资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.1 二次函数 —— 探索变量间的二次关系
副标题：开启二次函数的奇妙之旅
配套元素：
背景图：展示抛物线形状的生活实例，如喷泉的水流轨迹、拱形桥等，凸显二次函数的实际应用场景。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解二次函数的概念，能准确识别二次函数的一般形式\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)），明确各项系数的含义。
能够根据实际问题中的数量关系，列出二次函数表达式，体会函数模型的构建过程。
会用描点法画出简单二次函数的图象，通过图象观察并总结二次函数的基本性质。
过程与方法目标：
通过从实际问题到数学模型的抽象过程，培养学生的数学抽象思维和建模能力。
在探究二次函数图象性质的过程中，提升学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
感受二次函数在描述现实世界数量关系中的重要作用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
培养学生勇于探索、敢于实践的科学精神，在合作交流中增强团队协作意识。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的二次函数现象
情境展示（配图）：
例 1：投篮时篮球在空中划过的优美弧线，其运动轨迹可以用二次函数来近似描述。展示篮球运动员投篮瞬间以及篮球在空中运动轨迹的示意图，引导学生观察轨迹的形状特点。
例 2：某工厂生产一种产品，其成本\(y\)（元）与产量\(x\)（件）之间存在这样的关系：\(y = 0.1x - 2x + 50\)。通过表格呈现不同产量对应的成本数据，让学生直观感受成本随产量变化的情况，并思考这种数量关系的特点。
例 3：用总长为\(60m\)的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积\(S\)（\(m \)）与一边长\(x\)（\(m\)）之间的函数关系为\(S = -x + 30x\)。展示矩形场地的示意图，标注边长和面积，引导学生分析随着边长的变化，面积是如何变化的。
提问：这些情境中的变量关系有什么共同特征？与我们之前学过的一次函数有何不同？如何用数学语言来描述这些关系？
幻灯片 4：知识回顾 —— 函数的基本概念
函数定义回顾：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量\(x\)与\(y\)，并且对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。
一次函数回顾：一次函数的一般形式是\(y = kx + b\)（\(k\)，\(b\)为常数，\(k 0\)），其图象是一条直线。举例说明一次函数在生活中的应用，如汽车以一定速度行驶时，行驶路程\(y\)与行驶时间\(x\)的关系\(y = vt\)（\(v\)为速度，是常数）。
强调函数本质：函数是描述变量之间对应关系的数学工具，不同类型的函数反映了不同的变量变化规律。引导学生思考，从一次函数到即将学习的二次函数，变量间的对应关系会发生怎样的变化。
幻灯片 5：二次函数的概念讲解
概念引出：观察情境引入中的三个例子，它们所对应的函数表达式分别为\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)）形式的具体形式。
对于篮球运动轨迹的函数（假设简化模型），可能是\(y = -0.5x + 3x + 2\)（此处系数仅为示例）。
成本与产量的关系\(y = 0.1x - 2x + 50\)。
矩形面积与边长的关系\(S = -x + 30x\)（可变形为\(S = -1x + 30x + 0\)）。
总结这些表达式的共同特征：都含有二次项，自变量\(x\)的最高次数是\(2\)，且二次项系数\(a\)不为\(0\)。
二次函数定义：一般地，形如\(y = ax + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a 0\)）的函数，叫做二次函数。其中\(x\)是自变量，\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。
特别强调：
二次项系数\(a 0\)这一条件至关重要，若\(a = 0\)，则函数就变成了一次函数\(y = bx + c\)。通过对比\(y = 2x + 3x - 1\)（二次函数）与\(y = 3x - 1\)（一次函数），让学生更清晰地理解这一区别。
函数表达式中\(ax \)，\(bx\)，\(c\)这三项缺一不可，它们共同决定了二次函数的性质和图象特征。
幻灯片 6：例题解析 1—— 判断二次函数
例题：判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。
\(y = 3x - 2x + 1\)
\(y = -x(x - 2)\)
\(y = \frac{1}{2}x(x + 5)\)
\(y = 2x - 3 \)
\(y = (x + 1) - x \)
解题步骤：
对于\(y = 3x - 2x + 1\)，直接根据定义判断，它是二次函数。二次项系数\(a = 3\)，一次项系数\(b = -2\)，常数项\(c = 1\)。
对于\(y = -x(x - 2)\)，先展开式子得到\(y = -x + 2x\)，是二次函数。二次项系数\(a = -1\)，一次项系数\(b = 2\)，常数项\(c = 0\)。
对于\(y = \frac{1}{2}x(x + 5)\)，展开式子得\(y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}x\)，是二次函数。二次项系数\(a = \frac{1}{2}\)，一次项系数\(b = \frac{5}{2}\)，常数项\(c = 0\)。
对于\(y = 2x - 3 \)，化简为\(y = 2x - 9\)，不是二次函数，因为自变量\(x\)的最高次数是\(1\)，它是一次函数。
对于\(y = (x + 1) - x \)，展开式子\(y = x + 2x + 1 - x = 2x + 1\)，不是二次函数，是一次函数。
提问：在判断一个函数是否为二次函数时，关键步骤是什么？对于一些不是直接给出\(y = ax + bx + c\)形式的函数，我们应该怎么做？
幻灯片 7：例题解析 2—— 根据实际问题列二次函数表达式
例题：
例 1：某商店将进价为\(8\)元的商品按每件\(10\)元售出，每天可销售\(200\)件。现在采取提高售价，减少销售量的办法增加利润。如果这种商品每件涨价\(0.5\)元，其销售量就减少\(10\)件。设每件商品涨价\(x\)元，每天的利润为\(y\)元，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式。
例 2：用长为\(20cm\)的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为\(x cm\)，面积为\(S cm \)，求\(S\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。
解题步骤：
例 1：
首先分析每件商品的利润，涨价\(x\)元后，每件售价为\((10 + x)\)元，进价为\(8\)元，所以每件利润为\((10 + x - 8)\)元。
然后分析销售量，每涨价\(0.5\)元销售量减少\(10\)件，那么涨价\(x\)元，销售量减少\(\frac{x}{0.5} 10 = 20x\)件，所以销售量为\((200 - 20x)\)件。
根据利润 = 每件利润 × 销售量，可得\(y = (10 + x - 8)(200 - 20x)\)，展开式子得\(y = (2 + x)(200 - 20x) = 400 - 40x + 200x - 20x = -20x + 160x + 400\)。
例 2：
已知矩形一边长为\(x cm\)，因为铁丝长\(20cm\)，所以矩形另一边长为\(\frac{20 - 2x}{2} = (10 - x)cm\)。
根据矩形面积公式，面积\(S = x(10 - x) = -x + 10x\)。
由于边长不能为负，且矩形两边长之和不能超过铁丝总长，所以\(0 < x < 10\)，即自变量\(x\)的取值范围是\(0 < x < 10\)。
强调：在根据实际问题列二次函数表达式时，要仔细分析题目中的数量关系，明确每个变量的含义以及它们之间的相互联系。同时，要注意自变量的取值范围，它必须符合实际问题的情境。
幻灯片 8：二次函数图象的探究（一）—— 列表、描点
以\(y = x \)为例：
列表：选取一些自变量\(x\)的值，为了便于计算和观察，通常选择关于原点对称的数值。例如，取\(x = -3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)。计算对应的\(y\)值：
当\(x = -3\)时，\(y = (-3) = 9\)。
当\(x = -2\)时，\(y = (-2) = 4\)。
当\(x = -1\)时，\(y = (-1) = 1\)。
当\(x = 0\)时，\(y = 0 = 0\)。
当\(x = 1\)时，\(y = 1 = 1\)。
当\(x = 2\)时，\(y = 2 = 4\)。
当\(x = 3\)时，\(y = 3 = 9\)。
制作成表格形式，清晰展示\(x\)与\(y\)的对应值。
描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的坐标值，准确地描出对应的点。例如，点\((-3, 9)\)，\((-2, 4)\)，\((-1, 1)\)，\((0, 0)\)，\((1, 1)\)，\((2, 4)\)，\((3, 9)\)。强调在描点时，要使用铅笔，尽量使点的位置准确，并且点要清晰、醒目。
提问：观察所描出的点，它们的分布有什么特点？你能大致想象出这些点连接起来后的图形形状吗？
幻灯片 9：二次函数图象的探究（二）—— 连线、观察图象性质
连线：用平滑的曲线将上一页所描出的点依次连接起来，得到\(y = x \)的图象。强调要用平滑曲线连接，而不是用线段依次连接，因为二次函数的图象是一条连续的曲线。展示绘制好的\(y = x \)图象，让学生直观感受其形状。
图象性质观察：
开口方向：观察图象，发现\(y = x \)的图象开口向上。引导学生思考，从函数表达式\(y = x \)（此时\(a = 1 > 0\)）中，能否找到与开口方向有关的线索，从而总结出当\(a > 0\)时，二次函数图象开口向上的规律。
对称轴：通过观察图象，发现图象关于\(y\)轴对称，\(y\)轴所在直线\(x = 0\)就是\(y = x \)图象的对称轴。讲解对称轴的概念，它是使二次函数图象左右两侧完全对称的直线。让学生思考如何从函数表达式中确定对称轴，对于\(y = ax + bx + c\)，其对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)，在\(y = x \)中，\(b = 0\)，所以对称轴为\(x = 0\)。
顶点坐标：图象的最低点（因为开口向上）是\((0, 0)\)，这个点就是二次函数\(y = x \)的顶点。顶点是二次函数图象的一个重要特征点，它决定了函数的最值情况。对于开口向上的二次函数，顶点处函数值最小；对于开口向下的二次函数，顶点处函数值最大。在\(y = x \)中，当\(x = 0\)时，\(y\)有最小值\(0\)。
总结：通过对\(y = x \)图象的探究，我们了解了二次函数图象的一些基本性质，包括开口方向、对称轴和顶点坐标。这些性质对于我们理解和研究其他二次函数图象具有重要的指导意义。
幻灯片 10：课堂练习（分组完成）
基础题：下列函数中，哪些是二次函数？
\(y = 2x(x - 3)\)
\(y = \frac{1}{2}x - 3x + \sqrt{2}\)
\(y = 3(x + 1) - 3x \)
\(y = x - 2x + 1\)
\(y = (x - 1)(x + 2)\)
提升题：某果园有\(100\)棵橙子树，每一棵树平均结\(600\)个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结\(5\)个橙子。设果园增种\(x\)棵橙子树，果园橙子的总产量为\(y\)个，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式。
拓展题：在平面直角坐标系中，二次函数\(y = ax + bx + c\)的图象经过点\((-1, 0)\)，\((3, 0)\)，\((0, -3)\)，求这个二次函数的表达式。
要求：每组选 1 题展示解题过程，讲解思路和方法。其他小组认真倾听，提出疑问和补充意见。通过分组练习和展示，培养学生的合作学习能力和表达能力，同时加深对二次函数知识的理解和掌握。
幻灯片 11
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.1 二次函数
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.
2.能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.
你是否注意过喷泉水流所经过的路线？
你是否注意过篮球入篮的路线？
它们会与某种函数有联系吗？
什么是函数？
1.什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.
2.目前，我们已经学习了哪些函数？
一次函数
y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
正比例函数
y=kx(k≠0)
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式怎样表示
x2
y=6x2
问题2：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系
【分析】每个球队与其他_____个球队各比赛一场.
n-1
m= n(n-1)
m= n2- n
问题3：某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示
【分析】一年后的产量：
20(1+x)
两年后的产量：
20(1+x)(1+x)
y=20(1+x)2
y=20x2+40x+20
思 考
y=6x2
m= n2- n
y=20x2+40x+20
问题1，2，3中这三个关系式有什么共同点
1.函数关系式；
2.函数解析式是整式；
3.自变量的最高次数是2.
二次函数
二次
（一元）二次方程
函数
一次函数
ax2+bx+c=0(a≠0)
y=kx+b
(k，b是常数，k≠0)
二次函数的概念：
二次函数的概念：
一般地，形如y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数解析式必须同时满足的三个条件：
（1）函数解析式是整式；
（2）化简整理后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0，即a≠0.
二次函数的一般形式：
y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0)
当c=0时， y=ax2+bx(a≠0)
当b=0时， y=ax2+c(a≠0)
一次项系数、常数项可以为0.
例1 判断下列函数中，哪些是二次函数 若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)y=3(x-1)2+1
(2)y=
(3)S=3-2t2
先整理化简 y=3x -6x+4
二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4
√
不是整式
×
√
=-2t2+3
二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3
(4)y=(x+3)2-x2
先整理化简 y=6x+9
×
(5)V=10πr2
√
二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0
(6)y=ax2
×
a≠0才是二次函数
归纳：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.
例2 (1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围.
一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)
解：∵k-2≠0，
∴k≠2.
(2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值.
解：∵k-3=2，
∴k=5.
(3)y=(m-2) +4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式.
解： m2-2=2，
m-2≠0.
得
m=±2，
m≠2.
∴m=-2.
∴此时函数解析式为y=-4x2-4.
本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=2的错误答案，需要引起同学们的重视.
例3 矩形的周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2.求(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)当x=3时，求矩形的面积.
【分析】
矩形的周长为16
长+宽=8
另一边=8-x
解：(1)y=x(8-x)
=-x2+8x
(0(2)当x=3时，y=-32+8×3=15(cm2)
练习
1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【教材P29练习 第1题】
S = 2πr2+2πrh
= 2πr2+2πr2
= 4πr2
练习
2.如图，矩形绿地的长、宽各增加xm，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式.
【教材P29练习 第2题】
y = (30+x) x+20x+20×30
= 30x +x2+20x+600
= x2+50x+600
实际问题
归纳抽象
数学模型
性质、特点
实际问题的答案
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A.y=2x+1 B.y=-2x+1 C.y=x2+2 D.y= x-2
2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A.1 B.-1 C.7 D.-6
3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 .
C
B
a≠1
4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 .
5.正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为 .
y=2(1-x)2
0≤x≤10
6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围.
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
t的取值范围为0≤t≤6.
知识点1 二次函数的概念
1.下列函数中，属于二次函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.关于的函数 是二次函数的条件是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.二次函数 的一次项系数为( )
C
A.3 B.6 C. D.1
返回
4.若关于的函数是二次函数，则 的值是___.
4
返回
5.判断下列函数是否为二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次
项系数、一次项系数和常数项.
函数解析式 是否为二次 函数 二次项系数 一次项系数 常数项
____ ____ ___ ____
____ ____ ___ ____
____ ___ ____ ___
______ __ __ __
是
2
是
0
是
1
0
不是
/
/
/
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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