均下降率相等.
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
思考：经过计算，你能得出什么结论 成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗 应怎样全面地比较几个对象的变化状况
某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
解：设总产值的年平均增长率为x.
依题意100(1+x)2=121，
解得：x1=0.1，x2=-2.1(舍去)，
∴年平均增长率为10%.
与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率.
思维拓展
解决下面的问题，它与探究2有什么不同？
尝试归纳出变化率问题的计算公式
平均增长率 设基础量为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为 a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为 a(1+x)n
平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为 a(1-x)2……依此类推，n次降低后的量为 a(1-x)n
增长率可以大于100%
降低率不能大于100%
例 某口罩生产厂生产口罩，1月份平均日产量为20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个.
(1)求口罩日产量的月平均增长率；
(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少
分析：设口罩日产量的月平均增长率为x.
基础量 第1次增长后的量 第2次增长后的量
20000 20000(1+x) 20000(1+x)2
解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x.
根据题意，得20000(1+x)2=24200 ,
解得x1=0.1=10% ，x2=-2.1(不合题意，舍去).
答：口罩日产量的月平均增长率为10%.
解题策略：一般地，平均变化率问题中形如a(1±x)2=b(a，b为常数)的一元二次方程用直接开平方求解比较简单.
(2)24200×(1+10%)=26620(个).
答：预计4月份平均日产量为26620个.
例 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元
知识点2
销售问题
分析：设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.
每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元
原来 40 20 40×20
现在 40-x 20+2x (40-x)(20+2x)
解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元.
根据题意，得(40-x) (20+2x)= 1200.
整理，得x2-30x+200=0.解得x1=10，x2=20.
因为要求每件盈利不少于25元，
所以40-x≥25，解得x≤15.
所以x2=20应舍去.
所以x=10.
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.
解题策略：用表格将题目中的各个量表示出来，可以直观地理顺它们之间的关系，便于从中找出等量关系，列出方程.如本题将每件盈利、销售数量、获得利润进行对比，从而比较容易地找出等量关系.
销售问题中常见的几个等量关系：
（1）利润=售价-进价；
（2）
（3）售价=进价×（1+利润率）；
（4）总利润=总售价-总成本=单件利润×销售总量.
知识点1 平均变化率问题
1.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，对某款纯电动的
新能源汽车连续两次降价，平均每次降价的百分率为 .已知这种新能源
汽车的原价是每辆25万元，则第一次降价后每辆的售价为__________万
元，第二次降价后每辆的售价为___________万元.若经过两次降价后这
种新能源汽车每辆的售价为16万元，则可列方程为________________.
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2.［2024重庆中考改编］重庆在低空经济领域实现了新的突破.2024年第
一季度低空飞行航线安全运行了200架次，第三季度低空飞行航线安全
运行达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为
，根据题意，可列方程为___________________.
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3.［2025邯郸期中］为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，
某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则平均每次降价的
百分率是( )
C
A. B. C. D.
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4. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射升空.某纪
念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型.
已知该模型10月售出256件，11月、12月销量持续走高，12月售出400件，
求11月、12月这两个月的月平均增长率.
解：设11月、12月这两个月的月平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得， （不合题意，舍去）.
答：11月、12月这两个月的月平均增长率为 .
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知识点2 营销问题
5. “八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意.”每
年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，
每盒可盈利20元.中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则
每天可多售出2盒.
设每盒降价 元，则降价后每盒盈利_________元，每天可多售出____盒，
每天一共售出___________盒，所以每天可获利___________________元，
若要每天盈利1 650元，则可列方程为___________________________.
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6. 第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在
哈尔滨举行，吉祥物正在热销中.某商场经销一种成本为每套40元的吉
祥物“滨滨和妮妮”，据市场分析，若按每套50元销售，一个月能售出
500套；销售单价每涨1元，月销售量就减少10套.为了使每月销售利润
为8 000元，则每套吉祥物的售价应定为多少元？
（1）解法1：设每套吉祥物涨价 元，可列方程为___________________
_______________；
解法2：设每套吉祥物的售价应定为元 ，可列方程为________
___________________________；
（2）请选择（1）中的一种解法完成解答.
解：选择解法，解得 ，
.
当时， ；
当时， .
答：每套吉祥物的售价应定为60元或80元.
选择解法，解得 ，
.
答：每套吉祥物的售价应定为60元或80元.
（选择其中一种解法即可）
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增长(下降)率问题
增长率问题
下降率问题
基数为a，平均增长/下降率为x
第一次增长
第二次增长
第n次增长
第一次下降
第二次下降
第n次下降
a(1+x)
a(1+x)2
a(1+x)n
a(1－x)
a(1－x)2
a(1－x)n
a(1±x)n
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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