资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.2 二次函数\(y = ax \)的图象和性质 —— 探究系数\(a\)的影响
副标题：深入剖析最简单二次函数的图象特征与规律
配套元素：
背景图：展示不同开口方向和宽窄的抛物线图象，如\(y = 2x \)、\(y=-x \)等的图象对比。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
熟练掌握用描点法画出二次函数\(y = ax \)（\(a 0\)）的图象，明确图象的形状特征。
能够通过对比不同\(a\)值对应的函数图象，总结出\(a\)对二次函数\(y = ax \)图象开口方向、开口大小的影响规律。
准确说出二次函数\(y = ax \)的对称轴、顶点坐标以及函数的最值情况，并能结合图象分析函数的增减性。
过程与方法目标：
在绘制和观察二次函数\(y = ax \)图象的过程中，培养学生的动手操作能力、观察分析能力和归纳总结能力。
通过小组合作探究不同\(a\)值对函数图象和性质的影响，提升学生的合作交流能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学的严谨性和规律性，激发学生对数学探究的兴趣，体验通过自主探究获得知识的成就感。
体会数形结合思想在数学学习中的重要作用，培养学生用数学眼光观察和分析问题的习惯。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
二次函数概念回顾：形如\(y = ax + bx + c\)（\(a\)，\(b\)，\(c\)是常数，\(a 0\)）的函数叫做二次函数，其中\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。强调当\(b = 0\)，\(c = 0\)时，二次函数就简化为\(y = ax \)，这是最简单的二次函数形式。
\(y = x \)图象回顾：上一节课我们探究了\(y = x \)的图象，它是一条开口向上的抛物线，对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)），顶点坐标是\((0, 0)\)，当\(x = 0\)时，函数有最小值\(0\)。展示\(y = x \)的图象，让学生直观回忆其特征。
提问引入：当\(a\)取不同的值时，二次函数\(y = ax \)的图象会发生怎样的变化呢？它的性质又会有哪些不同？这就是我们本节课要重点探究的内容。
幻灯片 4：探究一 —— 绘制\(y = 2x \)和\(y=\frac{1}{2}x \)的图象
绘制步骤讲解：
列表：对于\(y = 2x \)，选取\(x = -3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，计算对应的\(y\)值：
\(x=-3\)时，\(y = 2 (-3) =2 9 = 18\)
\(x=-2\)时，\(y = 2 (-2) =2 4 = 8\)
\(x=-1\)时，\(y = 2 (-1) =2 1 = 2\)
\(x = 0\)时，\(y = 2 0 =0\)
\(x = 1\)时，\(y = 2 1 =2 1 = 2\)
\(x = 2\)时，\(y = 2 2 =2 4 = 8\)
\(x = 3\)时，\(y = 2 3 =2 9 = 18\)
同样，对于\(y=\frac{1}{2}x \)，选取相同的\(x\)值，计算\(y\)值：
\(x=-3\)时，\(y=\frac{1}{2} (-3) =\frac{1}{2} 9 = 4.5\)
\(x=-2\)时，\(y=\frac{1}{2} (-2) =\frac{1}{2} 4 = 2\)
\(x=-1\)时，\(y=\frac{1}{2} (-1) =\frac{1}{2} 1 = 0.5\)
\(x = 0\)时，\(y=\frac{1}{2} 0 =0\)
\(x = 1\)时，\(y=\frac{1}{2} 1 =\frac{1}{2} 1 = 0.5\)
\(x = 2\)时，\(y=\frac{1}{2} 2 =\frac{1}{2} 4 = 2\)
\(x = 3\)时，\(y=\frac{1}{2} 3 =\frac{1}{2} 9 = 4.5\)
将计算结果整理成表格形式展示。
描点与连线：在平面直角坐标系中，分别描出\(y = 2x \)和\(y=\frac{1}{2}x \)对应的点，然后用平滑的曲线将这些点依次连接起来，得到两个函数的图象。展示绘制好的图象，让学生清晰观察。
观察与思考：对比\(y = x \)、\(y = 2x \)和\(y=\frac{1}{2}x \)的图象，它们的开口方向是否相同？图象的宽窄程度有什么差异？
幻灯片 5：探究二 —— 绘制\(y=-x \)、\(y = -2x \)和\(y=-\frac{1}{2}x \)的图象
绘制步骤讲解：
列表：以\(y=-x \)为例，选取\(x = -3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，计算\(y\)值：
\(x=-3\)时，\(y=-(-3) =-9\)
\(x=-2\)时，\(y=-(-2) =-4\)
\(x=-1\)时，\(y=-(-1) =-1\)
\(x = 0\)时，\(y=-0 =0\)
\(x = 1\)时，\(y=-1 =-1\)
\(x = 2\)时，\(y=-2 =-4\)
\(x = 3\)时，\(y=-3 =-9\)
用同样的方法列出\(y = -2x \)和\(y=-\frac{1}{2}x \)对应的\(x\)与\(y\)的取值表格。
描点与连线：在平面直角坐标系中描出各点并连线，得到这三个函数的图象。展示图象，与前面\(a>0\)时的函数图象进行对比。
观察与思考：这三个函数的图象开口方向与\(y = x \)、\(y = 2x \)等函数的图象有什么不同？它们的图象宽窄程度又有怎样的关系？
幻灯片 6：归纳总结 ——\(a\)对图象开口方向和大小的影响
开口方向：
当\(a>0\)时，二次函数\(y = ax \)的图象开口向上，如\(y = x \)、\(y = 2x \)、\(y=\frac{1}{2}x \)的图象。
当\(a<0\)时，二次函数\(y = ax \)的图象开口向下，如\(y=-x \)、\(y = -2x \)、\(y=-\frac{1}{2}x \)的图象。
展示不同\(a\)值对应的图象对比图，让学生直观理解开口方向与\(a\)的符号关系。
开口大小：
绝对值\(\vert a\vert\)决定了抛物线的开口宽窄程度，\(\vert a\vert\)越大，抛物线开口越窄；\(\vert a\vert\)越小，抛物线开口越宽。
举例说明：对比\(y = 2x \)和\(y=\frac{1}{2}x \)，因为\(\vert2\vert>\vert\frac{1}{2}\vert\)，所以\(y = 2x \)的图象比\(y=\frac{1}{2}x \)的图象开口更窄；对比\(y = -2x \)和\(y=-\frac{1}{2}x \)，同样因为\(\vert-2\vert>\vert-\frac{1}{2}\vert\)，所以\(y = -2x \)的图象开口更窄。
结合图象展示，让学生清晰感知这一规律。
幻灯片 7：探究三 —— 二次函数\(y = ax \)的对称轴、顶点坐标和最值
对称轴：观察所有二次函数\(y = ax \)的图象，发现它们都关于\(y\)轴对称，即对称轴是直线\(x = 0\)。无论\(a\)取何非零值，这一性质保持不变。通过在图象上标注对称轴，加深学生的理解。
顶点坐标：二次函数\(y = ax \)的图象与对称轴的交点就是抛物线的顶点，所有\(y = ax \)图象的顶点坐标都是\((0, 0)\)。展示不同\(a\)值对应的函数图象的顶点位置，强调顶点坐标的一致性。
最值情况：
当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，所以当\(x = 0\)时，函数\(y = ax \)有最小值，最小值为\(0\)。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以当\(x = 0\)时，函数\(y = ax \)有最大值，最大值为\(0\)。
结合具体函数图象，如\(y = 2x \)有最小值\(0\)，\(y=-2x \)有最大值\(0\)，帮助学生理解最值与\(a\)的符号关系。
幻灯片 8：探究四 —— 二次函数\(y = ax \)的增减性
当\(a>0\)时：
观察\(y = x \)或\(y = 2x \)的图象，在对称轴左侧（即\(x<0\)时），随着\(x\)的增大，\(y\)的值逐渐减小。例如，对于\(y = x \)，当\(x=-3\)时\(y = 9\)，\(x=-2\)时\(y = 4\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
在对称轴右侧（即\(x>0\)时），随着\(x\)的增大，\(y\)的值逐渐增大。例如，对于\(y = x \)，当\(x = 1\)时\(y = 1\)，\(x = 2\)时\(y = 4\)，\(x\)增大，\(y\)增大。
当\(a<0\)时：
观察\(y=-x \)或\(y = -2x \)的图象，在对称轴左侧（即\(x<0\)时），随着\(x\)的增大，\(y\)的值逐渐增大。例如，对于\(y=-x \)，当\(x=-3\)时\(y=-9\)，\(x=-2\)时\(y=-4\)，\(x\)增大，\(y\)增大。
在对称轴右侧（即\(x>0\)时），随着\(x\)的增大，\(y\)的值逐渐减小。例如，对于\(y=-x \)，当\(x = 1\)时\(y=-1\)，\(x = 2\)时\(y=-4\)，\(x\)增大，\(y\)减小。
总结：结合图象用简洁的语言总结函数的增减性，并用箭头在图象上标注增减趋势，帮助学生直观记忆。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用性质解决问题
例题 1：已知二次函数\(y = -3x \)，回答下列问题：
它的图象开口方向是怎样的？
图象的对称轴是什么？
图象的顶点坐标是什么？
当\(x = 0\)时，函数有最大值还是最小值？值是多少？
当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大如何变化？
解题步骤：
因为\(a=-3<0\)，所以图象开口向下。
二次函数\(y = ax \)的对称轴都是直线\(x = 0\)（即\(y\)轴）。
顶点坐标为\((0, 0)\)。
由于\(a<0\)，当\(x = 0\)时，函数有最大值，最大值是\(0\)。
当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
例题 2：比较函数值的大小：已知\(y_1 = 2x_1 \)，\(y_2 = 2x_2 \)，当\(x_1=-5\)，\(x_2 = 3\)时，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解题步骤：
分别计算\(y_1\)和\(y_2\)的值，\(y_1 = 2 (-5) =2 25 = 50\)，\(y_2 = 2 3 =2 9 = 18\)。
比较可得\(y_1>y_2\)。
也可根据函数性质，因为\(a = 2>0\)，函数图象关于\(y\)轴对称，\(\vert x_1\vert=5>\vert x_2\vert=3\)，所以\(y_1>y_2\)。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
二次函数\(y = 4x \)的图象开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，当\(x = 0\)时，\(y\)有最______值，是______。
二次函数\(y=-\frac{1}{3}x \)，当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而______；当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而______。
提升题：
已知点\(A(-2, y_1)\)，\(B(1, y_2)\)在二次函数\(y = 3x \)的图象上，比较\(y_1\)和\(y_2\)
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)
最简单的二次函数y=ax2
y=x2
画二次函数 y=x2 的图象.
1.列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数.
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2.描点.
3.连线.
y =x2
用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸.
y =x2
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
y =x2
议一议：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2的图象是一条抛物线；
2.图象开口向上；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（0，0）；
5.图象有最低点．
y =x2
想一想：二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化
从二次函数y=x2的图象可以看出：
当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y= x2，y=2x2的图象.
y =x2
①列表；
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
②描点；
③连线.
y=2x2
y =x2
y=2x2
思考：（1）函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
①图象开口向上；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最低点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
开口大小
思考：（2）当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
y =x2
y=2x2
①图象开口向上；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最低点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而减小；
当x>0时，y随着x的增大而增大.
⑥a越大，抛物线的开口越小.
探 究
在同一直角坐标系中，画出函数y=- x2，y=-x2，y=-2x2的图象.
①列表；
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ···
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y=-x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y=-2x2 ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 ···
②描点；
③连线.
y =－x2
y=-2x2
y =－x2
y=-2x2
思考：（1）从函数y= x2 ，y=-x2，y=-2x2的图象，考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？
①图象开口向下；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最高点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而增大；
当x>0时，y随着x的增大而减小.
开口大小
y =－x2
y=-2x2
思考：（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
①图象开口向下；
②顶点（0，0）；
③图象关于y轴对称；
④顶点是抛物线的最高点；
⑤当x<0时， y随着x的增大而增大；
当x>0时，y随着x的增大而减小.
⑥a越小，抛物线的开口越小.
y=ax2 a>0 a<0
图象
位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方
对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0
顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大;
当x>0时, y随着x的增大而减小.
练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）y = 3x2； （2）y = -3x2 ；
（3）y = x2； （4）y = - x2.
开口向上
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
【教材P32练习】
开口向下
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
开口向上
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
开口向下
对称轴是y轴
顶点是(0, 0)
观察右面图象，抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
随堂练习
1. 函数y=2x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______.
2. 函数y=-5x2的图象的开口_______，对称轴是_______，
顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______.
向上
y轴
（0，0）
减小
增大
向下
y轴
（0，0）
增大
减小
3.如右图，观察函数y=(k-1)2的图象，则k的取值范围是_______.
4.已知下列二次函数 ①y=-x2；②y= x2；③y=15x2；
④y=-4x2；⑤y=4x2.
（1）其中开口向上的是________（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）；
（3）有最高点的是_______（填序号）.
k>1
②③⑤
①
①④
知识点1 二次函数 的图象
1.二次函数 的图象大致是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.［2025邯郸峰峰矿区月考］抛物线 的开口方向( )
D
A.向上 B.向左 C.向右 D.向下
返回
3.抛物线 的对称轴是( )
C
A.直线 B.直线 C.直线 D.直线
返回
4.抛物线 的顶点坐标是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.若二次函数的图象经过点 ，则该图象必经过的点的坐
标为( )
A
A. B. C. D.
返回
6.［教材 例1变式］
（1）在同一平面直角坐标系（如图）中，画出函数 ，
，与 的图象.
解：如图所示.
（2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题：
①抛物线 与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于
_____对称；同样地，抛物线 与抛物线__________的形状相同，
也关于_____对称.
轴
轴
②抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或“小”），
抛物线的开口比抛物线 的开口____（填“大”或
“小”）.
③在抛物线中，当相同时，抛物线开口大小______； 越大，
抛物线开口越____； 越小，抛物线开口越____.
④应用：抛物线与 中，开口较小的是抛物线_________.
小
小
相同
小
大
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑