资源简介

幻灯片 1：标题页
标题：22.2 二次函数与一元二次方程 —— 探寻函数与方程的内在联系
副标题：通过图象理解关系，运用关系解决问题
配套元素：
背景图：展示二次函数图象与 x 轴交点的示意图，突出交点坐标与方程解的对应关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解二次函数\(y = ax?? + bx + c\)（\(a???0\)）的图象与一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)（\(a???0\)）的根的关系。
能够根据二次函数的图象判断一元二次方程根的个数，以及根据方程根的情况分析函数图象的特征。
会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，掌握数形结合的解题方法。
过程与方法目标：
通过观察二次函数图象与 x 轴的交点情况，经历从具体到抽象的过程，培养观察分析能力和抽象概括能力。
在探究函数与方程关系的过程中，体会数形结合思想的应用，提升综合运用知识解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受数学知识之间的内在联系，激发对数学探究的兴趣，培养严谨的思维习惯。
体验通过图象分析解决方程问题的直观性和便捷性，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
二次函数回顾：二次函数\(y = ax?? + bx + c\)（\(a???0\)）的图象是一条抛物线，其与 x 轴的交点坐标满足函数值\(y = 0\)。
一元二次方程回顾：一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)（\(a???0\)）的解（根）是使方程左右两边相等的未知数的值，其解的情况可以通过判别式\(\Delta=b?? - 4ac\)判断：
当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根。
当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根。
当\(\Delta<0\)时，方程没有实数根。
提问引入：二次函数和一元二次方程都含有\(ax?? + bx + c\)的形式，它们之间是否存在某种联系？二次函数的图象能否帮助我们理解一元二次方程的根的情况？本节课我们就来探究这些问题。
幻灯片 4：探究一 —— 二次函数图象与 x 轴交点和方程根的关系
实例分析：
对于二次函数\(y = x?? - 2x - 3\)，当\(y = 0\)时，得到方程\(x?? - 2x - 3 = 0\)，解方程得\(x???=-1\)，\(x??? = 3\)。观察其图象，发现抛物线与 x 轴交于点\((-1, 0)\)和\((3, 0)\)，交点的横坐标恰好是方程的两个根。
对于二次函数\(y = x?? - 4x + 4\)，当\(y = 0\)时，方程\(x?? - 4x + 4 = 0\)的解为\(x??? = x??? = 2\)。其图象与 x 轴只有一个交点\((2, 0)\)，交点的横坐标是方程的两个相等的根。
对于二次函数\(y = x?? - 2x + 2\)，当\(y = 0\)时，方程\(x?? - 2x + 2 = 0\)，判别式\(\Delta=(-2)?? - 4??1??2=4 - 8=-4<0\)，方程没有实数根。观察其图象，发现抛物线与 x 轴没有交点。
展示三个函数的图象及对应的方程求解过程，直观呈现关系。
结论：二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)的实数根。
幻灯片 5：归纳总结 —— 交点个数与方程根的情况对应关系
对应关系：
当二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象与 x 轴有两个不同的交点时，一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)有两个不相等的实数根，此时判别式\(\Delta=b?? - 4ac>0\)。
当二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象与 x 轴有一个交点（即相切）时，一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)有两个相等的实数根，此时判别式\(\Delta=b?? - 4ac=0\)。
当二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象与 x 轴没有交点时，一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)没有实数根，此时判别式\(\Delta=b?? - 4ac<0\)。
用表格形式清晰呈现三者之间的对应关系，并配有不同情况的图象示例。
注意事项：这里的对应关系是针对实数根而言的，判别式的符号决定了方程根的情况，也决定了二次函数图象与 x 轴交点的个数。
幻灯片 6：探究二 —— 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
方法讲解：对于一些难以直接求解的一元二次方程，可以通过画出对应的二次函数图象，找到图象与 x 轴交点的横坐标，从而得到方程的近似解。
例题：求方程\(x?? - 2x - 1 = 0\)的近似解（精确到\(0.1\)）。
解题步骤：
构造函数：令\(y = x?? - 2x - 1\)，则方程\(x?? - 2x - 1 = 0\)的解就是函数\(y = x?? - 2x - 1\)的图象与 x 轴交点的横坐标。
绘制图象：用描点法画出函数\(y = x?? - 2x - 1\)的图象，观察图象与 x 轴的交点位置，大致在\(x???-0.4\)和\(x???2.4\)附近。
精确估算：
在\(x=-0.4\)时，\(y=(-0.4)?? - 2??(-0.4)-1=0.16 + 0.8 - 1=-0.04\)。
在\(x=-0.3\)时，\(y=(-0.3)?? - 2??(-0.3)-1=0.09 + 0.6 - 1=-0.31\)。
因为\(x=-0.4\)时\(y\)更接近\(0\)，所以一个近似解为\(x???-0.4\)。
在\(x=2.4\)时，\(y=2.4?? - 2??2.4 - 1=5.76 - 4.8 - 1=-0.04\)。
在\(x=2.3\)时，\(y=2.3?? - 2??2.3 - 1=5.29 - 4.6 - 1=-0.31\)。
所以另一个近似解为\(x???2.4\)。
展示函数图象及估算过程，强调估算的方法。
幻灯片 7：例题解析 —— 根据方程根的情况分析函数图象特征
例题：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x?? - 2x + m = 0\)有两个不相等的实数根，求二次函数\(y = x?? - 2x + m\)的图象与 x 轴的交点个数及\(m\)的取值范围。
解题步骤：
分析方程根的情况：因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式\(\Delta=(-2)?? - 4??1??m>0\)，即\(4 - 4m>0\)，解得\(m<1\)。
确定函数图象与 x 轴交点个数：根据前面总结的对应关系，当\(\Delta>0\)时，二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点。
结论：二次函数\(y = x?? - 2x + m\)的图象与 x 轴有两个不同的交点，\(m\)的取值范围是\(m<1\)。
拓展提问：若方程有两个相等的实数根，函数图象与 x 轴有几个交点？\(m\)的值是多少？（答案：1 个交点，\(m = 1\)）
幻灯片 8：例题解析 —— 根据函数图象解决方程问题
例题：二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象如图所示（假设图象与 x 轴交于\((-1, 0)\)和\((3, 0)\)，与 y 轴交于\((0, -3)\)），求关于\(x\)的方程\(ax?? + bx + c = 0\)的根及\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
解题步骤：
求方程的根：因为函数图象与 x 轴交于\((-1, 0)\)和\((3, 0)\)，所以方程\(ax?? + bx + c = 0\)的根是\(x???=-1\)，\(x??? = 3\)。
求函数解析式：设二次函数的交点式为\(y = a(x + 1)(x - 3)\)，将点\((0, -3)\)代入得：\(a(0 + 1)(0 - 3)=-3\)，即\(-3a=-3\)，解得\(a = 1\)。
展开解析式求\(b\)、\(c\)：\(y=(x + 1)(x - 3)=x?? - 2x - 3\)，所以\(b=-2\)，\(c=-3\)。
方法总结：当已知二次函数图象与 x 轴的交点时，可先确定方程的根，再利用交点式求出函数解析式，进而得到系数的值。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
二次函数\(y = x?? - 5x + 6\)的图象与 x 轴交点的坐标是______，对应的一元二次方程\(x?? - 5x + 6 = 0\)的根是______。
已知一元二次方程\(2x?? - 4x + 1 = 0\)，判别式\(\Delta=\)，该方程根的情况是，对应的二次函数\(y = 2x?? - 4x + 1\)的图象与 x 轴交点的个数是______。
提升题：
若二次函数\(y = x?? - 2x + k\)的图象与 x 轴只有一个交点，求\(k\)的值及交点坐标。
利用二次函数的图象求方程\(x?? - 3x + 1 = 0\)的近似解（精确到\(0.1\)）。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
混淆二次函数图象与 x 轴交点的横坐标和纵坐标，错误地认为交点坐标就是方程的根。
不能正确理解判别式与函数图象和 x 轴交点个数的关系，导致根据方程根的情况判断交点个数时出错。
在利用函数图象求方程近似解时，估算不够精确，误差较大。
已知函数图象与 x 轴交点求解析式时，忘记设交点式，而是直接设一般式，增加计算难度。
避坑技巧：
明确方程的根是交点的横坐标，而非交点坐标本身。
牢记判别式、方程根的情况、函数图象与 x 轴交点个数三者之间的对应关系，可通过举例加深理解。
估算近似解时，多计算几个邻近点的函数值，找到函数值由正变负或由负变正的区间，再逐步缩小范围。
已知交点坐标时，优先选择交点式求解析式，简化计算。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)的实数根。
三者对应关系：\(\Delta>0\)?方程有两个不相等实根?函数图象与 x 轴有两个交点；\(\Delta=0\)?方程有两个相等实根?函数图象与 x 轴有一个交点；\(\Delta<0\)?方程无实根?函数图象与 x 轴无交点。
可利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，体现了数形结合思想的应用。
方法提炼：解决二次函数与一元二次方程相关问题时，要善于将函数问题转化为方程问题，或将方程问题转化为函数图象问题，充分利用数形结合的方法分析和解决问题。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 22.2 第 2、4、6 题，要求结合函数图象进行分析和解答。
选做题：已知二次函数\(y = x?? + bx + c\)的图象与 x 轴交于\((1, 0)\)，且当\(x = 2\)时，\(y = 3\)，求该函数的解析式及对应的一元二次方程的另一个根。
拓展题：二次函数\(y = ax?? + bx + c\)的图象经过点\((0, 1)\)，且当\(x = 1\)时，\(y\)有最小值\(-1\)，求该函数的解析式，并判断对应的一元二次方程\(ax?? + bx + c = 0\)根的情况。
幻灯片 13：结束页
寄语：函数与方程紧密相连，图象是理解它们关系的桥梁。愿你能熟练运用数形结合的思想，在函数与方程的世界中自由穿梭！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2 二次函数与一元二次方程
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
2.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
思考：你如何看待等式2x-1=0? 你能求出x的值吗?
等式
2x-1=0
方程角度
一元一次方程2x-1=0的解
函数观点
一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值
数
2x=1
一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值
直线y=2x与直线y=1交点的横坐标
直线y=2x-1与x轴交点的横坐标
形
方程角度
一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解
直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？
问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2.
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=15，则
15=20t-5t2.
解得t1=1，t2=3.
当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
15
1
3
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20，则
20=20t-5t2.
解得t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
20
2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20.5，则
20.5=20t-5t2.
即t2-4t+4.1=0.
∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴次方程无实数根.
即小球的飞行高度不能达到20.5m.
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度？
20.5
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=0，则
0=20t-5t2.
解得t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时球地面飞出，4s时球落回地面.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）何时为一元二次方程?
为一个常数（定值）
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c（a≠0）就是一个一元二次方程.
二次函数与一元二次方程的关系：
y=ax2+bx+c
一元二次方程
y取定值
且a≠0
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
求相应的一元二次方程的根
例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．
反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．
思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 由此 ， 你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.
先画出函数图象：
（1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1.
无公共点
公共点的函数值为 .
0
0=x2-x+1.
0=x2+x-2
0=x2-6x+9
x1=-2，x2=1.
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？
x1=x2=3.
对应一元二次方程的根是多少？
有两个不等的实根
有两个相等的实根
方程无实数根
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程角度
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解
抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
练一练
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.
∵(m-2)2≥0，
∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点.
已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
练一练
已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(2)解：令y=0，则(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0，
解得x1=1，x2= .
当m为正整数1或2时，x2的值为整数.
又∵当m为2时， Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点，
∴正整数m的值为1.
例 利用函数图象求方程x?-2x-2=0的实数根（结果保留小数点后一位）.
解：画出函数y=x2-2x-2的图象，如图所示.
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7.
我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的．
练一练
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
解：画出函数y=2x2+x-15的图象，如图所示.
它与x轴的公共点的横坐标大约是-3，2.5.
所以方程2x2+x-15=0的实数根为x1≈-3，x2≈2.5.
问题1：函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是____________；
x1=-1，x2=3
不等式ax2+bx+c>0的解集是____________；
x<-1或x>3
不等式ax2+bx+c<0的解集是____________.
-1问题2：如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有____个交点，坐标是____
______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
问题3：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有______个交点，
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
1
(2, 0)
2
0
y
O
x
当a>0时，ax2+bx+c<0无解；
当a<0时，ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}b2-4ac的取值
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
a>0
y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0
(a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0
(a≠0)的解集
有两个交点
xx2
x1有一个交点
x≠x1或x≠x2
无解
无交点
全体实数
无解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}b2-4ac的取值
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
a<0
y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0
(a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0
(a≠0)的解集
有两个交点
有一个交点
无交点
x1无解
无解
xx2
x≠x1或x≠x2
全体实数
知识点1 抛物线和???? 轴的公共点坐标与对应的一元二次方程的根之
间的关系
?
1.一元二次方程????????+?????????????=???? 的根是_________________，所以抛物
线????=????????+?????????????与???? 轴的公共点坐标是_______________.
?
????????=????，????????=?????
?
(????,????)，(?????,????)
?
返回
2.［2025保定月考］已知二次函数????=?????????+????????+????
的图象如图所示，对称轴为直线????=????，则关于???? 的一
元二次方程?????????+????????+????=???? 的解为( )
?
B
A.????????=?????，????????=???? B.????????=?????，????????=????
C.????????=?????，????????=???? D.????????=????，????????=????
?
返回
3.已知二次函数????=????????????+????????+???? 的图象如图所示，利用图
象解答下列各题：
?
（1）方程????????????+????????+????=???? 的根是_________________；
?
????????=?????，????????=????
?
（2）方程????????????+????????+????=????? 的根是_______________；
（3）方程????????????+????????+????=???? 的根是_________________；
（4）方程????????????+????????+????=????? 的根是____________；
?
????????=????，????????=????
?
????????=????，????????=?????
?
????????=????????=????
?
（5）方程????????????+????????+????=????? 的根的情况怎样？
?
[答案] 方程无实数根.
返回
知识点2 抛物线和???? 轴的公共点个数与对应的一元二次方程根的判
别式之间的关系
?
4.二次函数????=????????????+????????+????的图象与???? 轴有一个公共点，则对应的一元
二次方程????????????+????????+????=???? 的根的情况是( )
?
B
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
返回
5.［2025廊坊校级期末］抛物线????=?????????????????+????与???? 轴的交点有( )
?
B
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
返回
6.若抛物线????=?????????????+????（????是常数）与????轴没有交点，则???? 的取值范围
是______.
?
????>????????
?
返回
课堂小结
解一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
确定二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)
的图象与x轴公共点的横坐标
数
形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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