资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.3.1 二次函数\(y = ax + k\)的图象和性质 —— 探究常数项\(k\)的作用
副标题：从\(y = ax \)到\(y = ax + k\)的图象变换与性质延伸
配套元素：
背景图：展示\(y = x \)、\(y = x + 2\)、\(y = x - 1\)的图象对比，凸显图象的上下平移关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
掌握用描点法画出二次函数\(y = ax + k\)（\(a 0\)，\(k\)为常数）的图象，明确其与\(y = ax \)图象的关系。
理解常数项\(k\)对二次函数\(y = ax + k\)图象位置的影响，能准确描述图象的平移规律。
熟练说出二次函数\(y = ax + k\)的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值及增减性等性质。
过程与方法目标：
通过对比\(y = ax \)与\(y = ax + k\)的图象，经历观察、分析、归纳的过程，培养数形结合思想和抽象概括能力。
在小组合作探究图象平移规律和性质的过程中，提升合作交流能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学知识的连贯性和系统性，激发对函数图象变换探究的兴趣，体验数学学习的乐趣。
培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神，体会数学在描述变化规律中的作用。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
\(y = ax \)图象与性质回顾：
图象形状：抛物线。
开口方向：当\(a>0\)时开口向上，当\(a<0\)时开口向下。
对称轴：直线\(x = 0\)（\(y\)轴）。
顶点坐标：\((0, 0)\)。
最值：当\(a>0\)时，\(x = 0\)时\(y\)有最小值\(0\)；当\(a<0\)时，\(x = 0\)时\(y\)有最大值\(0\)。
增减性：当\(a>0\)时，\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(a<0\)时，\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。
展示\(y = 2x \)和\(y=-2x \)的图象，帮助学生回忆相关知识。
提问引入：如果在\(y = ax \)的基础上加上一个常数\(k\)，得到\(y = ax + k\)，它的图象会发生怎样的变化？性质又会有哪些异同呢？这就是本节课要探究的内容。
幻灯片 4：探究一 —— 绘制\(y = x \)、\(y = x + 2\)和\(y = x - 1\)的图象
绘制步骤讲解：
列表：对于\(y = x \)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(9,4,1,0,1,4,9\)。
对于\(y = x + 2\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为\(9 + 2=11\)，\(4 + 2=6\)，\(1 + 2=3\)，\(0 + 2=2\)，\(1 + 2=3\)，\(4 + 2=6\)，\(9 + 2=11\)。
对于\(y = x - 1\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为\(9-1=8\)，\(4-1=3\)，\(1-1=0\)，\(0-1=-1\)，\(1-1=0\)，\(4-1=3\)，\(9-1=8\)。
将三个函数的\(x\)与\(y\)值整理成对比表格展示。
描点与连线：在同一平面直角坐标系中，分别描出三个函数对应的点，并用平滑曲线连接，得到三个函数的图象。展示绘制好的图象，让学生直观观察。
观察与思考：对比这三个函数的图象，它们的形状是否相同？位置上有什么关系？\(y = x + 2\)和\(y = x - 1\)的图象与\(y = x \)的图象相比，是如何平移得到的？
幻灯片 5：探究二 —— 绘制\(y=-x \)、\(y=-x + 3\)和\(y=-x - 2\)的图象
绘制步骤讲解：
列表：对于\(y=-x \)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(-9,-4,-1,0,-1,-4,-9\)。
对于\(y=-x + 3\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为\(-9 + 3=-6\)，\(-4 + 3=-1\)，\(-1 + 3=2\)，\(0 + 3=3\)，\(-1 + 3=2\)，\(-4 + 3=-1\)，\(-9 + 3=-6\)。
对于\(y=-x - 2\)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为\(-9-2=-11\)，\(-4-2=-6\)，\(-1-2=-3\)，\(0-2=-2\)，\(-1-2=-3\)，\(-4-2=-6\)，\(-9-2=-11\)。
整理成对比表格展示。
描点与连线：在同一平面直角坐标系中描点连线，得到三个函数的图象。展示图象，与上一组\(a>0\)的函数图象对比。
观察与思考：这三个函数的图象形状是否相同？\(y=-x + 3\)和\(y=-x - 2\)的图象与\(y=-x \)的图象相比，平移规律是怎样的？与上一组\(a>0\)时的平移规律是否一致？
幻灯片 6：归纳总结 ——\(y = ax + k\)与\(y = ax \)的图象关系
平移规律：
当\(k>0\)时，二次函数\(y = ax + k\)的图象可以由\(y = ax \)的图象向上平移\(k\)个单位长度得到。例如，\(y = x + 2\)的图象是\(y = x \)的图象向上平移\(2\)个单位，\(y=-x + 3\)的图象是\(y=-x \)的图象向上平移\(3\)个单位。
当\(k<0\)时，二次函数\(y = ax + k\)的图象可以由\(y = ax \)的图象向下平移\(\vert k\vert\)个单位长度得到。例如，\(y = x - 1\)的图象是\(y = x \)的图象向下平移\(1\)个单位，\(y=-x - 2\)的图象是\(y=-x \)的图象向下平移\(2\)个单位。
结合图象展示平移过程，用箭头标注平移方向和距离，帮助学生理解。
形状关系：\(y = ax + k\)与\(y = ax \)的图象形状完全相同，因为它们的二次项系数\(a\)相同，只是位置不同，这说明\(k\)值不影响抛物线的形状和开口宽窄，只影响图象的上下位置。
幻灯片 7：探究三 —— 二次函数\(y = ax + k\)的对称轴和顶点坐标
对称轴：观察所有\(y = ax + k\)的图象，发现它们的对称轴仍然是直线\(x = 0\)（\(y\)轴）。无论\(k\)取何值，对称轴都没有发生变化，这是因为\(k\)是常数项，不影响函数的对称性。通过在图象上标注对称轴，加深学生印象。
顶点坐标：\(y = ax \)的顶点坐标是\((0, 0)\)，当图象向上平移\(k\)个单位时，顶点坐标变为\((0, k)\)；当图象向下平移\(\vert k\vert\)个单位时，顶点坐标同样变为\((0, k)\)（因为此时\(k\)为负数）。所以，二次函数\(y = ax + k\)的顶点坐标是\((0, k)\)。展示不同\(k\)值对应的函数图象的顶点位置，如\(y = x + 2\)顶点为\((0, 2)\)，\(y = x - 1\)顶点为\((0, -1)\)，验证这一结论。
幻灯片 8：探究四 —— 二次函数\(y = ax + k\)的开口方向、最值和增减性
开口方向：与\(y = ax \)相同，当\(a>0\)时，\(y = ax + k\)的图象开口向上；当\(a<0\)时，图象开口向下。因为开口方向由\(a\)的符号决定，与\(k\)无关。举例展示\(y = 2x + 1\)（开口向上）和\(y=-2x + 1\)（开口向下）的图象对比。
最值情况：
当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((0, k)\)是图象的最低点，所以当\(x = 0\)时，函数有最小值，最小值为\(k\)。例如，\(y = x + 2\)的最小值是\(2\)。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((0, k)\)是图象的最高点，所以当\(x = 0\)时，函数有最大值，最大值为\(k\)。例如，\(y=-x + 3\)的最大值是\(3\)。
结合图象说明最值与\(a\)、\(k\)的关系。
增减性：与\(y = ax \)的增减性完全相同，因为增减性由\(a\)的符号和对称轴决定，与\(k\)无关。
当\(a>0\)时，\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大。
当\(a<0\)时，\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。
结合具体函数图象举例说明，如\(y = 2x + 1\)和\(y=-2x + 1\)的增减性。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用性质解决问题
例题 1：已知二次函数\(y = -2x + 5\)，回答下列问题：
它的图象开口方向是怎样的？
图象的对称轴是什么？顶点坐标是多少？
当\(x = 0\)时，函数有最大值还是最小值？值是多少？
该函数的图象是由哪个函数的图象经过怎样的平移得到的？
解题步骤：
因为\(a=-2<0\)，所以图象开口向下。
对称轴是直线\(x = 0\)（\(y\)轴），顶点坐标是\((0, 5)\)。
由于\(a<0\)，当\(x = 0\)时，函数有最大值，最大值是\(5\)。
它的图象是由\(y=-2x \)的图象向上平移\(5\)个单位长度得到的。
例题 2：已知二次函数\(y = 3x - 4\)，若点\(A(1, y_1)\)，\(B(-2, y_2)\)在该函数图象上，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解题步骤：
分别计算\(y_1\)和\(y_2\)的值，\(y_1 = 3 1 - 4=3 - 4=-1\)，\(y_2 = 3 (-2) - 4=3 4 - 4=12 - 4=8\)。
比较可得\(y_1也可根据函数性质，\(a = 3>0\)，对称轴为\(y\)轴，\(\vert -2\vert>\vert1\vert\)，所以\(y_2>y_1\)。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
二次函数\(y = 5x + 3\)的图象开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______，当\(x = 0\)时，\(y\)有最______值，是______。
二次函数\(y=-4x - 2\)的图象是由\(y=-4x \)的图象向______平移______个单位长度得到的。当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而______。
提升题：
已知二次函数\(y = ax + k\)的图象经过点\((0, 2)\)和\((1, 5)\)，且\(a>0\)，求该二次函数的表达式，并说出其最值情况。
若二次函数\(y = 2x + k\)的最小值是\(-3\)，则\(k\)的值是多少？该函数图象是由\(y = 2x \)的图象经过怎样的平移得到的？
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
二次函数\(y = ax + k\)的图象与\(y = ax \)的图象形状相同，只是位置不同，\(k>0\)时向上平移\(k\)个单位，\(k<0\)时向下平移\(\vert k\vert\)个单位。
性质总结：
开口方向：由\(a\)决定，\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下。
对称轴：直线\(x = 0\)（\(y\)轴）。
顶点坐标：\((0, k)\)。
最值：(
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.3.1 二次函数y=ax +k的图象和性质
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用描点法画二次函数y=ax2+k的图象.
2.能说出抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
3.能说出抛物线y=ax2+k的开口方向、对称轴、顶点.
y=ax2 a>0 a<0
图象
开口方向
对称轴
顶点
增减性
开口大小 向上
向下
y轴
y轴
（0，0）最低点
（0，0）最高点
当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大.
当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小.
∣a∣越大，开口越小
y
x
这个函数的图象是如何画出来的
O
例2 在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1， y=2x2 -1的图象.
解：先列表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y =2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …
y = 2x2 -1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …
描点、连线，画出这两个函数的图象.
y=2x2 +1
y=2x2 -1
y=2x2 +1
y=2x2 -1
思考：抛物线y = 2x2+1，y = 2x2 -1 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2x2+1
y=2x2 -1
向上
向上
y轴
y轴
（0,1）
（0,-1）
想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a>0)的性质是什么
练一练
关于二次函数y=2x2+3，下列说法正确的是（ ）
A.图象的开口向下
B.当x<－1时，y随x的增大而减小
C.图象的对称轴是直线x=2
D.当x=0时，y有最大值3
B
在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：
（1）y=- x2
（2）y=- x2-2
（3）y=- x2+2
根据图象回答下列问题：
(1)图象的形状都是________；
(2)三条抛物线的开口方向______；
(3)对称轴都是______；
(4)从上而下顶点坐标分别是________________________；
抛物线
向下
y轴
(0,2)，(0,0)，(0,-2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____、____、____；
(6)函数的增减性都相同：
_________________________；
_________________________.
高
大
y=2
y=0
y=-2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
归纳小结
二次函数y=ax2 +k的图象和性质：
y=ax2+k a>0 a<0
图象 k>0
k<0
开口方向
对称轴 顶点坐标 函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
（0，k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
练一练
关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是（ ）
A.开口方向相同 B.顶点相同
C.对称轴相同 D.当x>0时，y随x的增大而增大
C
y=2x2 +1
y=2x2 -1
y=2x2
思考：抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
①开口方向和大小相同；
②对称轴相同；
③顶点纵坐标不同.
思考：抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
y=2x2 +1
y=2x2 -1
y=2x2
y=2x2
y=2x2+1
向上平移
1个单位长度
y=2x2
y=2x2-1
向下平移
1个单位长度
y=ax2
顶点(0, 0)
y=ax2+k
顶点(0, k)
当k>0时，
向上平移k个单位长度得到
当k<0时，
向下平移∣k∣个单位长度得到
思考：抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
上下平移规律：上加下减常数项.
练一练
二次函数y=-3x2＋1的图象是将（ ）
A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到
B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到
C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到
D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到
D
练习
在同一坐标系中，画出下列二次函数的图像：
y= x2， y= x2+2， y= x2-2.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y= x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y= x2有什么关系？
【教材P33练习】
解：如图所示.
随堂练习
1.抛物线y=2x2＋3可以由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到.
2.抛物线y=- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2.
3.抛物线y=-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
上
3
下
1
向下
y轴
（0，-5）
4.已知点(m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
5.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k ____.
在
=2
>2
<2
知识点1 二次函数 的图象和性质
1.二次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.抛物线 的开口方向( )
C
A.向上 B.向右 C.向下 D.向左
返回
3.［2025保定校级月考］抛物线与 轴的交点坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.函数 的图象的顶点坐标和对称轴分别是( )
C
A.，直线 B.，直线
C.，轴 D.， 轴
返回
5.二次函数 的最值情况是( )
B
A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值5 D.有最大值
返回
6.［2025石家庄平山期中］若二次函数的图象过点 和
，则， 的大小关系为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.在抛物线的对称轴左侧，随的增大而减小，则 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 已知二次函数 的图象不经过第一、二象
限，请写出一个合适的常数 的值：__________________.
（答案不唯一）
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑