资源简介

(共22张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：22.3.3 二次函数与抛物线形的实际问题 —— 用函数描绘生活中的曲线
副标题：建立坐标系模型，解决抛物线形实际问题
配套元素：
背景图：展示拱桥、喷泉、投篮轨迹等抛物线形实际场景的图片，体现二次函数与实际的联系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
能够根据抛物线形实际问题的特征，合理建立平面直角坐标系。
会根据已知条件确定抛物线对应的二次函数解析式。
能运用二次函数的性质解决抛物线形实际问题中的高度、距离等相关计算问题。
过程与方法目标：
通过分析抛物线形实际问题，经历 “实际场景 — 建立坐标系 — 确定函数解析式 — 解决问题” 的过程，提升数学建模能力和空间想象能力。
在探究解决问题的过程中，进一步体会数形结合思想和转化思想的应用，培养分析和解决实际问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受二次函数在描述现实世界中抛物线形物体或轨迹的重要作用，激发对数学应用的兴趣，认识到数学与生活的密切联系。
体验将实际问题转化为数学问题并成功解决的成就感，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
二次函数解析式形式回顾：
一般式：\(y = ax + bx + c\)（\(a 0\)）。
顶点式：\(y = a(x - h) + k\)（\(a 0\)），其中\((h, k)\)为抛物线顶点坐标。
交点式：\(y = a(x - x )(x - x )\)（\(a 0\)），其中\(x \)、\(x \)为抛物线与\(x\)轴交点的横坐标。
建立坐标系的基本方法回顾：在解决几何问题时，通常选择图形的对称中心、顶点或与坐标轴的交点作为坐标原点或坐标轴上的点，以简化计算。
提问引入：生活中许多物体的形状或运动轨迹呈抛物线形，如拱桥、喷泉的水流、投篮的轨迹等。如何用二次函数来描述这些抛物线形的实际问题？又如何利用二次函数解决其中的实际问题呢？本节课我们就来探究这些内容。
幻灯片 4：探究一 —— 拱桥问题
例题：如图所示，一座抛物线形拱桥的跨度为\(40m\)，拱顶离水面的距离为\(10m\)。
建立适当的平面直角坐标系，求拱桥对应的二次函数解析式。
当水面上涨\(2m\)后，水面的宽度是多少？
分析过程：
建立坐标系：以抛物线的顶点（拱顶）为坐标原点\((0, 0)\)，水平方向为\(x\)轴，竖直方向为\(y\)轴建立平面直角坐标系。此时抛物线与水面的两个交点坐标分别为\((-20, -10)\)和\((20, -10)\)（因为跨度为\(40m\)，拱顶离水面\(10m\)）。
确定函数解析式：设抛物线对应的二次函数解析式为顶点式\(y = ax \)（因为顶点在原点）。将点\((20, -10)\)代入解析式得：\(-10 = a 20 \)，解得\(a=-\frac{10}{400}=-\frac{1}{40}\)。所以二次函数解析式为\(y=-\frac{1}{40}x \)。
解决水面上涨问题：水面上涨\(2m\)后，水面的\(y\)坐标为\(-10 + 2=-8\)。令\(y=-8\)，则\(-8=-\frac{1}{40}x \)，解得\(x = 320\)，\(x=\pm8\sqrt{5}\approx\pm17.89\)。所以水面的宽度为\(2 8\sqrt{5}=16\sqrt{5}\approx35.78m\)。
结论：拱桥对应的二次函数解析式为\(y=-\frac{1}{40}x \)，水面上涨\(2m\)后，水面宽度约为\(35.78m\)。展示建立坐标系后的拱桥示意图和函数图象，帮助理解。
幻灯片 5：探究二 —— 喷泉问题
例题：某公园有一个喷泉，水流从喷头喷出后呈抛物线形，喷头的位置为原点，水流的最高点距离喷头的水平距离为\(3m\)，竖直高度为\(4m\)。
求水流对应的二次函数解析式。
水流落地点到喷头的水平距离是多少？
分析过程：
建立坐标系：以喷头位置为坐标原点\((0, 0)\)，水平方向为\(x\)轴，竖直方向为\(y\)轴建立平面直角坐标系。已知水流的最高点（顶点）坐标为\((3, 4)\)。
确定函数解析式：设抛物线对应的二次函数解析式为顶点式\(y = a(x - 3) + 4\)。因为抛物线过原点\((0, 0)\)，将其代入解析式得：\(0 = a(0 - 3) + 4\)，即\(9a + 4 = 0\)，解得\(a=-\frac{4}{9}\)。所以二次函数解析式为\(y=-\frac{4}{9}(x - 3) + 4\)。
求水流落地点距离：水流落地点时\(y = 0\)，令\(y = 0\)，则\(0=-\frac{4}{9}(x - 3) + 4\)，整理得\((x - 3) = 9\)，解得\(x - 3=\pm3\)，即\(x = 0\)（喷头位置），\(x = 6\)。所以水流落地点到喷头的水平距离是\(6m\)。
结论：水流对应的二次函数解析式为\(y=-\frac{4}{9}(x - 3) + 4\)，水流落地点到喷头的水平距离是\(6m\)。展示喷泉水流轨迹的坐标系示意图和函数图象，直观呈现。
幻灯片 6：探究三 —— 投篮轨迹问题
例题：一名篮球运动员进行投篮训练，篮球出手时的高度为\(2m\)，出手后篮球的运动轨迹是抛物线，当篮球水平移动\(4m\)时，达到最大高度\(3.5m\)。
建立适当的平面直角坐标系，求篮球运动轨迹对应的二次函数解析式。
已知篮球框的高度为\(3.05m\)，篮球框到运动员的水平距离为\(7m\)，此次投篮能否命中？
分析过程：
建立坐标系：以篮球出手时的位置为坐标原点\((0, 2)\)，水平方向为\(x\)轴，竖直方向为\(y\)轴建立平面直角坐标系。则篮球运动轨迹的顶点坐标为\((4, 3.5)\)。
确定函数解析式：设抛物线对应的二次函数解析式为顶点式\(y = a(x - 4) + 3.5\)。因为抛物线过原点\((0, 2)\)，将其代入解析式得：\(2 = a(0 - 4) + 3.5\)，即\(16a + 3.5 = 2\)，解得\(a=-\frac{1.5}{16}=-\frac{3}{32}\)。所以二次函数解析式为\(y=-\frac{3}{32}(x - 4) + 3.5\)。
判断投篮是否命中：当\(x = 7m\)时，代入解析式得\(y=-\frac{3}{32}(7 - 4) + 3.5=-\frac{3}{32} 9 + 3.5=-\frac{27}{32}+3.5\approx-0.84375 + 3.5=2.65625m\)。因为\(2.65625m<3.05m\)，所以此次投篮不能命中。
结论：篮球运动轨迹对应的二次函数解析式为\(y=-\frac{3}{32}(x - 4) + 3.5\)，此次投篮不能命中。展示投篮轨迹的坐标系示意图，辅助分析。
幻灯片 7：例题解析 —— 抛物线形隧道问题
例题：某抛物线形隧道的横截面如图所示，隧道的最大高度为\(6m\)，底部宽度为\(12m\)。一辆装满货物的卡车高\(4m\)，宽\(3m\)，这辆卡车能否通过该隧道？
解题步骤：
建立坐标系：以隧道底部的中点为坐标原点\((0, 0)\)，水平方向为\(x\)轴，竖直方向为\(y\)轴建立平面直角坐标系。则抛物线与底部的两个交点坐标为\((-6, 0)\)和\((6, 0)\)，顶点坐标为\((0, 6)\)。
确定函数解析式：设抛物线对应的二次函数解析式为顶点式\(y = ax + 6\)。将点\((6, 0)\)代入解析式得：\(0 = a 6 + 6\)，即\(36a + 6 = 0\)，解得\(a=-\frac{6}{36}=-\frac{1}{6}\)。所以二次函数解析式为\(y=-\frac{1}{6}x + 6\)。
判断卡车能否通过：卡车宽\(3m\)，则卡车两侧对应的\(x\)坐标为\(1.5\)和\(-1.5\)。当\(x = 1.5\)时，代入解析式得\(y=-\frac{1}{6} (1.5) + 6=-\frac{1}{6} 2.25 + 6=-0.375 + 6=5.625m\)。因为\(5.625m>4m\)，所以这辆卡车能通过该隧道。
结论：这辆卡车能通过该隧道。强调在判断时，需计算卡车宽度范围内的隧道高度是否大于卡车高度。
幻灯片 8：课堂练习（分层完成）
基础题：
一座抛物线形拱桥，其对称轴为\(y\)轴，拱桥的最高点到水面的距离为\(8m\)，水面宽度为\(16m\)，以最高点为原点建立坐标系，则拱桥对应的二次函数解析式为______。
一个抛物线形的门洞，门洞的最大高度为\(5m\)，底部宽度为\(8m\)，以底部中点为原点建立坐标系，求门洞对应的二次函数解析式。
提升题：
某喷泉的水流从喷头喷出后，其轨迹是抛物线，已知喷头在地面上，喷出的水流最大高度为\(9m\)，离喷头的水平距离为\(3m\)处达到最大高度。
建立适当的坐标系，求水流轨迹对应的二次函数解析式。
水流落地点到喷头的水平距离是多少？
一个抛物线形的广告牌，底部宽\(10m\)，最高点距离底部\(6m\)，若在距离底部中心\(2m\)处安装一个射灯，求射灯处广告牌的高度。
要求：学生独立完成后，小组内交流解题思路和答案，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 9：易错点提醒
常见错误：
建立坐标系时选择不当，导致函数解析式求解复杂或错误，如未将顶点或对称中心放在坐标轴上。
确定抛物线顶点坐标或与坐标轴交点坐标时出现错误，导致函数解析式求解错误。
在解决实际问题时，代入计算时坐标对应错误，如将水平距离代入时符号出错。
忽略实际问题中的单位，或单位不统一导致计算错误。
避坑技巧：
建立坐标系时，优先选择抛物线的顶点、对称轴或与坐标轴的交点作为特殊点，如将顶点放在原点或\(y\)轴上，以简化解析式形式。
仔细分析题目中的几何特征，准确确定抛物线的顶点坐标、与坐标轴交点坐标等关键信息，必要时画图辅助。
代入计算时，务必确认所代入的坐标值与实际问题中的位置对应正确，注意符号的正负。
解题过程中保持单位统一，计算完成后检查单位是否符合实际问题要求。
幻灯片 10：课堂小结
核心收获：
解决抛物线形实际问题的基本步骤：
分析实际问题中的抛物线特征，合理建立平面直角坐标系（通常以顶点、对称中心或交点为特殊点）。
根据已知条件确定抛物线的关键坐标，如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等。
选择合适的二次函数解析式形式（如顶点式、一般式），代入已知点坐标求出解析式。
运用求出的二次函数解析式解决实际问题，如计算高度、距离、判断能否通过等。
关键思想：数形结合思想、转化思想，将实际问题转化为数学问题，通过建立函数模型解决。
方法提炼：在解决抛物线形实际问题时，建立恰当的坐标系是关键，要根据图形的对称性和特殊点来确定坐标系的位置，以便简化计算；同时要准确提取题目中的几何信息，转化为函数中的坐标信息。
幻灯片 11：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 22.3 第 8、10 题，要求写出建立坐标系的过程和函数解析式的求解过程。
选做题：一座抛物线形的彩虹桥，跨度为\(60m\)，拱顶距离桥面\(15m\)，一辆高\(4m\)、宽\(5m\)的货车要通过该桥，货车距离桥中心的水平距离为\(10m\)，这辆货车能否通过？
实践题：观察生活中的抛物线形物体（如拱桥、喷泉、灯罩等），测量相关数据，建立坐标系并求出对应的二次函数解析式，尝试解决一个相关的实际问题。
幻灯片 12：结束页
寄语：生活中的抛物线无处不在，二次函数是描绘它们的精准工具。愿你能熟练运用二次函数知识，解读生活中的曲线奥秘，解决更多实际问题！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.3二次函数与抛物线形的实际问题
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境导入
这些桥都有什么特点？
探究新知
知识点 利用二次函数解决抛物线形的实际问题
探究3
图中是拋物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少
分析：
(1) 建立合适的直角坐标系；
(2) 将实际建筑数学化，数字化；
(3) 明确具体的数量关系，如函数解
析式；
(4) 分析所求问题，代入解析式求解。
解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式，
可得-2=a · (-2)2.
水面下降一米，即此时y=-3.
(2,-2)
(-2,-2)
x
y
O
如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？
解：依题意建立如图所示的直角坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a · (-2)2+3.
(2,1)
(-2,1)
x
y
O
(0,3)
水面下降一米，即此时y=0.
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.
(2,1)
(-2,1)
x
y
O
(0,3)
你还有其他的方法吗？
还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.
(2,0)
(-2,0)
x
y
O
(0,2)
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1) 建立适当的直角坐标系；
(2) 写出抛物线上的关键点的坐标；
(3) 运用待定系数法求出函数关系式；
(4) 求解数学问题；
(5) 求解抛物线形实际问题.
随堂演练
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)( )
A.9.2 m B.9.1 m
C.9 m D.5.1 m
B
2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 .
y=-3.75x2
A B
3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，
离地面 米，求水流落地点B离墙的距离.
知识点1 实物抛物线形问题
（第1题）
1.［2025张家口校级月考］如图，拱桥的形状是抛物线，
其函数关系式为（点 为拱桥桥顶），当水面
离桥顶的高度为 时，水面的宽度为( )
C
A. B. C. D.
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（第2题）
2.如图，公路隧道的截面为抛物线形，线
段表示水平的路面，以 为坐标原
点，所在直线为轴，以过点 且垂直
于轴的直线为 轴，建立平面直角坐标
系.经测量，抛物线的顶点
D
A. B.
C. D.
到的距离为 ，则抛物线的解析式为( )
返回
3.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽 ，水面下降
___，水面宽 .
返回
知识点2 运动抛物线形问题
4.［2025唐山路北区月考］一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/
秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式 ，
那么球弹起后又回到地面所花的时间是( )
D
A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒
返回
5.如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是
抛物线 的一部分，若命中篮
圈中心，则他与篮筐底的距离 是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025邯郸校级期中］足球训练中，小军从球门正前方的 处射门，
球射向球门的路线呈抛物线.当球离球门的水平距离为 时，球达到最
高点，此时球离地面.现以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为，经过， 可设抛物
线的解析式为 .
把点代入上式，得，解得， 抛物线的解
析式为
.
（2）已知球门高为 ，通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）.
解：当时，， 球不能射进球门.
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利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1) 建立适当的直角坐标系；
(2) 写出抛物线上的关键点的坐标；
(3) 运用待定系数法求出函数关系式；
(4) 求解数学问题；
(5) 求解抛物线形实际问题.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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