资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.3.2 二次函数与最大利润问题 —— 用函数优化经营决策
副标题：建立利润模型，求解最大利润值
配套元素：
背景图：展示商品销售场景与二次函数图象结合的示意图，体现利润随销量或价格变化的关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
能够根据实际销售问题中的数量关系，建立二次函数模型表示利润与自变量（价格或销量）之间的关系。
会运用二次函数的性质（如最值）解决销售中的最大利润问题。
熟练掌握利用二次函数解决最大利润问题的基本步骤和方法。
过程与方法目标：
通过分析利润问题中的变量关系，经历 “实际问题 — 抽象数量关系 — 建立函数模型 — 解决问题” 的过程，提升数学建模能力。
在探究最大利润的过程中，进一步体会数形结合思想和转化思想的应用，培养分析和解决实际问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受二次函数在优化经济决策中的实用价值，激发对数学应用的兴趣，培养应用数学解决实际问题的意识。
体验通过数学建模解决实际问题的成就感，增强学好数学的信心和能力。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
利润相关公式回顾：
利润 = 售价 - 成本。
总利润 = 单件利润 × 销售量。
销售量 = 基础销量 + 因价格变化引起的销量变化量（价格上涨，销量通常减少；价格下降，销量通常增加）。
二次函数最值回顾：对于二次函数\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)），当\(a<0\)时，函数在\(x=-\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(y=\frac{4ac - b }{4a}\)。
提问引入：在商品销售中，利润往往会随着售价或销售量的变化而变化，这种变化关系能否用二次函数来刻画？如何利用二次函数求出最大利润呢？本节课我们就来探究这些问题。
幻灯片 4：探究一 —— 通过调整售价求最大利润
例题：某商店销售一种成本为每件\(40\)元的商品，经市场调查发现，按每件\(50\)元销售，每月可售出\(500\)件；若销售单价每上涨\(1\)元，每月销售量就减少\(10\)件。设销售单价为\(x\)元（\(x\geq50\)），每月的销售利润为\(y\)元。
求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。
当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
分析过程：
确定变量关系：销售单价为\(x\)元，成本为每件\(40\)元，则单件利润为\((x - 40)\)元。销售单价从\(50\)元上涨到\(x\)元，上涨了\((x - 50)\)元，所以每月销售量减少\(10(x - 50)\)件，实际每月销售量为\(500 - 10(x - 50)=(1000 - 10x)\)件。
建立利润函数：根据总利润 = 单件利润 × 销售量，可得\(y=(x - 40)(1000 - 10x)=-10x + 1400x - 40000\)。
确定自变量取值范围：销售量不能为负数，所以\(1000 - 10x\geq0\)，解得\(x\leq100\)，结合\(x\geq50\)，自变量取值范围为\(50\leq x\leq100\)。
求最大利润：函数\(y=-10x + 1400x - 40000\)中\(a=-10<0\)，函数有最大值。当\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1400}{2 (-10)}=70\)元时，\(y_{ ¤§ }=\frac{4ac - b }{4a}=\frac{4 (-10) (-40000)-1400 }{4 (-10)}=\frac{1600000 - 1960000}{-40}=9000\)元。
结论：当销售单价定为\(70\)元时，每月可获得最大利润，最大利润为\(9000\)元。展示利润随销售单价变化的函数图象，直观呈现最值情况。
幻灯片 5：探究二 —— 通过调整销量求最大利润
例题：某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为\(80\)元，出厂单价定为\(120\)元时，每月可售出\(1000\)件。经市场调查发现，若出厂单价每降低\(1\)元，每月销售量可增加\(50\)件。设出厂单价降低\(x\)元（\(x\geq0\)），每月的利润为\(y\)元。
求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。
当出厂单价降低多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
分析过程：
确定变量关系：出厂单价降低\(x\)元后，实际出厂单价为\((120 - x)\)元，单件利润为\((120 - x - 80)=(40 - x)\)元。每月销售量增加\(50x\)件，实际每月销售量为\((1000 + 50x)\)件。
建立利润函数：根据总利润 = 单件利润 × 销售量，可得\(y=(40 - x)(1000 + 50x)=-50x + 1000x + 40000\)。
确定自变量取值范围：单件利润不能为负数，所以\(40 - x\geq0\)，解得\(x\leq40\)，结合\(x\geq0\)，自变量取值范围为\(0\leq x\leq40\)。
求最大利润：函数\(y=-50x + 1000x + 40000\)中\(a=-50<0\)，函数有最大值。当\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1000}{2 (-50)}=10\)元时，\(y_{ ¤§ }=\frac{4ac - b }{4a}=\frac{4 (-50) 40000 - 1000 }{4 (-50)}=\frac{-8000000 - 1000000}{-200}=45000\)元。
结论：当出厂单价降低\(10\)元时，每月可获得最大利润，最大利润为\(45000\)元。展示利润随降低价格变化的函数图象，帮助理解。
幻灯片 6：探究三 —— 考虑固定成本的最大利润问题
例题：某超市计划购进一批文具进行销售，已知购进每种文具的固定成本为\(2000\)元，每件文具的进价为\(10\)元。经市场调研发现，当售价定为每件\(15\)元时，每月可售出\(200\)件；售价每提高\(1\)元，每月销售量就减少\(10\)件。设每件文具的售价为\(x\)元（\(x\geq15\)），每月的利润为\(y\)元。
求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式（利润 = 总销售额 - 固定成本 - 进货成本）。
当售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？
分析过程：
确定变量关系：售价为\(x\)元，每件进价为\(10\)元，则每件利润为\((x - 10)\)元。售价从\(15\)元提高到\(x\)元，提高了\((x - 15)\)元，每月销售量减少\(10(x - 15)\)件，实际每月销售量为\(200 - 10(x - 15)=(350 - 10x)\)件。
建立利润函数：总销售额为\(x(350 - 10x)\)元，进货成本为\(10(350 - 10x)\)元，固定成本为\(2000\)元，所以利润\(y=x(350 - 10x)-10(350 - 10x)-2000=(x - 10)(350 - 10x)-2000=-10x + 450x - 3500 - 2000=-10x + 450x - 5500\)。
确定自变量取值范围：销售量不能为负数，所以\(350 - 10x\geq0\)，解得\(x\leq35\)，结合\(x\geq15\)，自变量取值范围为\(15\leq x\leq35\)。
求最大利润：函数\(y=-10x + 450x - 5500\)中\(a=-10<0\)，函数有最大值。当\(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{450}{2 (-10)}=22.5\)元时，\(y_{ ¤§ }=\frac{4 (-10) (-5500)-450 }{4 (-10)}=\frac{220000 - 202500}{-40}=437.5\)元。
结论：当售价定为\(22.5\)元时，每月可获得最大利润，最大利润为\(437.5\)元。强调在实际问题中，售价可以是小数，若题目要求取整数，可根据情况调整。
幻灯片 7：例题解析 —— 综合利润问题
例题：某商场销售一种品牌衬衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价\(1\)元，商场平均每天可多售出\(2\)件。
若每件衬衫降价\(x\)元，商场平均每天的盈利为\(y\)元，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式。
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利多少元？
若商场平均每天要盈利\(1200\)元，每件衬衫应降价多少元？
解题步骤：
建立函数关系式：每件衬衫降价\(x\)元后，每件盈利为\((40 - x)\)元，每天可售出\((20 + 2x)\)件，所以\(y=(40 - x)(20 + 2x)=-2x + 60x + 800\)。
求最大盈利：函数\(y=-2x + 60x + 800\)中\(a=-2<0\)，当\(x=-\frac{60}{2 (-2)}=15\)元时，\(y_{ ¤§ }=-2 15 + 60 15 + 800=-450 + 900 + 800=1250\)元。
求盈利为 1200 元时的降价金额：令\(y = 1200\)，则\(-2x + 60x + 800 = 1200\)，整理得\(x - 30x + 200 = 0\)，解得\(x = 10\)，\(x = 20\)。所以每件衬衫应降价\(10\)元或\(20\)元。
结论：每件衬衫降价\(15\)元时盈利最多，为\(1250\)元；要盈利\(1200\)元，可降价\(10\)元或\(20\)元。
幻灯片 8：课堂练习（分层完成）
基础题：
某商品的成本为每件\(30\)元，售价为每件\(50\)元时，每天可售出\(100\)件。若售价每降低\(1\)元，每天可多售出\(10\)件，设售价降低\(x\)元，每天的利润为\(y\)元，则\(y\)与\(x\)之间的函数关系式为______，当\(x=\)时，\(y\)有最大值。
某商店销售一批玩具，若按每件\(80\)元销售，每月可售出\(200\)件，每件盈利\(30\)元。若售价每提高\(5\)元，每月销售量就减少\(10\)件，设售价提高\(5x\)元，每月利润为\(y\)元，求\(y\)与\(x\)的函数关系式，并求最大利润。
提升题：
某书店销售一种教辅资料，已知每本的进价为\(20\)元，当售价为每本\(30\)元时，每月可售出\(500\)本。市场调查发现，售价每上涨\(1\)元，每月销售量就减少\(10\)本，设售价为\(x\)元，每月利润为\(y\)元。
求\(y\)与\(x\)的函数关系式及自变量\(x\)的取值范围。
当售价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？
若每月利润不低于\(6000\)元，售价应控制在什么范围内？
要求：学生独立完成后，小组内交流解题思路和答案，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 9：易错点提醒
常见错误：
混淆单件利润和总利润的计算，错误地将售价当作单件利润。
表示销售量时，忽略价格变化与销量变化的对应关系，如价格上涨\(x\)元，销量减少的数量计算错误。
确定自变量取值范围时，未考虑销售量或单件利润不能为负数的实际情况。
求出最大利润对应的自变量值后，未检验是否在取值范围内。
避坑技巧：
牢记利润计算公式，单件利润 = 售价 - 成本，总利润 = 单件利润 × 销售量。
仔细分析价格变化与销量变化的关系，明确 “每变化多少，对应销量变化多少”，确保销售量表达式正确。
确定自变量取值范围时，从销售量≥0 和单件利润≥0 两个角度考虑，保证实际意义。
求出最值后，务必检验自变量值是否在取值范围内，若不在，需根据函数增减性在端点处求最值。
幻灯片 10：课堂小结
核心收获：
解决最大利润问题的基本步骤：
分析题意，确定自变量（如售价、降价金额等）和因变量（利润）。
根据利润公式，用含自变量的代数式表示单件利润和销售量。
建立总利润与自变量的二次函数关系式。
确定自变量的取值范围（结合实际意义）。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.2二次函数与最大利润问题
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题；
经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.
复习旧知
1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：
审→设→列→解→答
公式法：顶点坐标
配方法：y=a（x-h）2+k
复习旧知
2.销售问题中有关利润的公式：
（1）利润=售价－进价
（2）总利润=单件利润×销售量
情境导入
在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求。如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？
探究新知
知识点 利用二次函数求销售问题中的最大利润
探究2
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
先确定n的取值范围
解：设每件涨价n元，利润为y1.
则y1=(60+n-40)(300-10n)
即y1=-10n2+100n+6000
利润=（售价－进价）×销量
可得：0≤n≤30.
其中，0≤n≤30.
涨价 40 60+n 300-10n
n
y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30）
根据上面的函数，填空：
当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________________.
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
5
5
65
6250元
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
降价 40 60-m 300+20m
先确定m的取值范围
解：设每件降价m元，利润为y2.
则y2=(60-m–40)(300+20m)
即y2=-20m2+100m+6000
利润=（售价－进价）×销量
可得：0≤m≤20.
其中， 0≤m≤20.
m
y2=(60-m–40)(300+20m) (0≤m≤20)
根据上面的函数，填空：
当m=_______时，y1最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，既定价______元时，利润最大，最大利润是________________.
2.5
2.5
57.5
6125元
=-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
（2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
综上可知：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 65 250 6250
降价 40 57.5 350 6125
在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤：
(1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
(2)在自变量的取值范围内，运用顶点公式或
配方法求出二次函数的最大值需要注意的是：
当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的
取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自
变量的取值范围内求出函数的最大值
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x; (2)y=3x2+x+6.
【选自教材P51 习题22.3 第1题】
2.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设所得利润为y元,
由题意得y=x(200-x)-30(200-x)
=-x2+230x-6000
=-(x-115)2+7225 (0当x=115时，y有最大值.
即当这件商品定价为115元时，利润最大.
【选自教材P51 习题22.3 第2题】
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元，
由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800
=-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20).
当x=8时，y取最大值1440.
即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
(1)0≤x≤6； (2) -2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14
(1)当0≤x≤6时，
当x=3时， y有最大值14,
当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当-2≤x≤2时，
当x=2时，y有最大值13,
当x=-2时，y有最小值-11.
5.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 房价定为多少时，宾馆利润最大？
【选自教材P52 习题22.3 第8题】
解：设涨价10x元，利润为y元，
由题意得：y=(50-x)(180+10x-20)
=-10x2+340x+8000
=-10(x-17)2+10890 (0＜x＜50).
当x=17时，y最大，此时180+10x=350
答：房价定为350元时，宾馆利润最大.
知识点1 简单销售问题中的利润问题
1.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润（元）与降价 （元）
之间的关系式是 ，则最大利润为( )
D
A.15元 B.400元 C.800元 D.1 250元
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2.［教材习题 变式］某种商品每件进价为20元，调查表明：在某
段时间内若以每件元（，且 为整数）出售，可卖出
件，要使利润最大，每件的售价应为( )
B
A.24元 B.25元 C.28元 D.30元
返回
3.端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元
/袋的粽子，销售过程中发现：日销售量
（袋）与售价 （元/袋）满足如图所示的一
次函数关系.
（1）求与 之间的函数关系式；
解：设与之间的函数关系式为，将，
代入，得
解得
与之间的函数关系式为 .
（2）当每袋粽子的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大日销售
利润是多少元？
解：设日销售利润为 元，
由题意得 ，
， 当时， 有最大值，最大值为810.
当每袋粽子的售价定为12.5元时，日销售利润最大，最大日销售利润
是810元.
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1.利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
(1)审清题意，理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系；
(3)列出函数关系式；
(4)求解数学问题；
(5)求解实际问题.
2.常见数量关系：利润=售价-成本，总利润=每件商品的利润×销售量，利润率= ×100%
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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