资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.4.1 二次函数\(y = ax + bx + c\)的图象和性质 —— 二次函数的一般形式探究
副标题：从特殊到一般，掌握二次函数的核心特征
配套元素：
背景图：展示二次函数\(y = x + 2x + 1\)、\(y = 2x - 4x + 3\)等的图象，体现一般形式二次函数图象的多样性。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)）与\(y = a(x - h) + k\)的转化关系，掌握通过配方将一般式化为顶点式的方法。
明确二次函数\(y = ax + bx + c\)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点坐标等核心性质，能根据系数确定这些性质。
能运用二次函数\(y = ax + bx + c\)的性质解决简单的函数问题，如求最值、判断增减性等。
过程与方法目标：
通过将一般式配方转化为顶点式的过程，体会转化思想在数学中的应用，培养代数变形能力。
在探究一般式二次函数性质的过程中，进一步巩固数形结合思想，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学知识从特殊到一般的发展规律，激发对数学探究的热情，体验攻克难题的成就感。
培养严谨的数学思维和耐心细致的学习态度，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
特殊形式二次函数回顾：
\(y = ax \)：对称轴是直线\(x = 0\)，顶点坐标\((0, 0)\)，开口方向由\(a\)决定。
\(y = ax + k\)：对称轴是直线\(x = 0\)，顶点坐标\((0, k)\)，由\(y = ax \)上下平移得到。
\(y = a(x - h) \)：对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标\((h, 0)\)，由\(y = ax \)左右平移得到。
\(y = a(x - h) + k\)：对称轴是直线\(x = h\)，顶点坐标\((h, k)\)，由\(y = ax \)先左右平移再上下平移得到。
展示上述函数的图象示例，帮助学生回忆相关性质。
提问引入：前面学习的都是二次函数的特殊形式，而实际问题中更多遇到的是一般形式\(y = ax + bx + c\)。那么，如何研究它的图象和性质呢？能否将其转化为我们熟悉的顶点式来分析？这就是本节课的重点内容。
幻灯片 4：探究一 —— 将\(y = ax + bx + c\)化为顶点式
配方转化过程：
以\(y = ax + bx + c\)为例，进行配方：\(
\begin{align*}
y&=ax + bx + c\\
&=a\left(x +\frac{b}{a}x\right)+c\\
&=a\left[x +\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right) -\left(\frac{b}{2a}\right) \right]+c\\
&=a\left(x + \frac{b}{2a}\right) - a\times\frac{b }{4a }+c\\
&=a\left(x + \frac{b}{2a}\right) + \frac{4ac - b }{4a}
\end{align*}
\)
令\(h=-\frac{b}{2a}\)，\(k = \frac{4ac - b }{4a}\)，则二次函数的一般式可转化为顶点式\(y = a(x - h) + k\)。
分步展示配方过程，每一步都详细讲解变形依据，帮助学生理解配方的原理。
结论：二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)）通过配方可以转化为顶点式\(y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right) + \frac{4ac - b }{4a}\)，这为我们研究其性质提供了便利。
幻灯片 5：探究二 —— 二次函数\(y = ax + bx + c\)的对称轴和顶点坐标
对称轴：由顶点式\(y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right) + \frac{4ac - b }{4a}\)可知，二次函数\(y = ax + bx + c\)的对称轴是直线\(x=-\frac{b}{2a}\)。
举例说明：对于二次函数\(y = 2x + 4x + 1\)，其中\(a = 2\)，\(b = 4\)，则对称轴为直线\(x=-\frac{4}{2\times2}=-1\)。结合函数图象标注对称轴，加深理解。
顶点坐标：顶点坐标为\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b }{4a}\right)\)。
举例说明：对于二次函数\(y = x - 2x + 3\)，\(a = 1\)，\(b=-2\)，\(c = 3\)，则顶点的横坐标为\(-\frac{-2}{2\times1}=1\)，纵坐标为\(\frac{4\times1\times3-(-2) }{4\times1}=\frac{12 - 4}{4}=2\)，所以顶点坐标是\((1, 2)\)。展示该函数图象，标注顶点位置，验证结论。
记忆方法：强调对称轴公式\(x=-\frac{b}{2a}\)和顶点坐标公式的重要性，可通过口诀帮助记忆，如 “对称轴，\(-b\)除以\(2a\)；顶点纵，\(4ac\)减\(b\)方再除以\(4a\)”。
幻灯片 6：探究三 —— 二次函数\(y = ax + bx + c\)的开口方向和最值
开口方向：与前面学过的二次函数一样，二次函数\(y = ax + bx + c\)的开口方向由二次项系数\(a\)决定。
当\(a>0\)时，抛物线开口向上。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下。
展示\(y = 2x + 2x + 1\)（开口向上）和\(y=-2x + 2x + 1\)（开口向下）的图象对比，直观呈现开口方向与\(a\)的关系。
最值情况：
当\(a>0\)时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，所以当\(x=-\frac{b}{2a}\)时，函数有最小值，最小值为\(y=\frac{4ac - b }{4a}\)。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，所以当\(x=-\frac{b}{2a}\)时，函数有最大值，最大值为\(y=\frac{4ac - b }{4a}\)。
举例说明：对于\(y = x - 4x + 5\)，\(a = 1>0\)，当\(x=-\frac{-4}{2\times1}=2\)时，\(y\)有最小值\(\frac{4\times1\times5-(-4) }{4\times1}=\frac{20 - 16}{4}=1\)。结合图象展示最值点，加深理解。
幻灯片 7：探究四 —— 二次函数\(y = ax + bx + c\)的增减性
增减性规律：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。
当\(a>0\)时：
在对称轴左侧（即\(x<-\frac{b}{2a}\)时），\(y\)随\(x\)的增大而减小。
在对称轴右侧（即\(x>-\frac{b}{2a}\)时），\(y\)随\(x\)的增大而增大。
当\(a<0\)时：
在对称轴左侧（即\(x<-\frac{b}{2a}\)时），\(y\)随\(x\)的增大而增大。
在对称轴右侧（即\(x>-\frac{b}{2a}\)时），\(y\)随\(x\)的增大而减小。
以\(y = 2x - 4x + 1\)（\(a>0\)，对称轴\(x = 1\)）和\(y=-2x - 4x + 1\)（\(a<0\)，对称轴\(x=-1\)）为例，结合图象用箭头标注增减趋势，帮助学生理解。
举例分析：对于二次函数\(y=-x + 2x + 3\)，\(a=-1<0\)，对称轴是直线\(x=-\frac{2}{2\times(-1)}=1\)。则当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。通过计算不同\(x\)值对应的\(y\)值，验证增减性规律。
幻灯片 8：例题解析 —— 运用性质解决问题
例题 1：已知二次函数\(y = 2x - 4x + 3\)，回答下列问题：
它的图象开口方向是怎样的？
图象的对称轴是什么？顶点坐标是多少？
当\(x\)取何值时，函数有最大值或最小值？值是多少？
当\(x\)在什么范围内时，\(y\)随\(x\)的增大而减小？
解题步骤：
因为\(a = 2>0\)，所以图象开口向上。
对称轴是直线\(x=-\frac{-4}{2\times2}=1\)。顶点的横坐标为\(1\)，纵坐标为\(\frac{4\times2\times3-(-4) }{4\times2}=\frac{24 - 16}{8}=1\)，所以顶点坐标是\((1, 1)\)。
由于\(a>0\)，当\(x = 1\)时，函数有最小值，最小值是\(1\)。
当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
例题 2：已知二次函数\(y=-x + 6x - 5\)，求该函数图象的顶点坐标，并说明如何由\(y=-x \)的图象经过平移得到该函数的图象。
解题步骤：
方法一（公式法）：\(a=-1\)，\(b = 6\)，\(c=-5\)，顶点横坐标\(x=-\frac{6}{2\times(-1)}=3\)，纵坐标\(y=\frac{4\times(-1)\times(-5)-6 }{4\times(-1)}=\frac{20 - 36}{-4}=4\)，所以顶点坐标是\((3, 4)\)。
方法二（配方法）：\(y=-x + 6x - 5=-(x - 6x + 9)+9 - 5=-(x - 3) + 4\)，所以顶点坐标是\((3, 4)\)。
平移过程：\(y=-x \)的图象先向右平移\(3\)个单位长度得到\(y=-(x - 3) \)的图象，再向上平移\(4\)个单位长度得到\(y=-(x - 3) + 4\)（即\(y=-x + 6x - 5\)）的图象。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
二次函数\(y = x - 2x + 2\)的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______，当\(x = \)时，\(y\)有最______值，是。
二次函数\(y=-2x + 4x - 1\)，当\(x\)______时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x\)______时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
提升题：
已知二次函数\(y = ax + bx + c\)的图象经过点\((0, 3)\)，\((1, 0)\)，\((2, -1)\)，求该二次函数的表达式，并求出其顶点坐标和对称轴。
当\(x = 1\)时，二次函数\(y = x + bx + c\)有最小值\(2\)，求\(b\)、\(c\)的值。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：课堂小结
核心收获：
二次函数\(y = ax + bx + c\)可通过配方转化为顶点式\(y = a\left(x + \frac{b}{2a}\right) + \frac{4ac - b }{4a}\)。
性质总结：
开口方向：由\(a\)决定，\(a>0\)开口向上，\(a<0\)开口向下。
对称轴：直线\(x=-\frac{b}{2a}\)。
顶点坐标：\(\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b }{4a}\right)\)。
最值：当\(a>0\)时，\(x=-\frac{b}{2a}\)时\(y\)有最小值\(\frac{4ac - b }{4a}\)；当\(a<0\)时，\(x=-\frac{b}{2a}\)时\(y\)有最大值\(\frac{4ac - b }{4a}\)。
增减性：由\(a\)的符号和对称轴共同决定。
方法提炼：研究一般形式二次函数的性质，关键是将其转化为顶点式或直接运用公式求出对称轴和顶点坐标，再结合开口方向分析其他性质，体现了转化思想和数形结合思想的应用。
幻灯片 11：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 22.1 第 8、10、12 题，要求写出详细的解题步骤，包括配方过程或公式应用过程。
选做题：已知二次函数\(y = x - 4x + m\)的最小值是\(1\)，求\(m\)的值；若该函数图象与\(x\)轴有两个交点，求\(m\)的取值范围。
实践题：观察生活中的抛物线形状物体（如投篮轨迹、拱桥等），尝试建立二次函数模型，并分析其对称轴和最值情况。
幻灯片 12：结束页
寄语：从特殊到一般，我们揭开了二次函数的神秘面纱；用公式与转化，我们掌握了函数性质的钥匙。愿你带着这份探究精神，在数学的世界里继续前行！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.4.1二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式.
2.会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值.
3.会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y= x2-6x+21的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
思考：怎样将y= x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式
y= x2-6x+21
想一想：配方的方法及步骤是什么？
（1）“提”：提出二次项系数；
（2）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式.
配方后的表达式通常称为顶点式.
= (x2-12x)+21
= (x2-12x+62)+21- ×62
= (x-6)2+3
二次函数y= x2-6x+21图象的对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3).
你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？
y=ax2+bx+c
（1）“提”
（2）“配”
（3）“化”
∴对称轴是 ，顶点坐标为 .
练一练
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x＋7；
（2）y=2x2-12x＋8.
=3(x2-2x)+7
=3(x2-2x+1)-3+7
=3(x-1)2＋4
对称轴是x=1，
顶点坐标为(1，4).
=2(x2-6x)+8
=2(x2-6x+9)-18+8
=2(x-3)2-10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，-10).
思考：怎样移动函数y= x2的图象可以得到函数y= (x-6)2+3的图象？
y= x2
向右平移
6个单位
y= (x-6)2
向上平移
3个单位
y= (x-6)2+3
y= x2
向上平移
3个单位
y= x2+3
向右平移
6个单位
y= (x-6)2+3
方法1
方法2
平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变.
由二次函数y= x2-6x+21= (x-6)2+3，可知：
抛物线y= x2
抛物线y= x2-6x+21
抛物线y= (x-6)2+3
相同
上移3，右移6
下移3，左移6
在实际画图中，平移的方法不易操作，那么采取什么方法可以直接画出函数y= x2-6x+21的图象呢
描点法
先利用对称性列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y= x2-6x+21 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
描点、连线，画出这个函数的图象.
y= x2-6x+21
开口_______，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
向上
直线x=6
(6, 3)
y= x2-6x+21
当x<6时，y随x___________；
当x>6时，y随x___________.
增大而减小
增大而增大
描点、连线，画出这个函数的图象.
探 究
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗
解：配方得y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x2+2x+1)+2+1
=-2(x+1)2+3
=-2(x+1)2+3
由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点.
画图：先利用对称性列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
开口向下，
对称轴是x=-1，
顶点坐标是(-1, 3).
当x<-1时，y随x增大而增大；
当x>-1时， y随x增大而减小.
描点、连线，画出这个函数的图象.
y=-2x2-4x+1
要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得：
可知一般二次函数的图象的对称轴是x=- ，
顶点(- , ).
是最高点还是最低点呢 由谁决定呢
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
练习
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）y=3x2+2x； （2）y=－x2－2x；
（3）y=－2x2+8x－8； （4）y= x2－4x+3.

开口向上，
对称轴为直线 x=- ，
顶点为(- , ).
开口向下，
对称轴为x=-1，
顶点为(-1, 1).
开口向下，
对称轴为x=2
顶点为(2, 0).
开口向上，
对称轴为x=4，
顶点为(4, -5).
随堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( ).
A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
D
2.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ).
A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D.b≤1
D
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
① a，b同号；
② 当x=-1和x=3时，函数值相等；
③ 4a+b=0；
④ 当y=-2时，x的值只能取0；
其中正确的是_______.
②
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3, -5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x<3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3.
5.已知二次函数y=x2-4x-1.
（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
解：y=x2-4x-1=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5，
该函数图象顶点B的坐标为(2, -5).
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积.
解：y=x2-4x-1=(x-2)2-5，
∴B(2, -5)，A(2, 0).
当x=0时，y=-1.
∴C(0, -1).
S四边形OABC= (AB+OC)·OA=6.
知识点1 二次函数与 的关系
1.用配方法将二次函数化成 的形式为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.若可配方为，则____， ___.
8
返回
知识点2 二次函数 的图象的顶点坐标公式
3.求二次函数 的图象的对称轴和顶点坐标.
解：将 的二次项系数化为1，
得_ _ .
配方，得（___）（___） ，
_ _____ ,
即_ __ _______.
抛物线 的对称轴是直线_ ________，顶点坐标是
_ ____________.
返回
4.抛物线 的对称轴是直线______，顶点坐标为
_ ________.
返回
知识点3 二次函数 的图象与性质
5.［2025邯郸校级月考］若抛物线的开口向下，则 的
值可以是( )
D
A.0 B.1 C.2 D.
返回
6.二次函数 的图象大致是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.已知二次函数，当函数值随的增大而增大时， 的
取值范围是( )
B
A. B. C. D.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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