资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.1.3 弧、弦、圆心角 —— 探索圆中元素的等量关系
副标题：理解圆心角概念，掌握三者关系定理
配套元素：
背景图：展示圆中不同的圆心角及其所对的弧和弦，直观呈现三者的关联。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解圆心角的概念，能准确识别圆中的圆心角。
掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论。
能运用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算和证明问题。
过程与方法目标：
通过动手操作、观察、比较等实验活动，经历探究弧、弦、圆心角关系的过程，培养实验探究能力和归纳总结能力。
在运用关系定理解决问题的过程中，体会转化思想和数形结合思想的应用，提升逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
在探究圆中元素关系的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用定理解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
圆的基本元素回顾：圆心、半径、直径、弦、弧（优弧、劣弧）等概念，强调弧与弦的对应关系。
垂径定理回顾：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，体现圆的轴对称性带来的等量关系。
提问引入：在圆中，除了直径与弦的垂直关系会带来等量关系外，圆心与弧、弦之间是否也存在某种等量关系呢？本节课我们就来探究弧、弦、圆心角之间的关系。
幻灯片 4：探究一 —— 圆心角的概念
概念讲解：顶点在圆心的角叫做圆心角。
如图，在\(\odot O\)中，\(\angle AOB\)的顶点\(O\)是圆心，所以\(\angle AOB\)是圆心角。
圆心角的两边是圆的半径，即\(OA\)和\(OB\)都是\(\odot O\)的半径。
对应关系：一个圆心角对应圆中的一条弧和一条弦，其中，圆心角所对的弧是指在圆心角两边之间的弧，所对的弦是指连接圆心角两边与圆交点的弦。如图，圆心角\(\angle AOB\)所对的弧是\(\overset{\frown}{AB}\)，所对的弦是\(AB\)。
图形标注：在圆形图中标注出圆心角、所对的弧和所对的弦，明确三者的对应关系。
幻灯片 5：探究二 —— 弧、弦、圆心角的关系实验
动手操作：
在两张等圆纸片上，分别画出两个相等的圆心角\(\angle AOB\)和\(\angle A'O'B'\)。
将其中一张纸片绕圆心旋转，使\(\angle AOB\)与\(\angle A'O'B'\)重合，观察它们所对的弧\(\overset{\frown}{AB}\)与\(\overset{\frown}{A'B'}\)是否重合，所对的弦\(AB\)与\(A'B'\)是否重合。
实验现象：当两个圆心角相等时，它们所对的弧完全重合，所对的弦也完全重合。
改变条件：在同一张圆纸片上，画出两个不同的圆心角，其中一个圆心角是另一个的两倍，观察它们所对弧和弦的长度关系，发现圆心角大的所对的弧更长，所对的弦也更长。
得出猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
幻灯片 6：探究三 —— 弧、弦、圆心角关系定理的证明
定理表述：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
已知与求证：已知在\(\odot O\)中，\(\angle AOB=\angle COD\)。求证：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，\(AB = CD\)。
证明过程：
将\(\angle AOB\)连同\(\overset{\frown}{AB}\)绕圆心\(O\)旋转，使射线\(OA\)与射线\(OC\)重合。
因为\(\angle AOB=\angle COD\)，所以射线\(OB\)与射线\(OD\)重合。
又因为\(OA = OC\)，\(OB = OD\)（同圆半径相等），所以点\(A\)与点\(C\)重合，点\(B\)与点\(D\)重合。
因此，\(\overset{\frown}{AB}\)与\(\overset{\frown}{CD}\)重合，即\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)；弦\(AB\)与弦\(CD\)重合，即\(AB = CD\)。
图形演示：动态展示旋转重合的过程，直观呈现证明思路。
幻灯片 7：弧、弦、圆心角关系定理的推论
推论 1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
推论 2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
关系总结：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系可以概括为：只要其中一组量相等，那么另外两组量也分别相等。
图形说明：结合图形分别对每个推论进行展示，明确 “同圆或等圆” 这一前提条件的重要性。
幻灯片 8：例题解析 —— 运用关系定理求角度
例题 1：如图，在\(\odot O\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，\(\angle BOC = 120^{\circ}\)，求\(\angle AOB\)的度数。
解题步骤：
因为\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，根据 “在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”，所以\(\angle AOB=\angle AOC\)。
因为\(\angle BOC = 120^{\circ}\)，且整个圆周角为\(360^{\circ}\)，所以\(\angle AOB+\angle AOC=360^{\circ}-\angle BOC=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}\)。
又因为\(\angle AOB=\angle AOC\)，所以\(\angle AOB=240^{\circ}\div2 = 120^{\circ}\)？不对，重新分析：\(A\)、\(B\)、\(C\)在圆上，\(\angle BOC\)是圆心角，\(\angle AOB\)和\(\angle AOC\)也是圆心角，这三个角的和不一定是\(360^{\circ}\)，应该是点\(A\)在\(BC\)所对的弧上，所以\(\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC\)？因为\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}\)，而\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，所以\(\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC = 2\angle AOB\)。
已知\(\angle BOC = 120^{\circ}\)，则\(2\angle AOB=120^{\circ}\)，解得\(\angle AOB = 60^{\circ}\)。
关键思路：根据弧相等得出对应的圆心角相等，再结合已知圆心角的度数，通过角度关系求解未知角度。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用关系定理证明线段相等
例题 2：如图，在\(\odot O\)中，\(AB\)、\(CD\)是两条弦，\(OE\perp AB\)于点\(E\)，\(OF\perp CD\)于点\(F\)，且\(OE = OF\)。求证：\(AB = CD\)。
解题步骤：
连接\(OA\)、\(OC\)，因为\(OE\perp AB\)，\(OF\perp CD\)，根据垂径定理，可得\(AE=\frac{1}{2}AB\)，\(CF=\frac{1}{2}CD\)。
在\(Rt\triangle AOE\)和\(Rt\triangle COF\)中，\(OA = OC\)（同圆半径相等），\(OE = OF\)（已知）。
根据 “HL” 定理，可得\(Rt\triangle AOE\cong Rt\triangle COF\)，所以\(AE = CF\)。
因为\(AE=\frac{1}{2}AB\)，\(CF=\frac{1}{2}CD\)，所以\(AB = CD\)。
另一种思路：由\(Rt\triangle AOE\cong Rt\triangle COF\)可得\(\angle AOE=\angle COF\)，所以\(\angle AOB = 2\angle AOE\)，\(\angle COD = 2\angle COF\)，即\(\angle AOB=\angle COD\)，根据弧、弦、圆心角关系定理，可得\(AB = CD\)。
方法对比：展示两种不同的解题思路，一种利用垂径定理和全等三角形，另一种利用圆心角关系定理，体现解题方法的多样性。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
顶点在______的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______也相等。
在\(\odot O\)中，若\(\angle AOB=\angle COD\)，则______=_，=_；若\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，则____=_，=___。
提升题：
如图，在\(\odot O\)中，\(AB\)是直径，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}\)，求\(\angle BOC\)的度数。
已知在\(\odot O\)中，弦\(AB = CD\)，求证：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：易错点提醒
常见错误：
忽略 “同圆或等圆” 这一前提条件，错误地认为在任意两个圆中，相等的圆心角所对的弧和弦都相等。
对弧、弦、圆心角的对应关系理解不清，混淆优弧和劣弧与圆心角的对应关系。
在证明或计算时，不能正确运用关系定理进行等量转化，找不到已知量和未知量之间的联系。
对圆心角的概念理解错误，将顶点不在圆心的角误认为是圆心角。
避坑技巧：
牢记关系定理的前提条件 “在同圆或等圆中”，没有这一条件，定理不成立，可通过画图对比不同圆中相等圆心角所对弧和弦的长度差异。
明确弧、弦、圆心角的一一对应关系，优弧对应较大的圆心角，劣弧对应较小的圆心角，在应用定理时要指明是优弧还是劣弧。
解题时，先找出已知的相等量（圆心角、弧或弦），再根据关系定理转化为其他量的相等关系，逐步推导得出结论。
识别圆心角时，严格按照定义判断，确保角的顶点在圆心。
幻灯片 12：课堂小结
核心收获：
圆心角的概念：顶点在圆心的角。
弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角和弦相等；若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧相等。
基本方法：运用关系定理进行等量转化，解决圆中角度计算、线段相等证明等问题。
方法提炼：解决圆中与弧、弦、圆心角相关的问题时，要紧扣 “同圆或等圆” 的前提，利用三者之间的等价关系进行转化，将未知量转化为已知量。
幻灯片 13：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.1 第 7、8、9 题，要求运用弧、弦、圆心角的关系解决计算和证明问题。
选做题：在\(\odot O\)中，\(AB\)和\(CD\)是两条弦，\(\angle AOB = 2\angle COD\)，求证：\(AB<2CD\)。
实践题：在圆形纸片上画出不同的圆心角，测量其所对弧的长度和弦的长度，验证弧、弦、圆心角之间的关系定理。
幻灯片 14：结束页
寄语：弧、弦、圆心角如同圆中的三个亲密伙伴，它们之间的等量关系为我们探索圆的奥秘提供了重要依据。愿你能熟练掌握它们的关系，在圆的世界中轻松解题！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.1.3 弧、弦、圆心角
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2. 理解圆心角的概念，探索圆心角、弧、弦之间
关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
3. 理解圆心角关系定理中的“在同圆或等圆中”
条件的意义.（难点）
点击抽奖
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转 180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
圆是中心对称图形
圆心就是它的对称中心
把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.
圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
特别提醒：
一条弧所对的圆心角只有一个.
A
B
O
下列各图中的角是不是圆心角，说明理由.
辨一辨
不是
不是
不是
是
1. 优弧所对的圆心角大于平角，
2. 劣弧所对的圆心角小于平角，
3. 半圆所对的圆心角等于平角.
A
B
O
C
D
思 考
如图，⊙O 中，当圆心角 ∠AOB = ∠A′OB′ 时，它们所对的弧 和 、弦 AB 和 A′B′ 相等吗？为什么？
AB
A′B′
∵∠AOB = ∠A′OB′，
∴射线 OB 与 OB′ 重合.
又 OA = OA′，OB = OB′，
∴点 A 与 A′ 重合，点 B 与 B′ 重合.
因此， 与 重合，AB 与 A′B′ 重合，
即 = ，AB = A′B′.
AB
A′B′
AB
A′B′
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦也相等.
符号语言：
∠AOB = ∠A′OB′
=
AB
A′B′
AB = A′B′
重要结论1：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
符号语言：
AB
A′B′
=
∠AOB = ∠A′OB′
AB = A′B′
重要结论2：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
符号语言：
AB = A′B′
∠AOB = ∠A′OB′
AOB
A′OB′
=
AB
A′B′
=
思 考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
如图，∠AOB = ∠A′OB′，
但 ≠ ，AB ≠ A′B′.
AB
A′B′
例 题 3
如图，在 ⊙O 中，AB = AC，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB = ∠BOC = ∠AOC．
AB
证明：∵ = ，
∴AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又 ∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB = ∠BOC = ∠AOC.
AC
【教材P85练习 第1题】
1. 如图，AB、CD 是 ⊙O 的两条弦.
（1）如果 AB = CD，那么__________，_____________ .
（2）如果 ，那么_________ ，_____________.
（3）如果∠AOB = ∠COD，那么_________，__________ .
（4）如果 AB = CD，OE ⊥ AB，OF ⊥ CD， OE 与 OF
相等吗？为什么？
∠AOB=∠COD
AB = CD
∠AOB=∠COD
AB = CD
相等
2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径， ，∠COD = 35°，
求 ∠AOE 的度数。
【教材P85练习 第2题】
解：∵ ，
∴∠BOC = ∠COD = ∠DOE.
又 ∠COD = 35°，
∴∠BOE = ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 105°，
则∴∠AOE = 180°-∠BOE = 75°
知识点1 圆心角的概念
1.［2025廊坊校级月考］下列图形中的角是圆心角的是( )
A
A. B. C. D.
返回
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
（第2题）
2.［教材练习变式］如图，，是 的两
条弦，于点，于点 .
（1）若，则____， _______；
（2）若，则_______， ____；
（3）若，则____， ____；
（4）若，则____，____， _______.
返回
3.如图，在中，，，则 的长为( )
C
（第3题）
A.1 B. C.3 D.4
返回
4.如图，在中，， ，则 的度数是
( )
D
（第4题）
A. B. C. D.
返回
5.如图，在中， ，则下列结论不一定正确的是( )
D
（第5题）
A. B.
C. D.
返回
6.下列说法中，正确的是( )
B
A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等
C.相等的圆心角所对的弦相等 D.相等的弦所对的圆心角相等
返回
7.如图，，是的两条弦，.求证： .
证明： ，
，
， .
返回
圆的旋转对称性
圆心角
在同圆或等圆中
圆心角
弧
弦
知
一
得
二
圆
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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