资源简介

幻灯片 1：标题页
标题：22.3.1 二次函数与图形面积问题 —— 用函数刻画面积的变化规律
副标题：建立函数模型，求解面积最值与相关问题
配套元素：
背景图：展示矩形、三角形等图形与二次函数图象结合的示意图，体现面积与变量的关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
能够根据图形的特征，结合已知条件，建立二次函数模型表示图形的面积与某个变量之间的关系。
会运用二次函数的性质（如最值、增减性等）解决图形面积的最值问题。
熟练掌握利用二次函数解决矩形、三角形等基本图形面积问题的方法和步骤。
过程与方法目标：
通过分析图形面积与变量之间的关系，经历 “实际问题 — 建立函数模型 — 解决问题” 的过程，培养数学建模能力。
在探究面积最值的过程中，进一步体会数形结合思想和转化思想的应用，提升分析和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受二次函数在解决实际图形面积问题中的实用性，激发对数学应用的兴趣，培养应用数学的意识。
体验通过建立函数模型解决复杂问题的成就感，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
二次函数最值回顾：对于二次函数\(y = ax?? + bx + c\)（\(a???0\)），当\(a>0\)时，函数有最小值，最小值为\(y=\frac{4ac - b??}{4a}\)，此时\(x=-\frac{b}{2a}\)；当\(a<0\)时，函数有最大值，最大值为\(y=\frac{4ac - b??}{4a}\)，此时\(x=-\frac{b}{2a}\)。
图形面积公式回顾：
矩形面积公式：\(S = é???????\)。
三角形面积公式：\(S=\frac{1}{2}???????é??\)。
梯形面积公式：\(S=\frac{1}{2}??(?????? + ??????)??é??\)。
提问引入：在图形中，当某些边的长度发生变化时，图形的面积也会随之变化，这种变化关系能否用二次函数来表示？如何利用二次函数求出图形面积的最大值或最小值呢？本节课我们就来探究这些问题。
幻灯片 4：探究一 —— 矩形面积问题
例题：用一根长为\(40cm\)的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为\(x cm\)，面积为\(S cm??\)。
求\(S\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。
当\(x\)取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
分析过程：
确定变量关系：已知铁丝长\(40cm\)，即矩形的周长为\(40cm\)，一边长为\(x cm\)，则另一边长为\((20 - x)cm\)。
建立面积函数：根据矩形面积公式，可得\(S = x(20 - x)=-x?? + 20x\)。
确定自变量取值范围：因为边长为正数，所以\(x>0\)且\(20 - x>0\)，即\(0求面积最大值：函数\(S=-x?? + 20x\)中\(a=-1<0\)，所以函数有最大值。当\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2??(-1)}=10\)时，\(S_{????¤§???}=\frac{4ac - b??}{4a}=\frac{0 - 400}{4??(-1)}=100cm??\)。
结论：当矩形的一边长为\(10cm\)时（此时为正方形），面积最大，最大面积为\(100cm??\)。展示矩形边长变化与面积关系的图象，直观呈现最值情况。
幻灯片 5：探究二 —— 利用图形分割求面积
例题：如图，在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90?°\)，\(AC = 6cm\)，\(BC = 8cm\)。点\(P\)从点\(A\)出发沿\(AC\)向点\(C\)以\(1cm/s\)的速度移动，同时点\(Q\)从点\(C\)出发沿\(CB\)向点\(B\)以\(2cm/s\)的速度移动。设运动时间为\(t s\)（\(0分析过程：
表示相关线段长度：经过\(t s\)后，\(AP = t cm\)，则\(PC = AC - AP=(6 - t)cm\)；\(CQ = 2t cm\)。
建立面积函数：因为\(\angle C = 90?°\)，所以\(\triangle PCQ\)是直角三角形，根据三角形面积公式可得\(S=\frac{1}{2}??PC??CQ=\frac{1}{2}(6 - t)??2t=-t?? + 6t\)。
求面积最大值：函数\(S=-t?? + 6t\)中\(a=-1<0\)，有最大值。当\(t=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2??(-1)}=3s\)时，\(S_{????¤§???}=\frac{4ac - b??}{4a}=\frac{0 - 36}{4??(-1)}=9cm??\)。
验证取值范围：因为\(0幻灯片 6：探究三 —— 与抛物线相关的图形面积
例题：已知抛物线\(y=-x?? + 2x + 3\)与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（点\(A\)在点\(B\)左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)。点\(P\)是抛物线上的一动点，且在第一象限，过点\(P\)作\(PD\perp x\)轴于点\(D\)，求四边形\(OCPD\)面积的最大值及此时点\(P\)的坐标。
分析过程：
确定关键点坐标：令\(y = 0\)，解方程\(-x?? + 2x + 3 = 0\)得\(x???=-1\)，\(x??? = 3\)，所以\(A(-1, 0)\)，\(B(3, 0)\)；令\(x = 0\)，得\(y = 3\)，所以\(C(0, 3)\)。
设点\(P\)坐标：设点\(P\)的坐标为\((x, -x?? + 2x + 3)\)（\(0表示四边形面积：四边形\(OCPD\)是梯形，上底\(OC = 3\)，下底\(PD=-x?? + 2x + 3\)，高\(OD = x\)，所以\(S=\frac{1}{2}(OC + PD)??OD=\frac{1}{2}(3 + (-x?? + 2x + 3))??x=\frac{1}{2}(-x?? + 2x + 6)??x=-\frac{1}{2}x?? + x?? + 3x\)？？？（此处错误，重新计算）
正确计算：\(S=\frac{1}{2}(OC + PD)??OD=\frac{1}{2}(3 + (-x?? + 2x + 3))??x=\frac{1}{2}(-x?? + 2x + 6)??x=-\frac{1}{2}x?? + x?? + 3x\)不对，应为\(S=\frac{1}{2}??(OC + PD)??OD=\frac{1}{2}??(3 + (-x?? + 2x + 3))??x=\frac{1}{2}??(-x?? + 2x + 6)??x=-\frac{1}{2}x?? + x?? + 3x\)，但这是三次函数，显然错误。正确应为四边形\(OCPD\)可看作矩形\(ODPC\)？不，应该是\(OCPD\)由三角形\(OCP\)和三角形\(OPD\)组成？或更简单，\(S = S_{??????OCPD}=\frac{1}{2}(OC + PD)??OD\)，其中\(OC = 3\)，\(PD = y_{P}=-x?? + 2x + 3\)，\(OD = x\)，所以\(S=\frac{1}{2}(3 + (-x?? + 2x + 3))??x=\frac{1}{2}(-x?? + 2x + 6)x=-\frac{1}{2}x?? + x?? + 3x\)，发现错误，应该是\(S = S_{??????ODPE}\)（假设\(E\)在\(y\)轴）不对，重新分析：\(O\)是原点，\(C(0,3)\)，\(P(x,y)\)，\(D(x,0)\)，所以四边形\(OCPD\)的面积是\(S = S_{\triangle OCP} + S_{\triangle OPD}\)？不，用坐标法计算，\(O(0,0)\)，\(C(0,3)\)，\(P(x,y)\)，\(D(x,0)\)，这是一个直角梯形，上底\(OC = 3\)，下底\(PD = y\)，高\(OD = x\)，所以面积\(S=\frac{(3 + y)x}{2}\)，代入\(y=-x?? + 2x + 3\)得\(S=\frac{(3 + (-x?? + 2x + 3))x}{2}=\frac{(-x?? + 2x + 6)x}{2}=-\frac{1}{2}x?? + x?? + 3x\)，确实是三次函数，说明例题设计错误，换一种：求\(\triangle PBC\)的面积最大值。
重新设计例题：已知抛物线\(y=-x?? + 2x + 3\)与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（点\(A\)在点\(B\)左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)。点\(P\)是抛物线上的一动点，且在第一象限，求\(\triangle PBC\)面积的最大值及此时点\(P\)的坐标。
解答：\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)，设\(P(x,-x?? + 2x + 3)\)，过\(P\)作\(PE\perp x\)轴于\(E\)，则\(S_{\triangle PBC}=S_{??????PEOC} + S_{\triangle BOC}-S_{\triangle PBE}\)？更简单用公式：\(S=\frac{1}{2}\vert x_{B}(y_{C}-y_{P}) + x_{C}(y_{P}-y_{B}) + x_{P}(y_{B}-y_{C})\vert\)，代入得\(S=\frac{1}{2}\vert3??(3 - y) + 0??(y - 0) + x??(0 - 3)\vert=\frac{1}{2}\vert9 - 3y - 3x\vert\)，因为在第一象限，取正得\(S=\frac{1}{2}(9 - 3y - 3x)=\frac{3}{2}(3 - y - x)\)，代入\(y=-x?? + 2x + 3\)得\(S=\frac{3}{2}(3 - (-x?? + 2x + 3)-x)=\frac{3}{2}(x?? - 3x)=\frac{3}{2}x??-\frac{9}{2}x\)？不对，计算错误，正确应为\(S=\frac{1}{2}???????é??\)，以\(BC\)为底，\(BC\)的长度为\(3\sqrt{2}\)，直线\(BC\)的方程为\(x + y - 3 = 0\)，点\(P\)到直线\(BC\)的距离为\(\frac{\vert x + y - 3\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\vert x + (-x?? + 2x + 3)-3\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\vert -x?? + 3x\vert}{\sqrt{2}}\)，所以\(S=\frac{1}{2}??3\sqrt{2}??\frac{\vert -x?? + 3x\vert}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\vert -x?? + 3x\vert=\frac{3}{2}(-x?? + 3x)\)（\(0结论：通过建立面积与变量的二次函数关系，利用二次函数最值性质求出面积最大值。
幻灯片 7：例题解析 —— 综合图形面积问题
例题：如图，在边长为\(6cm\)的正方形\(ABCD\)中，点\(E\)、\(F\)分别从点\(B\)、\(C\)出发，沿\(BC\)、\(CD\)方向以\(1cm/s\)的速度移动，当点\(E\)到达点\(C\)时，两点同时停止移动。设运动时间为\(t s\)，求\(\triangle AEF\)的面积\(S\)与\(t\)之间的函数关系式，并求出\(S\)的最小值。
解题步骤：
表示相关线段长度：经过\(t s\)后，\(BE = t cm\)，则\(EC=(6 - t)cm\)；\(CF = t cm\)，则\(DF=(6 - t)cm\)。
用正方形面积减去其他三角形面积：正方形\(ABCD\)的面积为\(6??6 = 36cm??\)。\(S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}??AB??BE=\frac{1}{2}??6??t = 3t cm??\)；\(S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}??AD??DF=\frac{1}{2}??6??(6 - t)=3(6 - t)cm??\)；(S_{\triangle ECF}=\frac{1}{2}×EC×CF=
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.1二次函数与图形面积问题
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1)学会把实际问题转化为数学问题，体验数学来源于生活又可应用于生活.
(2)把面积最值问题转化成二次函数问题.
复习导入
用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值.
（1）y=x2-4x-5
（2）y=-x2+x+
开口方向
对称轴
顶点坐标
最小值
向上
x=2
（2，-9）
-9
向上
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
知识点 利用二次函数解决最大（小）面积问题
－5
图像开口向下
根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度。
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.
h＝30t-5t2 (0≤t≤6)
即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数有最小（大）值 。
归 纳
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l是多少米时，场地的面积 S 最大？
探究1
30-l
l
S=l(30-l)(0＜l＜30)
根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 .
向下
直线l=15
(15，225)
(0，0)，(30，0)
(0，0)
S=l(30-l)(0＜l＜30)
50
100
S
150
200
250
O
-50
50
l
当l=15时，S有最大值________.
(15，225)
225
如何规范解答呢？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长 l 的变化而变化.当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？
解：
场地的面积
S=l(30-l)
即S=-l2+30l
(0即当l是15m时，场地的面积S最大。
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函
数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范
围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围
内的最大值或最小值.
随堂练习
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，
当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m.


∴03.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4.已知矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2，
则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大。
5.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边ABCD的面积最大？
解:设四边形ABCD的面积为S，AC的长为x，则BD的长为10-x.
所以当 时，S取最大值，
当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
A
B
D
C
【选自教材P52 习题22.3 第5题】
6. 一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°， AB=12. 用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？
【选自教材P52 习题22.3 第6题】
设矩形CDEF的面积为S，
即当E点为AB的中点时，四边形CDEF的面积最大.
A
B
C
D
E
F
7.如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
A
B
C
D
E
F
H
G
解:设正方形ABCD的边长为a，AE=x，
则AH=a-x， ,
当x= 时，S正方形EFGH有最小值 即当E
点在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.
【选自教材P52 习题22.3 第7题】
8.分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？
【选自教材P52 习题22.3 第9题】
解:若围成矩形时，设一边为x，则另一边是 ，面积
，y1的最大值为
若围成圆时，设半径为R，由L=2πR，得 ,面积
，所以围成圆时，面积更大.
知识点 图形面积的问题
1.［教材????????????习题????????变式］已知一个直角三角形两条直角边的和为????????????????? ，
则这个直角三角形的最大面积为( )
?
B
A.????????????????????? B.????????????????????? C.????????????????????????? D.不确定
?
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（第2题）
2.如图是一个长为?????????????，宽为????????????? 的矩形花园，
根据需要将它的长缩短?????????，宽增加????????? ，要使修
改后的花园面积达到最大，则???? 的值为( )
?
C
A.1 B.1.5 C.2 D.4
返回
3.［教材???????????? 探究1变式］［2024泰安中考改编］如图，小明的父亲想用
长为????????????? 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋
外墙长????????????? ，则可围成的菜园的最大面积是( )
?
B
（第3题）
A.????????????????????? B.????????????????????? C.????????????????????? D.?????????????????????
?
返回
4.如图，在长?????????????，宽????????????? 的矩形花圃里建有等宽的十字形小路，若
小路的宽不超过????????? ,则花圃中阴影部分的面积( )
?
A
A.有最小值????????????????????? B.有最小值?????????????????????
C.有最大值????????????????????? D.有最大值?????????????????????
?
返回
5.［教材????????????习题???????? 变式］如图，小轩同学想做一个菱形风筝，现在有
一根长????????????????????? 的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨
（即菱形的对角线????????，????????），请你帮他设计一下，当????????=____???????? 时，
菱形的面积最大，最大为_______???????????? .
?
60
1 800
返回
6.［2025邯郸校级月考］如图，在△????????????中，∠????=????????? ，
????????=?????????????????，????????=?????????????????，动点????从点????出发沿边????????向点????以?????????????/????
的速度移动，动点????从点????出发沿边????????向点????以?????????????/???? 的速度移动，如
果????，????两点分别从????，????两点同时出发，设运动时间为????????? .
?
（1）????????=__________????????，????????=____????????；（用含???? 的代数式表示）
?
(?????????????????)
?
????????
?
（2）????为何值时，△????????????的面积为????????????????????? ？
?
解：△???????????? 的面积
=?????????????????????????=????????×(?????????????????)×????????=?????????????+????????????(????????????) ，
由?????????????+????????????=????????，解得????????=????，????????=???? ，
∴ 当????=????或4时，△????????????的面积是????????????????????? .
?
（3）????为何值时，△???????????? 的面积最大？最大面积是多少？
?
解：设△????????????的面积为????????????????? ，
∴????=?????????????+????????????=?????(?????????)????+???????? ，
∵?????∴ 当????=????时，△????????????的面积最大，最大面积是????????????????????? .
?
返回
2.图形面积最值问题：
由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题：
（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；
（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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