资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 —— 解锁函数表达式的钥匙
副标题：根据条件选择形式，精准确定函数解析式
配套元素：
背景图：展示二次函数图象与不同已知条件的结合，如顶点、与坐标轴交点等。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解待定系数法的概念，掌握用待定系数法求二次函数解析式的基本思路。
能够根据不同的已知条件，选择合适的二次函数解析式形式（一般式、顶点式、交点式）进行求解。
熟练运用待定系数法解决与二次函数解析式相关的实际问题和数学问题。
过程与方法目标：
通过分析不同已知条件下二次函数解析式的求解过程，培养分析问题、选择合适方法解决问题的能力。
在探究不同形式解析式求解的过程中，体会转化思想和方程思想的应用，提升数学思维能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学方法的严谨性和实用性，激发对数学学习的兴趣，增强解决问题的信心。
培养细致耐心的解题习惯，体验通过努力成功求解函数解析式的成就感。
幻灯片 3：复习回顾 —— 二次函数的解析式形式
三种常见形式：
一般式：\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)），其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，适用于已知函数图象上任意三个点坐标的情况。
顶点式：\(y = a(x - h) + k\)（\(a 0\)），其中\((h, k)\)为抛物线的顶点坐标，适用于已知抛物线顶点坐标和另外一个点坐标的情况。
交点式（两根式）：\(y = a(x - x )(x - x )\)（\(a 0\)），其中\(x \)、\(x \)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标，适用于已知抛物线与\(x\)轴两个交点坐标和另外一个点坐标的情况。
展示每种形式对应的函数图象示例，标注相关特征，帮助学生回忆。
提问引入：我们已经学习了二次函数的图象和性质，那么当已知函数图象上的一些点或其他特征时，如何确定二次函数的解析式呢？这就需要用到待定系数法，本节课我们就来详细学习。
幻灯片 4：待定系数法的基本思路
概念讲解：待定系数法是一种求未知数的方法，对于二次函数而言，就是先设出函数的解析式，其中含有未知的系数，再根据题目给出的条件列出关于这些系数的方程（组），解出未知系数的值，从而确定函数解析式。
步骤总结：
设：根据已知条件选择合适的二次函数解析式形式，设出含有待定系数的解析式。
列：将已知条件代入所设解析式中，列出关于待定系数的方程或方程组。
解：解方程组，求出待定系数的值。
写：将求出的系数代入所设解析式中，写出二次函数的解析式。
用流程图形式展示这四个步骤，清晰呈现待定系数法的基本思路。
幻灯片 5：类型一 —— 已知三点坐标求解析式（一般式应用）
例题：已知二次函数的图象经过点\(A(0, -3)\)、\(B(1, -4)\)、\(C(-1, 0)\)，求这个二次函数的解析式。
解题步骤：
设解析式：因为已知三个点的坐标，选择一般式\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)）。
列方程组：将三个点的坐标分别代入解析式得：
当\(x = 0\)，\(y=-3\)时，\(c=-3\)。
当\(x = 1\)，\(y=-4\)时，\(a + b + c=-4\)。
当\(x=-1\)，\(y = 0\)时，\(a - b + c = 0\)。
得到方程组\(\begin{cases}c=-3\\a + b + c=-4\\a - b + c = 0\end{cases}\)。
解方程组：将\(c=-3\)代入后两个方程，得\(\begin{cases}a + b-3=-4\\a - b-3 = 0\end{cases}\)，化简为\(\begin{cases}a + b=-1\\a - b = 3\end{cases}\)。两式相加得\(2a = 2\)，解得\(a = 1\)，将\(a = 1\)代入\(a + b=-1\)得\(b=-2\)。
写解析式：所以二次函数的解析式为\(y = x - 2x - 3\)。
注意事项：代入点的坐标时要注意对应关系，解方程组时要仔细计算，确保结果正确。
幻灯片 6：类型二 —— 已知顶点坐标和一点求解析式（顶点式应用）
例题：已知二次函数的图象顶点坐标为\((2, 1)\)，且经过点\((3, 3)\)，求这个二次函数的解析式。
解题步骤：
设解析式：因为已知顶点坐标\((2, 1)\)，选择顶点式\(y = a(x - 2) + 1\)（\(a 0\)）。
列方程：将点\((3, 3)\)代入解析式得：\(a(3 - 2) + 1 = 3\)，即\(a + 1 = 3\)。
解方程：解得\(a = 2\)。
写解析式：将\(a = 2\)代入所设解析式，得到\(y = 2(x - 2) + 1\)，展开为一般式为\(y = 2x - 8x + 9\)（根据需要选择是否展开）。
拓展提问：如果已知二次函数的最大值为\(4\)，且图象经过点\((1, 2)\)和\((0, 3)\)，该如何设解析式？（提示：最大值在顶点处取得，顶点纵坐标为\(4\)，可设顶点式\(y = a(x - h) + 4\)）
幻灯片 7：类型三 —— 已知与 x 轴交点和一点求解析式（交点式应用）
例题：已知二次函数的图象与\(x\)轴交于点\(A(-1, 0)\)、\(B(3, 0)\)，且经过点\(C(0, 3)\)，求这个二次函数的解析式。
解题步骤：
设解析式：因为已知抛物线与\(x\)轴的两个交点坐标，选择交点式\(y = a(x + 1)(x - 3)\)（\(a 0\)）。
列方程：将点\(C(0, 3)\)代入解析式得：\(a(0 + 1)(0 - 3)=3\)，即\(-3a = 3\)。
解方程：解得\(a=-1\)。
写解析式：将\(a=-1\)代入所设解析式，得到\(y=-(x + 1)(x - 3)\)，展开为一般式为\(y=-x + 2x + 3\)。
注意事项：交点式中括号内的形式是\((x - x )\)和\((x - x )\)，当交点横坐标为负数时，要注意符号的正确性，如交点\(A(-1, 0)\)对应\((x + 1)\)。
幻灯片 8：例题解析 —— 综合应用
例题：已知二次函数的图象经过点\((-2, 0)\)，且当\(x = 1\)时，函数有最大值\(4\)，求这个二次函数的解析式。
解题步骤：
分析条件：当\(x = 1\)时函数有最大值\(4\)，说明抛物线的顶点坐标是\((1, 4)\)，且开口向下。
设解析式：选择顶点式\(y = a(x - 1) + 4\)（\(a 0\)）。
列方程：将点\((-2, 0)\)代入解析式得：\(a(-2 - 1) + 4 = 0\)，即\(9a + 4 = 0\)。
解方程：解得\(a=-\frac{4}{9}\)。
写解析式：所以二次函数的解析式为\(y=-\frac{4}{9}(x - 1) + 4\)，展开为一般式为\(y=-\frac{4}{9}x + \frac{8}{9}x + \frac{32}{9}\)。
方法总结：当已知函数的最值或顶点坐标时，优先选择顶点式，可简化计算过程。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
已知二次函数的图象经过点\((0, 2)\)、\((1, 1)\)、\((2, 5)\)，求该二次函数的解析式（用一般式）。
已知二次函数的顶点坐标为\((-1, 2)\)，且经过点\((1, -2)\)，求该二次函数的解析式（用顶点式）。
提升题：
已知二次函数的图象与\(x\)轴交于点\((2, 0)\)和\((4, 0)\)，且经过点\((1, 3)\)，求该二次函数的解析式（用交点式）。
已知二次函数当\(x = 2\)时，\(y\)有最小值\(-3\)，且图象与\(y\)轴交于点\((0, 1)\)，求该二次函数的解析式。
要求：学生独立完成后，小组内交流解题思路和答案，选取不同类型题目的代表进行展示讲解，教师点评。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
选择解析式形式不当，导致计算复杂或无法求解。例如，已知顶点坐标却选择一般式，增加计算量。
代入点的坐标时出错，将横坐标和纵坐标颠倒，或符号错误。
解方程组时计算错误，导致待定系数的值不正确。
写出解析式后未进行验证，未将已知点代入解析式检验是否正确。
避坑技巧：
仔细分析已知条件，根据特征选择合适的解析式形式。
代入坐标时反复核对，确保横纵坐标对应正确，符号无误。
解方程组时步骤清晰，可通过代入检验确保解的正确性。
求出解析式后，务必将已知点代入验证，保证结果准确。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
待定系数法求二次函数解析式的基本步骤：设、列、解、写。
三种解析式形式的适用条件：
一般式：已知图象上三个点的坐标。
顶点式：已知顶点坐标（或最值）和另一个点的坐标。
交点式：已知与\(x\)轴两个交点坐标和另一个点的坐标。
关键是根据已知条件灵活选择解析式形式，简化计算过程。
方法提炼：在解决问题时，要先分析已知条件的特征，再选择对应的解析式形式，体现了 “具体问题具体分析” 的思想，同时待定系数法也体现了方程思想的应用。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 22.1 第 14、16、18 题，分别用三种不同形式的解析式求解，写出详细步骤。
选做题：已知二次函数的图象经过点\((1, 0)\)、\((-1, -2)\)、\((2, 3)\)，求该函数的解析式，并求出其顶点坐标和对称轴。
拓展题：某二次函数的图象与\(x\)轴交于\((-2, 0)\)，且当\(x = 0\)时，\(y = 4\)，函数的最大值为\(5\)，求这个二次函数的解析式。
幻灯片 13：结束页
寄语：待定系数法是连接已知与未知的桥梁，选择合适的解析式形式是解题的关键。愿你能熟练运用这一方法，轻松破解二次函数解析式的奥秘！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1.4.2用待定系数法求二次函数的解析式
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1：一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
把点(-1, 10)、(1, 4) 、(2, 7)代入可得
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解得
a=2
b=-3
c=5
∴这个二次函数解析式是y=2x2-3x+5.
写出解析式
一般式法求二次函数表达式的方法
若已知抛物线过三个点，可设一般式求二次函数的表达式.这种方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
任意两点的连线不与y轴平行.
练一练
一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c.
把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得
解得a=4，b=5，c=0.
∴抛物线的解析式为y=4x2+5x.
c=0
a-b+c=-1
a+b+c=9
【教材P40练习 第2题】
问题2：已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式.
解：∵抛物线顶点为(1, -4)，
∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4.
把点(3, 0)代入得
0=a(3-1)2-4，
解得a=1.
∴这条抛物线为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3.
顶点式法求二次函数表达式的方法
若已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）及另一点，可设顶点式求表达式.这样的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标；
③将另一点的坐标代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
练一练
1.一个二次函数，当x=-1时，y有最大值为-4，当x=1时，y为
-8，求抛物线的解析式.
2.抛物线的对称轴为直线x=1，且过点(2, -3)，(-1, 0)，求抛物线的解析式.
顶点坐标(-1, -4)
y=-(x+1)2-4
y=a(x-1)2+k
或y=ax2+bx+c，- =1
y=(x-1)2-4
y=x2-2x-3
3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式.
【教材P40练习 第1题】
解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c.
把点 (0, -1)，(-2, 0)，( , 0)代入可得
解得a=1，b= ，c=-1.
∴抛物线的解析式为y=x2+ x-1.
4a-2b+c=0
a+ b+c=0
c=-1
你还有其他的方法吗？
当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点A(x1，0)，B(x2，0)，
显然，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根.
则x1+x2=- ，x1x2= .
∴ y=ax2+bx+c=a(x2+ x+ )
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的交点式
3.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式.
【教材P40练习 第1题】
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x- )，即y=x2+ x-1.
解：设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x- ).
把点 (0, -1) 代入可得
-1=a(0+2)(0- )，
解得a=1.
方法二：
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中；
③将另一个点代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
归纳小结
求二次函数解析式时
图象过一般三点：
常设一般式
y=ax2+bx+c
已知顶点坐标：
常设顶点式
y=a(x-h)2+k
已知抛物线与x轴两交点：
常设交点式
y= a(x-x1)(x-x2)
练一练
顶点式
交点式
图象过x轴上的-3和4，并过y轴上-1
图象顶点坐标(3,2)，与x轴交于(-3,0)
函数过点
(0,-3)，(2,0)，(-3,0)
图象过点
(-5,0)，对称轴为x=-2，y有最大值5
1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2)，且过点B(0,2)，则y与x的函数关系式为( ).
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)
和(-1,-6)两点，则a+c= ．
3.已知二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，则其解析式为 .
D
-2
y=-7(x-3)2+4
4.如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8,0)、(0,4)，求这个抛物线的解析式.
解：由抛物线过A(8, 0)及对称轴为x=3，
知抛物线一定过点(-2, 0).
设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8)，
∵抛物线过点(0, 4)，
把点 (0, 4) 代入可得4=a(0+2)(0-8)，解得a=- .
∴这个抛物线的解析式为y=- (x+2)(x-8)，
即y=- x2+ x+4
5.已知抛物线顶点(1, 16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式.
解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5, 0)，(-3, 0)，
设解析式为y=a(x-5)(x+3)，
∵抛物线过点(1, 16)，
把点 (1, 16) 代入可得16=a(1-5)(1+3)，解得a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)，
即y=-x2+2x+15.
知识点1 已知抛物线上任意点求二次函数解析式（一般式）
1.若抛物线经过点，则 的值为( )
B
A.2 B.1 C.0 D.
返回
2.［教材练习变式］已知二次函数，当 时，
；当时，，则， 的值分别是( )
A
A.3， B.3，1 C.，1 D.，
返回
3.［教材 探究变式］［2025邢台校级期中］若二次函数的图象经过
，， 三点，则它的解析式为( )
D
A. B.
C. D.
返回
4.若,由下面表格的信息可知与 之间的函数解析式是
________________.
0 1
1
8 3
返回
知识点2 已知抛物线的顶点和另外一点求二次函数解析式（顶点式）
5.若二次函数的图象的顶点坐标为，且过点 ，则二次函数
的解析式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
6.［2025沧州校级月考］顶点坐标为 ，开口方向和开口大小与抛
物线 相同的抛物线的解析式是___________________.
返回
7.已知二次函数的图象经过点，且当时，有最小值 ，
求二次函数的解析式.
解：由题意可得，二次函数图象的顶点坐标为 ，
设二次函数的解析式为,将点 代入解析式，得
，解得 ,
二次函数的解析式为 .
返回
知识点3 已知抛物线与 轴的两交点和另外一点求二次函数解析式
（交点式）
8.已知抛物线与轴交于，两点，且经过点 .可设
该抛物线的解析式为______)，将点 代入解析式，
得方程________，解得 ___，故该抛物线的解析式为______________
____.
2
1
2
返回
已知条件
待定系数法
求二次函数解析式
所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或对称轴或最值
用顶点法：y=a(x-h)2+k
③已知抛物线与x轴的两个交点
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
（x1，x2为交点的横坐标）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑