资源简介

(共20张PPT)
21.3.3 几何图形问题
教学课件幻灯片内容分页设计
幻灯片 1：标题页
标题：21.3.3 几何图形问题 —— 从实际场景到数学建模
副标题：运用几何知识解决实际问题的思路与方法
配套元素：
背景图：几何图形与实际场景结合（如建筑、机械零件、几何图案等）
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
核心目标：
能从实际问题中抽象出几何图形模型（如三角形、四边形、圆等）。
掌握运用几何性质（如全等、相似、勾股定理、面积公式等）解决问题的步骤。
学会分析图形中的数量关系，建立数学关系式并求解。
素养目标：
提升空间想象能力和数学建模意识。
培养从复杂场景中提取关键信息的逻辑思维能力。
幻灯片 3：情境引入 —— 实际问题中的几何图形
情境展示（配图）：
例 1：某小区要在矩形草坪中修建一个菱形花坛，如何计算剩余草坪面积？
例 2：为测量河流宽度，在岸边用测角仪测量角度，如何通过三角形知识计算宽度？
例 3：圆柱形水管的横截面半径为 10cm，求水管的横截面积及水流速度与流量的关系。
提问：这些问题的共同点是什么？如何将实际问题转化为数学问题？
幻灯片 4：知识回顾 —— 几何图形的核心性质
平面图形：
三角形：内角和 180°，勾股定理（直角三角形），相似三角形的判定与性质（对应边成比例）。
四边形：矩形面积 = 长 × 宽，菱形面积 = 对角线乘积 ÷2，圆的面积 =πr ，周长 = 2πr。
立体图形（基础）：
圆柱：底面积 =πr ，侧面积 = 2πrh，体积 =πr h（h 为高）。
球体：表面积 = 4πr ，体积 =（4/3）πr （选学）。
强调：几何性质是解决问题的 “工具”，需根据图形类型灵活选用。
幻灯片 5：解题步骤 —— 几何图形问题的通用思路
审题建模：
通读问题，明确已知条件和所求目标。
画出示意图，标注已知数据（如长度、角度、半径等），抽象出几何图形（如直角三角形、矩形、圆等）。
选择公式：
根据图形类型和所求量，确定适用的几何公式（如面积公式、勾股定理、相似比等）。
计算求解：
代入数据进行计算，注意单位统一（如 cm、m），结果需符合实际意义。
验证反思：
检查计算过程是否正确，结果是否合理（如长度不为负、面积与实际场景匹配）。
幻灯片 6：例题解析 1—— 平面图形面积问题
例题：在一块长 20m、宽 15m 的矩形空地上，修建一个边长为 5m 的正方形花坛和一个底边长 8m、高 6m 的三角形草坪，求剩余空地的面积。
解题步骤：
建模：矩形面积 - 正方形面积 - 三角形面积 = 剩余面积。
公式：矩形面积 = 20×15=300（m ）；正方形面积 = 5×5=25（m ）；三角形面积 =（8×6）÷2=24（m ）。
计算：300 - 25 - 24 = 251（m ）。
结论：剩余空地面积为 251m 。
提问：若将三角形草坪改为等腰直角三角形（直角边 6m），结果如何？
幻灯片 7：例题解析 2—— 三角形应用（测量问题）
例题：为测量河流两岸 A、B 两点的距离（AB⊥河岸），在岸边取一点 C，测得 AC=50m，∠ACB=30°，求 AB 的长度。
解题步骤：
建模：△ABC 为直角三角形（∠B=90°），∠C=30°，AC 为斜边 = 50m。
公式：直角三角形中，30° 角对边 = 斜边的一半（AB=AC×sin30°）。
计算：AB=50×0.5=25（m）。
结论：河流宽度 AB 为 25m。
延伸：若∠C=45°，AB 长度如何变化？（提示：利用等腰直角三角形性质）
幻灯片 8：例题解析 3—— 立体图形体积问题
例题：一个圆柱形水桶，底面半径为 30cm，高为 50cm，求水桶的容积（结果保留 π）。若水桶装满水后倒入棱长为 40cm 的正方体容器中，水是否会溢出？
解题步骤：
圆柱容积 =πr h=π×30 ×50=45000π（cm ）≈141372cm 。
正方体容积 = 40×40×40=64000（cm ）。
比较：141372＞64000，故水会溢出。
关键：体积单位统一，通过比较容积判断是否溢出。
幻灯片 9：易错点提醒
常见错误：
图形建模错误（如混淆直角三角形的直角边与斜边）。
公式记忆错误（如三角形面积忘记除以 2，圆柱体积误用侧面积公式）。
单位不统一（如已知长度为 “米”，计算时误按 “厘米” 代入）。
忽略实际意义（如计算结果为负数或数值过大 / 过小）。
避坑技巧：画图时标注清晰，公式写在草稿纸上，计算后反向验证。
幻灯片 10：课堂练习（分组完成）
基础题：一个梯形的上底为 8cm，下底为 12cm，高为 5cm，求其面积。
提升题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求斜边 AB 的长度及斜边上的高。
拓展题：一个圆锥形粮堆，底面周长为 12πm，高为 3m，求粮堆的体积（π 取 3.14）。
要求：每组选 1 题展示解题过程，说明建模思路和公式选择。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
几何图形问题的本质是 “实际场景→图形建模→公式应用→计算验证”。
关键工具：三角形、四边形、圆、圆柱等图形的性质与公式。
能力提升：空间想象、数学建模、逻辑推理。
口诀：“审题画图标数据，选对公式算仔细，结果验证合实际，几何问题没问题。”
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 21.3 第 3、5、7 题（平面图形面积与三角形应用）。
选做题：测量自家房间的长、宽、高，计算房间的占地面积和体积；若用边长 50cm 的正方形地砖铺地，需要多少块？
实践题：观察生活中的几何图形（如窗户、轮胎、包装盒），记录 3 个可通过几何知识解决的问题。
幻灯片 13：结束页
寄语：几何图形藏于生活，数学工具助你探索 —— 用知识丈量世界，用思维解决问题！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
设计说明：本课件按 “情境引入→知识回顾→方法总结→例题解析→练习巩固” 逻辑展开，注重图文结合和互动提问，帮助学生从 “理解” 到 “应用” 逐步掌握几何图形问题的解题方法。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3.3 几何图形问题
第21章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
分析：本题可设高为 x cm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来，然后利用梯形的面积公式来建立方程求解.
知识点
几何图形问题
解：设这个梯形的高为 x cm，则上底为（x+4）cm，下底为（x+20）cm.
根据题意得
整理，得 x2+ 12x -160 = 0
解得 x1= 8 ，x2= - 20（不合题意，舍去）
答：这个梯形的高为8cm.
如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
探究3
21cm
27cm
①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推.
设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm.由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
21cm
27cm
②设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为x cm，这样做有什么好处？
列出的方程为整数式，方便计算
③解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？
原方程可化为
④方程的哪个根符合实际意义？为什么？
符合实际意义，因为 时，
上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况.
⑤如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量关系，请你列方程求解.
解：设中央矩形的长为9x cm，则宽为7x cm.
列方程得 . 即x2= ，
解得 （舍去）.
∴上下边衬的宽为 (cm)，
左右边衬的宽为 (cm).
1.《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步.”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，则它的宽为_______步，长为_______步.
24
36
2.如图，小明同学用一张长11 cm，宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为x cm，可列方程为__________________.
(11-2x) (7-2x)= 21
将不规则图形转化为规则图形解决几何问题
4.学校计划在一块长16m，宽10m的矩形空地上修建花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的小道(如图)，剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为126m2，则小道进出口的宽度应为多少米？ (注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
解:设小道进出口的宽度应为xm.
依题意，得(16-2x)(10-x)= 126.
整理，得x2-18x+17=0.
解得x1=1，x2= 17(不合题意，舍去).
答:小道进出口的宽度应为1m.
对于部分不规则图形,可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
5.如图，某课外活动小组准备围出一个矩形场地，其中一边靠墙(墙的长度为45m)，另外三边用长为80m的篱笆围成.怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
围矩形问题
设未知数
列方程
解方程
取符合题意的结果
AD+AB+BC=80m
S矩形ABCD=750m2
求未知数的值
限制条件：“墙的长度为45m”
分析:
解：设AD=x m，则AB=(80-2x)m.
依题意，得x(80-2x)=750.
整理，得x2-40x+375=0.
解得x1=15， x2=25.
因为80-2x≤45，所以x≥ .
所以x=25，80-2x=30.
答：围成的矩形场地的长为30m，宽为25m，才能使其面积为750m2.
6.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点 B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止.P，Q两点出发几秒时，点 P和点Q之间的距离是10cm？
A
D
B
C
P
Q
动态几何图形问题
解：设P，Q两点出发ts时，点P和点 Q之间的距离是10cm，则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16-2t)cm.如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ－AP = ( 16-5t ) cm；
当点P在点Q下方时，
QE=AP－DQ=(5t-16)cm.
在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2，
即(16-5t)2+62=102，解得t1= ， t2= .
答：P，Q两点出发 或 时，点P和点Q之间的距离是10cm.
E
知识点1 面积问题
1.［教材习题变式］一个直角三角形的两条直角边长相差 ，
面积是.设这个直角三角形较长的直角边长为 ，依题意，可
列出方程为( )
D
A. B. C. D.
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（第2题）
2.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿
化后一边减少了,相邻的一边减少了 ,剩余部分
是面积为 的矩形空地，则原正方形空地的边长
为( )
C
A. B. C. D.
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3.如图，有一张长，宽 的矩形纸片，在它的四个角各剪去一
个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的
底面（图中阴影部分）面积是 ，则剪去的小正方形的边长为___
.
1
（第3题）
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知识点2 边框与甬道问题
4. 指尖上的非遗——麻柳刺绣，
针线勾勒之间，绣出世间百态.在一幅长
，宽 的刺绣风景画的四周镶一
条金色纸边（风景画四周的金色纸边宽度相
同），制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整
个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽
度为 ，则列出的方程为( )
C
A. B.
C. D.
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（第5题）
5.［2025秦皇岛月考］如图，在宽，长 的
矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种
植花卉，且种植花卉的面积为 ，则铺设的石
子路的宽为( )
A
A. B. C. D.
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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