资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.3.2 二次函数\(y = a(x - h) \)的图象和性质 —— 探究\((x - h)\)中\(h\)的作用
副标题：从\(y = ax \)到\(y = a(x - h) \)的图象变换与性质拓展
配套元素：
背景图：展示\(y = x \)、\(y=(x - 2) \)、\(y=(x + 1) \)的图象对比，凸显图象的左右平移关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
掌握用描点法画出二次函数\(y = a(x - h) \)（\(a 0\)，\(h\)为常数）的图象，明确其与\(y = ax \)图象的关系。
理解\(h\)对二次函数\(y = a(x - h) \)图象位置的影响，能准确描述图象的平移规律。
熟练说出二次函数\(y = a(x - h) \)的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值及增减性等性质。
过程与方法目标：
通过对比\(y = ax \)与\(y = a(x - h) \)的图象，经历观察、分析、归纳的过程，进一步巩固数形结合思想和抽象概括能力。
在小组合作探究图象平移规律和性质的过程中，提升合作交流能力和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学知识的内在联系和规律性，激发对函数图象变换探究的持续兴趣，体验探究发现的乐趣。
培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神，增强运用数学知识解决问题的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
\(y = ax \)与\(y = ax + k\)图象与性质回顾：
\(y = ax \)：图象是抛物线，开口方向由\(a\)决定，对称轴是直线\(x = 0\)，顶点坐标\((0, 0)\)，最值为\(0\)。
\(y = ax + k\)：图象与\(y = ax \)形状相同，\(k>0\)时向上平移\(k\)个单位，\(k<0\)时向下平移\(\vert k\vert\)个单位，对称轴仍是直线\(x = 0\)，顶点坐标\((0, k)\)，最值为\(k\)。
展示\(y = 2x \)、\(y = 2x + 3\)的图象，帮助学生回忆上下平移规律。
提问引入：前面我们学习了在\(y = ax \)基础上加上常数\(k\)得到\(y = ax + k\)，图象发生上下平移。如果将\(y = ax \)中的\(x\)换成\((x - h)\)，得到\(y = a(x - h) \)，它的图象会发生怎样的变化？性质又会有哪些不同呢？这就是本节课要探究的内容。
幻灯片 4：探究一 —— 绘制\(y = x \)、\(y=(x - 2) \)和\(y=(x + 1) \)的图象
绘制步骤讲解：
列表：对于\(y = x \)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(9,4,1,0,1,4,9\)。
对于\(y=(x - 2) \)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为：当\(x=-3\)时，\(y=(-3 - 2) =25\)；\(x=-2\)时，\(y=(-2 - 2) =16\)；\(x=-1\)时，\(y=(-1 - 2) =9\)；\(x = 0\)时，\(y=(0 - 2) =4\)；\(x = 1\)时，\(y=(1 - 2) =1\)；\(x = 2\)时，\(y=(2 - 2) =0\)；\(x = 3\)时，\(y=(3 - 2) =1\)。
对于\(y=(x + 1) \)（可变形为\(y=(x - (-1)) \)），相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=(-3 + 1) =4\)；\(x=-2\)时，\(y=(-2 + 1) =1\)；\(x=-1\)时，\(y=(-1 + 1) =0\)；\(x = 0\)时，\(y=(0 + 1) =1\)；\(x = 1\)时，\(y=(1 + 1) =4\)；\(x = 2\)时，\(y=(2 + 1) =9\)；\(x = 3\)时，\(y=(3 + 1) =16\)。
将三个函数的\(x\)与\(y\)值整理成对比表格展示。
描点与连线：在同一平面直角坐标系中，分别描出三个函数对应的点，并用平滑曲线连接，得到三个函数的图象。展示绘制好的图象，让学生直观观察。
观察与思考：对比这三个函数的图象，它们的形状是否相同？位置上有什么关系？\(y=(x - 2) \)和\(y=(x + 1) \)的图象与\(y = x \)的图象相比，是如何平移得到的？
幻灯片 5：探究二 —— 绘制\(y=-x \)、\(y=-(x - 3) \)和\(y=-(x + 2) \)的图象
绘制步骤讲解：
列表：对于\(y=-x \)，选取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，计算\(y\)值为\(-9,-4,-1,0,-1,-4,-9\)。
对于\(y=-(x - 3) \)，相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=-(-3 - 3) =-36\)；\(x=-2\)时，\(y=-(-2 - 3) =-25\)；\(x=-1\)时，\(y=-(-1 - 3) =-16\)；\(x = 0\)时，\(y=-(0 - 3) =-9\)；\(x = 1\)时，\(y=-(1 - 3) =-4\)；\(x = 2\)时，\(y=-(2 - 3) =-1\)；\(x = 3\)时，\(y=-(3 - 3) =0\)。
对于\(y=-(x + 2) \)（变形为\(y=-(x - (-2)) \)），相同\(x\)值对应的\(y\)值为：\(x=-3\)时，\(y=-(-3 + 2) =-1\)；\(x=-2\)时，\(y=-(-2 + 2) =0\)；\(x=-1\)时，\(y=-(-1 + 2) =-1\)；\(x = 0\)时，\(y=-(0 + 2) =-4\)；\(x = 1\)时，\(y=-(1 + 2) =-9\)；\(x = 2\)时，\(y=-(2 + 2) =-16\)；\(x = 3\)时，\(y=-(3 + 2) =-25\)。
整理成对比表格展示。
描点与连线：在同一平面直角坐标系中描点连线，得到三个函数的图象。展示图象，与上一组\(a>0\)的函数图象对比。
观察与思考：这三个函数的图象形状是否相同？\(y=-(x - 3) \)和\(y=-(x + 2) \)的图象与\(y=-x \)的图象相比，平移规律是怎样的？与上一组\(a>0\)时的平移规律是否一致？
幻灯片 6：归纳总结 ——\(y = a(x - h) \)与\(y = ax \)的图象关系
平移规律：
当\(h>0\)时，二次函数\(y = a(x - h) \)的图象可以由\(y = ax \)的图象向右平移\(h\)个单位长度得到。例如，\(y=(x - 2) \)的图象是\(y = x \)的图象向右平移\(2\)个单位，\(y=-(x - 3) \)的图象是\(y=-x \)的图象向右平移\(3\)个单位。
当\(h<0\)时，二次函数\(y = a(x - h) \)的图象可以由\(y = ax \)的图象向左平移\(\vert h\vert\)个单位长度得到。例如，\(y=(x + 1) =(x - (-1)) \)的图象是\(y = x \)的图象向左平移\(1\)个单位，\(y=-(x + 2) =-(x - (-2)) \)的图象是\(y=-x \)的图象向左平移\(2\)个单位。
结合图象展示平移过程，用箭头标注平移方向和距离，帮助学生理解。
形状关系：\(y = a(x - h) \)与\(y = ax \)的图象形状完全相同，因为它们的二次项系数\(a\)相同，只是位置不同，这说明\(h\)值不影响抛物线的形状和开口宽窄，只影响图象的左右位置。
幻灯片 7：探究三 —— 二次函数\(y = a(x - h) \)的对称轴和顶点坐标
对称轴：观察所有\(y = a(x - h) \)的图象，发现它们的对称轴是直线\(x = h\)。例如，\(y=(x - 2) \)的对称轴是直线\(x = 2\)，\(y=(x + 1) \)的对称轴是直线\(x=-1\)。这是因为\(h\)决定了抛物线对称轴的位置，与\(a\)的值无关。通过在图象上标注对称轴，加深学生印象。
顶点坐标：\(y = ax \)的顶点坐标是\((0, 0)\)，当图象向右平移\(h\)个单位时，顶点坐标变为\((h, 0)\)；当图象向左平移\(\vert h\vert\)个单位时，顶点坐标同样变为\((h, 0)\)（因为此时\(h\)为负数）。所以，二次函数\(y = a(x - h) \)的顶点坐标是\((h, 0)\)。展示不同\(h\)值对应的函数图象的顶点位置，如\(y=(x - 2) \)顶点为\((2, 0)\)，\(y=(x + 1) \)顶点为\((-1, 0)\)，验证这一结论。
幻灯片 8：探究四 —— 二次函数\(y = a(x - h) \)的开口方向、最值和增减性
开口方向：与\(y = ax \)相同，当\(a>0\)时，\(y = a(x - h) \)的图象开口向上；当\(a<0\)时，图象开口向下。因为开口方向由\(a\)的符号决定，与\(h\)无关。举例展示\(y = 2(x - 1) \)（开口向上）和\(y=-2(x - 1) \)（开口向下）的图象对比。
最值情况：
当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点\((h, 0)\)是图象的最低点，所以当\(x = h\)时，函数有最小值，最小值为\(0\)。例如，\(y=(x - 2) \)的最小值是\(0\)。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点\((h, 0)\)是图象的最高点，所以当\(x = h\)时，函数有最大值，最大值为\(0\)。例如，\(y=-(x - 3) \)的最大值是\(0\)。
结合图象说明最值与\(a\)、\(h\)的关系。
增减性：增减性由\(a\)的符号和对称轴\(x = h\)共同决定，与\(h\)的具体数值无关。
当\(a>0\)时，在对称轴左侧（即\(xh\)时），\(y\)随\(x\)的增大而增大。例如，\(y=(x - 2) \)，当\(x<2\)时\(y\)随\(x\)增大而减小，当\(x>2\)时\(y\)随\(x\)增大而增大。
当\(a<0\)时，在对称轴左侧（即\(xh\)时），\(y\)随\(x\)的增大而减小。例如，\(y=-(x - 3) \)，当\(x<3\)时\(y\)随\(x\)增大而增大，当\(x>3\)时\(y\)随\(x\)增大而减小。
结合具体函数图象举例说明增减性的变化规律。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用性质解决问题
例题 1：已知二次函数\(y=-3(x - 4) \)，回答下列问题：
它的图象开口方向是怎样的？
图象的对称轴是什么？顶点坐标是多少？
当\(x = 4\)时，函数有最大值还是最小值？值是多少？
该函数的图象是由哪个函数的图象经过怎样的平移得到的？
解题步骤：
因为\(a=-3<0\)，所以图象开口向下。
对称轴是直线\(x = 4\)，顶点坐标是\((4, 0)\)。
由于\(a<0\)，当\(x = 4\)时，函数有最大值，最大值是\(0\)。
它的图象是由\(y=-3x \)的图象向右平移\(4\)个单位长度得到的。
例题 2：已知二次函数\(y = 2(x + 3) \)，若点\(A(-4, y_1)\)，\(B(-1, y_2)\)在该函数图象上，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解题步骤：
分别计算\(y_1\)和 (y_
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.3.2二次函数y=a(x-h) 的图象和性质
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.能说出抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的相互关系.
3.能说出抛物线y=a(x-h)2的开口方向、对称轴、顶点.
1.说说二次函数y=ax2+k的图象的特征.
y=ax2+k a>0，k>0 a>0，k<0 a<0，k<0 a<0，k>0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
2.二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象有何关系？
y=ax2
顶点(0, 0)
y=ax2+k
顶点(0, k)
当k>0时，
向上平移k个单位长度得到
当k<0时，
向下平移∣k∣个单位长度得到
思考：二次函数y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数y=ax2平移得到？
同学们继续观察喷泉图片.
你又有哪些发现呢？
在同一直角坐标系中，画出二次函数y= x2与y= (x-2)2的图象.
解：先列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y= x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 12.5 …
y= (x-2)2 … 12.5 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
描点、连线，画出这两个函数的图象.
y= x2
y= (x-2)2
y= (x-2)2
抛物线y= x2，y= (x-2)2的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
y= x2 y= (x-2)2
开口方向
对称轴
顶点坐标
y= x2
向上
y轴
（0,0）
向上
直线x=2
（2,0）
思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2 (a>0)的性质是什么
探究：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=- x2，
y=- (x+1)2与y=- (x-1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
解：先分别列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=- x2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=- (x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=- (x-1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …
为什么不将三个函数放在同一表中，而是单独列出对应值表呢？
y=- x2
y=- (x+1)2
y=- (x-1)2
描点、连线，画出这两个函数的图象.
y=- x2
y=- (x+1)2
y=- (x-1)2
y=- x2 y=- (x+1)2 y=- (x-1)2
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
y轴
（0,0）
向下
直线x=-1
（-1,0）
向下
直线x=1
（1,0）
思考：通过上述例子，函数y=a(x-h)2 (a<0)的性质是什么
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最大值=0
y=- x2
y=- (x+1)2
y=- (x-1)2
思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？
①开口方向和大小相同；
②顶点纵坐标相同；
③对称轴不同.
思考：抛物线y=- (x+1)2，y=- (x-1)2与抛物线y=- x2有什么关系？
y=- x2
y=- (x+1)2
y=- (x-1)2
y=- x2
y=- (x+1)2
向左平移
1个单位长度
y=- x2
y=- (x-1)2
向右平移
1个单位长度
思考：抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系？
y=ax2
对称轴：y轴
顶点(0, 0)
y=a(x-h)2
对称轴：x=h
顶点(h, 0)
当h>0时，
向右平移h个单位长度得到
当h<0时，
向左平移∣h∣个单位长度得到
左右平移规律：括号内左加右减.
练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：
y= x2，
y= (x+2)2 ，
y= (x-2)2 .
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点.
解：图象如图.
y
O
x
y= x2
2
-2
y= (x-2)2
y= (x+2)2
【教材P35练习】
y
O
x
y= x2
2
-2
y= (x-2)2
y= (x+2)2
y= x2，
y= (x+2)2 ，
y= (x-2)2 .
关系：形状相同，开口方向相同，而位置不同.
开口向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,0).
开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,0).
开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0).
随堂练习
1.抛物线y＝3(x-2)2可以由抛物线y＝3x2向 平移 个单位得到．
2.二次函数y=-2(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标
是 ，对称轴是 .
3.要得到抛物线y= (x-4)2，可将抛物线y= x2( ).
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
右
2
向下
（1，0）
x=1
C
4.写出下列各组函数图象的开口方向、对称轴和顶点.
（1）y=- (x+2)2； （2）y=3(x-1)2.
解：（1）开口向下，对称轴为x=-2，顶点为(-2, 0).
（2）开口向上，对称轴为x=1，顶点为(1, 0).
知识点1 二次函数 的图象和性质
1.［2025保定月考］已知二次函数 ，则它的图象大致为
( )
B
A. B. C. D.
返回
2.下列二次函数的图象中，开口向下的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
4.对于二次函数 ，其图象的顶点坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
5.二次函数 的最大值是( )
A
A.0 B. C.3 D.
返回
6.对于二次函数 ，下列结论正确的是( )
D
A.随 的增大而增大
B.当时，随 的增大而增大
C.当时，随 的增大而增大
D.当时，随 的增大而增大
返回
7.［2025秦皇岛校级期末］若点， 在抛物线
上，则， 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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