资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.1.2 垂直于弦的直径 —— 探索圆的轴对称性质
副标题：掌握垂径定理，解决弦与直径问题
配套元素：
背景图：展示圆中垂直于弦的直径的示意图，突出直径与弦的垂直关系及相关线段的等量关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解圆的轴对称性，知道圆是轴对称图形且对称轴是任意一条经过圆心的直线。
掌握垂径定理及其推论，能准确表述垂径定理的内容。
能运用垂径定理及其推论解决与弦、直径相关的计算和证明问题，如求弦长、半径、弦心距等。
过程与方法目标：
通过折叠圆形纸片探究圆的轴对称性，经历 “观察 — 操作 — 猜想 — 证明” 的过程，培养动手操作能力、推理证明能力和空间想象能力。
在运用垂径定理解决问题的过程中，体会数形结合思想和转化思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究垂径定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何证明的兴趣。
通过运用定理解决实际问题，体验数学的实用性，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
圆的基本概念回顾：
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
基本元素：圆心、半径、直径、弦、弧等，强调直径是特殊的弦。
圆的对称性回顾：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线；圆也是中心对称图形，对称中心是圆心。
提问引入：圆的轴对称性会带来哪些特殊的性质呢？当一条直径垂直于圆的一条弦时，这条直径与弦之间会存在什么关系？本节课我们就来探究这个问题。
幻灯片 4：探究一 —— 圆的轴对称性实验
动手操作：让学生拿出准备好的圆形纸片，任意画一条弦\(AB\)，再画一条直径\(CD\)，使直径\(CD\)垂直于弦\(AB\)，垂足为\(E\)。将圆形纸片沿直径\(CD\)折叠，观察折叠后弦\(AB\)的两部分是否重合，弧\(AB\)的两部分是否重合。
实验现象：折叠后，弦\(AB\)被直径\(CD\)分成的两段\(AE\)和\(EB\)完全重合，弧\(AB\)被直径\(CD\)分成的两段弧\(\overset{\frown}{ACB}\)和\(\overset{\frown}{ADB}\)完全重合，且优弧\(\overset{\frown}{ACB}\)折叠后与劣弧\(\overset{\frown}{ADB}\)的对应部分也重合。
得出猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
幻灯片 5：探究二 —— 垂径定理的证明
定理表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知与求证：已知在\(\odot O\)中，直径\(CD\)垂直于弦\(AB\)，垂足为\(E\)。求证：\(AE = EB\)，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。
证明过程：
连接\(OA\)、\(OB\)，因为\(OA = OB\)（同圆半径相等），所以\(\triangle OAB\)是等腰三角形。
又因为\(CD\perp AB\)，根据等腰三角形 “三线合一” 的性质，可得\(AE = EB\)（直径\(CD\)平分弦\(AB\)）。
因为\(\angle AOE=\angle BOE\)，所以在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，即\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。
因为圆是轴对称图形，直径\(CD\)是对称轴，所以\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}\)。
综上，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图形标注：在圆形图中标注出\(OA\)、\(OB\)、\(CD\)、\(AB\)、\(E\)等，清晰展示证明过程中的线段和角。
幻灯片 6：垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：这里的弦不能是直径，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
图形演示：结合图形分别对每个推论进行直观展示，帮助学生理解推论的条件和结论。
幻灯片 7：例题解析 —— 运用垂径定理求弦长
例题 1：已知在\(\odot O\)中，弦\(AB\)的长为\(8cm\)，圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离（弦心距）为\(3cm\)，求\(\odot O\)的半径。
解题步骤：
过点\(O\)作\(OC\perp AB\)于点\(C\)，根据垂径定理，可得\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} 8 = 4cm\)。
在\(Rt\triangle AOC\)中，\(OC = 3cm\)，\(AC = 4cm\)，根据勾股定理\(OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}\)。
代入数据得\(OA^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25\)，所以\(OA = 5cm\)，即\(\odot O\)的半径为\(5cm\)。
关键思路：涉及弦长、半径、弦心距的问题，通常通过作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解。
幻灯片 8：例题解析 —— 运用垂径定理解决实际问题
例题 2：一座圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长）为\(16m\)，拱高（弧的中点到弦的距离）为\(4m\)，求这座拱桥的半径。
解题步骤：
设拱桥的圆心为\(O\)，跨度\(AB = 16m\)，拱高\(CD = 4m\)，\(CD\)垂直平分\(AB\)于点\(C\)，连接\(OA\)，设半径\(OA = R\)，则\(OC = R - 4\)。
根据垂径定理，\(AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} 16 = 8m\)。
在\(Rt\triangle AOC\)中，由勾股定理得\(OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}\)，即\(R^{2}=8^{2}+(R - 4)^{2}\)。
展开方程得\(R^{2}=64+R^{2}-8R + 16\)，化简得\(8R=80\)，解得\(R = 10m\)。
所以这座拱桥的半径为\(10m\)。
图形建模：将实际问题转化为几何图形，画出圆弧形拱桥的示意图，标注相关数据，明确已知量和未知量。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。
在\(\odot O\)中，弦\(AB = 6cm\)，圆心\(O\)到\(AB\)的距离为\(4cm\)，则\(\odot O\)的半径为______cm。
下列说法正确的是（ ）A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 垂直于弦的直线平分弦所对的弧 C. 弦的垂直平分线必过圆心 D. 平分弧的直线垂直于弧所对的弦
提升题：
已知在\(\odot O\)中，直径\(CD\)垂直于弦\(AB\)于点\(E\)，若\(AB = 10cm\)，\(DE = 1cm\)，求\(\odot O\)的半径。
如图，在\(\odot O\)中，弦\(AB\)与\(CD\)相交于点\(E\)，且\(AB\perp CD\)，若\(CE = 2cm\)，\(DE = 6cm\)，求圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
应用垂径定理时，忽略定理的条件，如认为 “平分弦的直径垂直于弦”，未注意 “弦不是直径” 这个前提。
在计算时，未正确构造直角三角形，或错误运用勾股定理，导致弦长、半径、弦心距的计算错误。
对弧的平分理解错误，混淆优弧和劣弧的平分情况。
解决实际问题时，不能将实际场景正确转化为几何图形，找不到对应的弦、直径等元素。
避坑技巧：
牢记垂径定理及其推论的条件和结论，尤其是推论中 “弦不是直径” 的限制条件，避免盲目套用。
涉及弦长、半径、弦心距的计算时，务必通过作弦心距构造直角三角形，明确直角三角形的三边分别为半径、弦心距和弦的一半。
区分优弧和劣弧，在应用定理平分弧时，明确所平分的是哪条弧。
解决实际问题时，先画出示意图，标注已知条件，将实际问题中的跨度、拱高等转化为几何中的弦长、弦心距等概念。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：包括平分弦（非直径）的直径垂直于弦、弦的垂直平分线过圆心等。
基本方法：解决与弦、直径相关的问题时，常通过作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解，即 “半径、弦心距、半弦长” 构成直角三角形，满足\(r^{2}=d^{2}+(\frac{l}{2})^{2}\)（\(r\)为半径，\(d\)为弦心距，\(l\)为弦长）。
方法提炼：运用垂径定理时，要把握 “垂直” 和 “平分” 的关系，通过构造直角三角形将几何问题转化为代数计算问题，体现数形结合的思想。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.1 第 4、5、6 题，要求运用垂径定理解决弦长、半径的计算问题。
选做题：在\(\odot O\)中，弦\(AB\)的长为\(2\sqrt{3}cm\)，圆心角\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，求圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离。
实践题：观察生活中的圆弧形建筑（如拱桥、拱门等），测量其跨度和拱高，运用垂径定理计算其半径。
幻灯片 13：结束页
寄语：垂径定理是圆的轴对称性的完美体现，它将直径与弦的关系巧妙联系，为解决圆的相关问题提供了有力工具。愿你能熟练掌握这一定理，在圆的世界中从容解题！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.1.2 垂直于弦的直径
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
　 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
动手操作
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
圆的对称轴有几条？
圆的对称轴有无数条.
每一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如何证明？
已知：在 ⊙O 中，CD 是直径，AA′ 是弦，
CD ⊥ AA′，垂足为 M．
证明：连结 OA、OA′.
在 △OAA′ 中，
∵ OA ＝ OA′，
∵△OAA′ 是等腰三角形.
又 AA′ ⊥ CD，
∴AM = MA′.
即 CD 是 AA′ 的垂直平分线，因此 ⊙O 关于直线 CD 对称.
证 明
从上面的证明我们知道，如果⊙O 的直径 CD 垂直于弦 AA′，垂足为 M，那么点 A 和 A′ 是对称点.
点 A 与点 A′ 重合
AM 与 A′M 重合
与 重合
AC
A′C
与 重合
AD
A′D
因此，AM = A′M ，
= ，
AC
A′C
= .
AD
A′D
即直径 CD 平分弦 AA′，并且平分 ， .
AA′
ACA′
文字语言
几何语言
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
CE = DE ，
= ，
AC
AD
=
BC
BD
AB 是直径，
AB ⊥ CD
文字语言
几何语言
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
AB ⊥ CD ，
= ，
BC
BD
=
AC
AD
AB 是直径，
CF = DF
（CD 不是直径）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
为什么强调这里的弦不是直径？
圆的直径互相平分，但不一定垂直.
拓 展
对于一个圆和一条直线，如果这条直线满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个:
（1）过圆心；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦(非直径）；
（4）平分弦所对的优弧；
（5）平分弦所对的劣弧.
例 2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥， 距今约
有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）
为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，
求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 R.
AB
AB
经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理，D是 AB 的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高.
AB
AB
由题设可知 AB = 37，CD = 7.23，
所以 AD = AB = ×37 = 18.5，
OD = OC - CD = R - 7.23.
在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2，
即 R2 = 18.52 + (R-7.23)2.
解得 R ≈ 27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为 27.3 m.
【教材P83练习 第1题】
1. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的
距离为 3 cm. 求 ⊙O 的半径.
解：根据题中添加辅助线可知，在 Rt△AOE 中，
AO = = = 5（cm）.
则 ⊙O 的半径为 5 cm.
2. 如图，在 ⊙O 中，AB，AC 为互相垂直且相等的两条弦，
OD ⊥ AB，OE ⊥ AC，垂足分别为 D， E. 求证：四边形
ADOE 是正方形.
【教材P83练习 第2题】
证明：∵AB ⊥ AC，OD ⊥ AB，OE ⊥ AC.
∴四边形 ADOE 是矩形.
又∵OD 垂直平分 AB，OE 垂直平分 AC，AB ＝ AC，
∴AE = AC = AB = AD，
∴四边形 ADOE 是正方形.
知识点1 圆的对称性
1.（1）圆是轴对称图形，它有______条对称轴，它的对称轴是_______
_________________.
（2）圆也是中心对称图形，它的对称中心是______.
无数
任何一条直径所在的直线
圆心
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知识点2 垂径定理
（第2题）
2.如图，是的直径， 是弦且不是直径，
，则下列结论不一定正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［教材练习变式］如图，在中，弦 的长为
8，圆心到的距离，则 的半径长为( )
B
A.4 B. C.5 D.
返回
4.［教材习题变式］如图，在以点 为圆心的两
个同心圆中，大圆的弦交小圆于， 两点.
（1）求证： ；
证明：过点作于点 .
，， ，
，， .
（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则 的长为_ __.
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垂径定理
垂径定理
垂径定理的推论
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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