资源简介

幻灯片 1：标题页
标题：23.2.3 关于原点对称的点的坐标 —— 探究坐标的对称规律
副标题：掌握坐标变化特征，解决对称问题
配套元素：
背景图：展示平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标示意图，突出对称点的位置关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解关于原点对称的点的坐标的变化规律，能准确写出已知点关于原点对称的点的坐标。
能根据点的坐标判断两点是否关于原点对称。
能运用关于原点对称的点的坐标规律解决图形关于原点对称的问题，如画出图形关于原点对称的图形。
过程与方法目标：
通过在坐标系中描点、观察、分析关于原点对称的点的坐标特征，经历从具体实例到抽象规律的过程，培养观察能力、归纳总结能力和空间想象能力。
在运用规律解决问题的过程中，体会数形结合思想的应用，提升运用数学知识解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
感受坐标与图形对称的内在联系，激发对数学知识探索的兴趣，培养严谨的思维习惯。
在探究和应用规律的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
中心对称图形回顾：中心对称图形是绕某点旋转\(180^{\circ}\)后与自身重合的图形，对称中心是图形自身的一个点。
中心对称回顾：两个图形关于某点成中心对称，是指一个图形绕该点旋转\(180^{\circ}\)后与另一个图形重合，该点为对称中心。
坐标系相关回顾：在平面直角坐标系中，点的坐标用\((x, y)\)表示，分别对应横轴和纵轴上的数值。
提问引入：在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点成中心对称，它们的坐标之间存在什么关系呢？本节课我们就来探究这个问题。
幻灯片 4：探究一 —— 关于原点对称的点的坐标规律
实例探究：
在平面直角坐标系中，描出点\(A(2, 3)\)，画出它关于原点对称的点\(A'\)，观察点\(A'\)的坐标。通过旋转或对称分析可得\(A'(-2, -3)\)。
再描出点\(B(-1, 2)\)，其关于原点对称的点\(B'\)的坐标为\((1, -2)\)；点\(C(3, -4)\)关于原点对称的点\(C'\)的坐标为\((-3, 4)\)；点\(D(-2, -5)\)关于原点对称的点\(D'\)的坐标为\((2, 5)\)。
规律总结：通过对上述实例的观察和分析，得出规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点\(P(x, y)\)关于原点的对称点为\(P'(-x, -y)\)。
图形验证：在坐标系中画出各点及其关于原点对称的点，标注坐标，直观验证总结的规律。
幻灯片 5：规律的辨析与巩固
辨析练习：判断下列各对点是否关于原点对称，并说明理由。
点\(M(1, 2)\)与点\(M'(-1, -2)\)。（是，坐标符号相反）
点\(N(-3, 4)\)与点\(N'(3, 4)\)。（否，纵坐标符号相同，横坐标符号相反）
点\(P(5, -6)\)与点\(P'(-5, 6)\)。（是，坐标符号相反）
点\(Q(0, 7)\)与点\(Q'(0, -7)\)。（是，横坐标都为 0，纵坐标符号相反，符合规律）
实例分析：已知点\(A(a, b)\)关于原点对称的点为\(A'(3, -4)\)，求\(a\)、\(b\)的值。根据规律可得\(a=-3\)，\(b = 4\)。
幻灯片 6：例题解析 —— 求关于原点对称的点的坐标
例题 1：写出下列各点关于原点对称的点的坐标。
点\(A(5, 6)\)关于原点对称的点\(A'\)的坐标为\((-5, -6)\)。
点\(B(-3, 0)\)关于原点对称的点\(B'\)的坐标为\((3, 0)\)。
点\(C(0, -4)\)关于原点对称的点\(C'\)的坐标为\((0, 4)\)。
点\(D(-2, -5)\)关于原点对称的点\(D'\)的坐标为\((2, 5)\)。
解题思路：直接运用关于原点对称的点的坐标规律，将各点的横、纵坐标分别变为其相反数即可。
例题 2：已知点\(P(2x - 1, 3y + 2)\)与点\(Q(-3, 4)\)关于原点对称，求\(x\)、\(y\)的值。
解题步骤：
根据关于原点对称的点的坐标规律，可得\(2x - 1=3\)，\(3y + 2=-4\)。
解第一个方程：\(2x=3 + 1=4\)，解得\(x = 2\)。
解第二个方程：\(3y=-4 - 2=-6\)，解得\(y=-2\)。
幻灯片 7：探究二 —— 图形关于原点对称的坐标表示
图形对称的含义：如果一个图形上的每一个点关于原点的对称点都在另一个图形上，反过来，另一个图形上的每一个点关于原点的对称点也都在这个图形上，那么这两个图形关于原点对称。
作图步骤：要画出一个图形关于原点对称的图形，步骤如下：
找出原图形上的关键点（如多边形的顶点）的坐标。
根据关于原点对称的点的坐标规律，求出各关键点关于原点对称的点的坐标。
在坐标系中描出这些对称点，按原图形的连接顺序顺次连接各对称点，得到原图形关于原点对称的图形。
例题演示：已知\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(1, 2)\)、\(B(3, 4)\)、\(C(2, 5)\)，画出\(\triangle ABC\)关于原点对称的\(\triangle A'B'C'\)，并写出各顶点坐标。
\(A(1, 2)\)关于原点对称的点\(A'(-1, -2)\)。
\(B(3, 4)\)关于原点对称的点\(B'(-3, -4)\)。
\(C(2, 5)\)关于原点对称的点\(C'(-2, -5)\)。
连接\(A'B'\)、\(B'C'\)、\(C'A'\)，得到\(\triangle A'B'C'\)。
幻灯片 8：例题解析 —— 判断图形是否关于原点对称
例题 3：在平面直角坐标系中，已知四边形\(ABCD\)的四个顶点坐标分别为\(A(1, 1)\)、\(B(-1, 1)\)、\(C(-1, -1)\)、\(D(1, -1)\)，判断四边形\(ABCD\)是否关于原点对称。
解题步骤：
求出各顶点关于原点对称的点的坐标：\(A(1, 1)\)的对称点为\(A'(-1, -1)\)，\(B(-1, 1)\)的对称点为\(B'(1, -1)\)，\(C(-1, -1)\)的对称点为\(C'(1, 1)\)，\(D(1, -1)\)的对称点为\(D'(-1, 1)\)。
观察对称点是否都在原四边形上：\(A'(-1, -1)\)是点\(C\)，\(B'(1, -1)\)是点\(D\)，\(C'(1, 1)\)是点\(A\)，\(D'(-1, 1)\)是点\(B\)，所有对称点都在原四边形上。
结论：四边形\(ABCD\)关于原点对称。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
点\(P(3, -5)\)关于原点对称的点的坐标是______；点\(Q(-2, 0)\)关于原点对称的点的坐标是______。
若点\(M(a, 3)\)与点\(N(4, b)\)关于原点对称，则\(a=\)，\(b=\)。
下列各点中，与点\((-1, 2)\)关于原点对称的是（ ）A.\((1, 2)\) B.\((1, -2)\) C.\((-1, -2)\) D.\((-2, 1)\)
提升题：
已知\(\triangle ABC\)的三个顶点坐标分别为\(A(-2, 3)\)、\(B(1, 2)\)、\(C(-3, -1)\)，画出\(\triangle ABC\)关于原点对称的\(\triangle A'B'C'\)，并写出\(\triangle A'B'C'\)各顶点的坐标。
已知点\(A(2m + 1, m - 2)\)关于原点对称的点在第二象限，求\(m\)的取值范围。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程和作图结果，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
记错关于原点对称的点的坐标规律，将坐标符号变化错误地记为只改变横坐标或只改变纵坐标的符号。
求对称点坐标时，忽略坐标为\(0\)的情况，如点\((0, 5)\)关于原点对称的点应为\((0, -5)\)，而不是其他错误坐标。
画图形关于原点对称的图形时，找错关键点的对称点坐标，导致图形不对称。
判断图形是否关于原点对称时，未验证所有关键点的对称点是否都在原图形上。
避坑技巧：
牢记关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标都变为原来的相反数，即\((x, y)\to(-x, -y)\)，可通过实例反复记忆。
遇到坐标中有\(0\)的情况，明确\(0\)的相反数还是\(0\)，避免出错。
画对称图形时，先准确求出各关键点的对称点坐标，再按顺序连接，连接前检查坐标是否正确。
判断图形对称性时，确保每个关键点的对称点都在原图形上，缺一不可。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
关于原点对称的点的坐标规律：点\(P(x, y)\)关于原点的对称点为\(P'(-x, -y)\)，即横、纵坐标都互为相反数。
图形关于原点对称的含义：图形上每一个点关于原点的对称点都在另一个图形上，反之亦然。
画图形关于原点对称的图形的步骤：找关键点坐标→求对称点坐标→描点连线。
关键思想：数形结合思想，通过坐标分析图形的对称关系。
方法提炼：解决关于原点对称的点的坐标问题时，紧扣坐标变化规律；解决图形对称问题时，先转化为关键点的对称问题，再进行操作和判断。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 23.2 第 7、8、9 题，要求写出对称点坐标，判断对称关系并画出对称图形。
选做题：在平面直角坐标系中，已知点\(A(a, b)\)关于原点对称的点为\(A'\)，点\(A'\)关于\(x\)轴对称的点为\(A''\)，若点\(A''\)的坐标为\((-2, 3)\)，求\(a\)、\(b\)的值。
实践题：在坐标系中设计一个简单的图形，写出各关键点的坐标，然后画出该图形关于原点对称的图形，并标注对称图形各关键点的坐标。
幻灯片 13：结束页
寄语：坐标的对称规律为我们打开了图形对称的另一扇窗，掌握这一规律，能让我们更精准地描述和绘制对称图形。愿你能灵活运用所学知识，在坐标系中探索更多对称的奥秘！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.2.3 关于原点对称的点的坐标
第23章 旋转
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标的关系.
会在平面直角坐标系内作关于原点对称的图形，进一步体会数形结合的思想.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
x
P（-3，2）
A（-3,- 2 ）
你能说出点P关于x轴对称点的坐标吗？
y

思考:关于x轴对称的点的坐标具有怎样的关系？
结论:在平面坐标系中,关于x轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
A(x，-y)
P(x，y)
关于x轴对称
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
x
P（-3，2）
B（3，2 ）
你能说出点P关于y轴对称点的坐标吗？
y

思考:关于y轴对称的点的坐标具有怎样的关系？
结论:在平面坐标系中,关于y轴对称的点的纵坐标相等,横坐标互为相反数.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
A(-x，y)
P(x，y)
关于y轴对称
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
x
P（-3，2）
B（3，2 ）
y
A（-3,- 2 ）
C（3,- 2 ）
想一想：点 A 与点 B的位置关系是怎样的？点 P 与点 C 呢？
新课导入
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
如何确定平面直角坐标系中点 P 关于原点对称的点P′坐标？
知识点一 关于原点对称的点的坐标
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
x
y
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
P
P'
M
M'
记作P′ ( -3，-2 )
记作P ( 3，2 )
△PMO≌△P'M'O
探究
如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点.
A(4，0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(-1，2)，E(-3，-4).
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
x
y
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
E
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E'
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
y
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
E
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E'
写出这些点关于原点O的对称点的坐标.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}A(4，0)
B(0，-3)
C(2，1)
D(-1，2)
E(-3，-4)
A'(-4，0)
B'(0，-3)
C'(-2，-1)
D'(1，-2)
E'(3，4)
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
归纳
关于原点对称的点的坐标关系：
横坐标、纵坐标的符号相反
P'(-x，-y)
P(x，y)
关于原点对称
P'(x，-y)
P(x，y)
关于x轴对称
P'(-x，y)
P(x，y)
关于y轴对称
练习
下列各点中哪两个点关于原点O对称？
【选自教材P69练习 第1题】
A(-5，0)，B(0，2)，C(2，-1)，D(2，0)，E(0，5)，F(-2，1)，G(-2，-1).
解：C(2，-1)和F(-2，1)关于原点O对称.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}对称情况
坐标之间的关系
表示
关于坐标轴对称
关于x轴对称
横坐标相同，纵坐标互为相反数
点P(x，y)关于x轴的对称点为P1(x，-y)
关于y轴对称
横坐标互为相反数，纵坐标相同
点P(x，y)关于y轴的对称点为P2(-x，y)
关于原点对称
横、纵坐标都互为相反数
点P(x，y)关于原点的对称点为P3(-x，-y)
关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征：
练习
1. 写出下列各点关于原点的对称点A'，B'，C'，D' 的坐标.
A(3，1)，B(-2，3)，C(-1，-2)，D(2，-3).
【选自教材P69练习 第2题】
解： A'(-3，-1)，B'(2，-3)，C'(1，2)，D'(-2，3).
练习
2. 如图，已知点 A 的坐标为( )，点B 的坐标为( )，菱形 ABCD 的对角线交于坐标原点O. 求 C，D 两点的坐标.
【选自教材P69练习 第3题】
x
O
B
C
A
D
y
知识点二 关于原点对称的作图
例2 如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-5
5
x
y
1
2
3
4
-2
-1
O
B
A
C
解：△ABC的三个顶点：
A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2).
关于原点的对称点分别为
A′(4，-1)，B′(1，1)，
C′(3，-2).
依次连接A′B′，B′C′，C′A′，
就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-5
5
x
y
1
2
3
4
-2
-1
O
B
A
C
B′
A′
C′
利用关于原点对称的点的坐标的特征，作给定图形关于原点对称的图形的一般步骤：
1. 找出给定图形上有代表性的点
2. 写出这些点关于原点的对称点的坐标
3. 在平面直角坐标系中描出对称点
4. 顺次连接对称点
练习
四边形 ABCD 各顶点坐标分别为 A(5，0)，B(-2，3)，C(-1，0)，D(-1，-5)，作出与四边形 ABCD 关于原点对称的图形.
【选自教材P70习题23.2 第3题】
解：如图所示，四边形 A'B'C'D'为所求.
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
5
-5
x
y
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
-5
5
O
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
已知点 P(a-3，2-a) 关于原点对称的点在第四象限，则 a 的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
2. 已知点 A(a，1) 与 点 A'(5，b) 关于原点对称，求 a，b 的值.
【选自教材P70习题23.2 第4题】
解：∵点 A 与点 A' 关于原点对称，∴a=-5，b=-1.
知识点1 关于原点对称的点的坐标特征
1.［2024成都中考］在平面直角坐标系????????????中，点????(????,?????) 关于原点对
称的点的坐标是( )
?
B
A.(?????,?????) B.(?????,????) C.(????,????) D.(????,?????)
?
返回
2.已知点????与点????关于原点对称，若点????在第四象限，则点???? 在( )
?
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
（第3题）
3.如图，在平面直角坐标系中，点????(?????,????) 和点
????(????,?????) 的位置关系是( )
?
A
A.关于原点对称 B.关于???? 轴对称
C.关于???? 轴对称 D.无法确定
?
返回
4.在平面直角坐标系中，将点????(????,????) 向上平移2个单位长度所得到的点
关于原点中心对称的点的坐标为_________.
?
(?????,?????)
?
返回
5.［教材????????????练习????????变式］［2024常州］如图，在平面直角坐标系???????????? 中，
正方形????????????????的对角线????????，????????相交于原点????.若点????的坐标是(????,????) ，则
点???? 的坐标是_________.
?
(?????,?????)
?
（第5题）
返回
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的作图
两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标都互为相反数，即点 P(x，y)关于原点的对称点为 P(-x，-y).
先按关于原点对称的点的坐标求出对称点的坐标，再在平面直角坐标系中描出对称点，最后将这些对称点顺次连接.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑