资源简介

(共41张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.1.4 圆周角 —— 探索圆中特殊角的性质
副标题：理解圆周角概念，掌握圆周角定理
配套元素：
背景图：展示圆中不同位置的圆周角及其所对的弧，直观呈现圆周角与圆心角的关联。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解圆周角的概念，能准确识别圆中的圆周角。
掌握圆周角定理及其推论，明确圆周角与圆心角之间的数量关系。
能运用圆周角定理及其推论解决圆中的计算和证明问题。
过程与方法目标：
通过画图、测量、猜想、证明等活动，经历探究圆周角与圆心角关系的过程，培养观察能力、推理证明能力和动手操作能力。
在运用定理解决问题的过程中，体会转化思想和分类讨论思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究圆周角性质的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用定理解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
圆心角概念回顾：顶点在圆心的角叫做圆心角，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
弧、弦、圆心角关系回顾：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间存在一一对应的等量关系。
提问引入：在圆中，除了顶点在圆心的圆心角外，还有顶点在圆上的角，这样的角有什么特殊性质呢？它与圆心角之间又存在什么关系呢？本节课我们就来探究这个问题。
幻灯片 4：探究一 —— 圆周角的概念
概念讲解：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
如图，在\(\odot O\)中，\(\angle ACB\)的顶点\(C\)在圆上，两边\(CA\)、\(CB\)都与圆相交，所以\(\angle ACB\)是圆周角。
概念辨析：判断下列图形中的角是否为圆周角，并说明理由。
顶点在圆外的角（不是，顶点不在圆上）。
顶点在圆上，但一边与圆不相交的角（不是，两边未都与圆相交）。
顶点在圆上，两边都与圆相交的角（是，符合圆周角定义）。
图形标注：在圆形图中标注出圆周角，明确圆周角的顶点在圆上且两边与圆相交的特征。
幻灯片 5：探究二 —— 圆周角与圆心角的关系实验
动手操作：
在圆中任意画一条弧\(\overset{\frown}{AB}\)，画出该弧所对的圆心角\(\angle AOB\)和一个圆周角\(\angle ACB\)。
用量角器分别测量\(\angle AOB\)和\(\angle ACB\)的度数，记录测量结果。
改变圆周角顶点\(C\)的位置，再次测量对应的圆周角和圆心角的度数，观察两者之间的数量关系。
实验现象：通过多次测量发现，圆周角的度数总是等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
得出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
幻灯片 6：探究三 —— 圆周角定理的证明
定理表述：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
分类讨论：圆心与圆周角的位置关系有三种情况，需分别证明：
圆心在圆周角的一边上：
已知：在\(\odot O\)中，圆心\(O\)在圆周角\(\angle ACB\)的一边\(CB\)上。求证：\(\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
证明：因为\(OA = OC\)（同圆半径相等），所以\(\angle A=\angle C\)。又因为\(\angle AOB=\angle A+\angle C = 2\angle C\)，所以\(\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
圆心在圆周角的内部：
辅助线：过点\(C\)作直径\(CD\)。
证明：由第一种情况可知，\(\angle ACD=\frac{1}{2}\angle AOD\)，\(\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD\)，所以\(\angle ACB=\angle ACD+\angle BCD=\frac{1}{2}(\angle AOD+\angle BOD)=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
圆心在圆周角的外部：
辅助线：过点\(C\)作直径\(CD\)。
证明：由第一种情况可知，\(\angle ACD=\frac{1}{2}\angle AOD\)，\(\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BOD\)，所以\(\angle ACB=\angle ACD-\angle BCD=\frac{1}{2}(\angle AOD-\angle BOD)=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
图形演示：分别展示三种位置关系的图形，动态演示证明过程，明确辅助线的作法和证明思路。
幻灯片 7：圆周角定理的推论
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
如图，\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角\(\angle ACB\)和\(\angle ADB\)相等，即\(\angle ACB=\angle ADB\)。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，则\(\angle ACB = 90^{\circ}\)；若\(\angle ACB = 90^{\circ}\)，则弦\(AB\)是\(\odot O\)的直径。
推论 3：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧一定相等。
图形说明：结合图形对每个推论进行直观展示，帮助学生理解推论的条件和结论。
幻灯片 8：例题解析 —— 运用圆周角定理求角度
例题 1：如图，在\(\odot O\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，\(\angle BAC = 50^{\circ}\)，求\(\angle ABC\)和\(\angle BOC\)的度数。
解题步骤：
因为\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，所以\(AB = AC\)，\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(\angle ABC=\angle ACB\)。
已知\(\angle BAC = 50^{\circ}\)，根据三角形内角和定理，\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180^{\circ}\)，即\(2\angle ABC + 50^{\circ}=180^{\circ}\)，解得\(\angle ABC = 65^{\circ}\)。
\(\angle ABC\)是\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆周角，\(\angle BOC\)是\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆心角，根据圆周角定理，\(\angle BOC = 2\angle ABC=2 65^{\circ}=130^{\circ}\)。
关键思路：先利用等弧对等弦得出三角形是等腰三角形，再结合三角形内角和定理求出圆周角的度数，最后根据圆周角定理求出圆心角的度数。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用圆周角推论解决问题
例题 2：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(C\)、\(D\)是圆上的两点，且\(C\)、\(D\)在\(AB\)的两侧，\(\angle BAC = 30^{\circ}\)，求\(\angle ADC\)的度数。
解题步骤：
因为\(AB\)是\(\odot O\)的直径，根据推论 2，\(\angle ACB = 90^{\circ}\)。
在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle BAC = 30^{\circ}\)，所以\(\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}\)。
\(\angle ABC\)和\(\angle ADC\)都是\(\overset{\frown}{AC}\)所对的圆周角，根据推论 1，同弧所对的圆周角相等，所以\(\angle ADC=\angle ABC = 60^{\circ}\)。
方法提炼：涉及直径的问题，常利用 “直径所对的圆周角是直角” 这一推论构造直角三角形，再结合其他条件求解。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
顶点在______，并且两边都与圆______的角叫做圆周角。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______。
同弧或等弧所对的圆周角______；半圆所对的圆周角是______，90° 的圆周角所对的弦是______。
在\(\odot O\)中，若一条弧所对的圆心角是\(100^{\circ}\)，则这条弧所对的圆周角是______度。
提升题：
如图，在\(\odot O\)中，\(AB\)是直径，\(\angle AOC = 120^{\circ}\)，求\(\angle D\)的度数。
已知：如图，在\(\odot O\)中，\(\angle A = \angle B\)，求证：\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}\)。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：易错点提醒
常见错误：
对圆周角的概念理解不清，将顶点在圆上但一边不与圆相交的角误认为是圆周角。
应用圆周角定理时，忽略 “同弧或等弧” 这一前提条件，错误地认为任意两个圆周角都相等。
混淆圆周角与圆心角的关系，将 “圆周角等于圆心角的一半” 记反。
在解决与直径相关的问题时，忘记运用 “直径所对的圆周角是直角” 这一重要推论。
避坑技巧：
严格按照圆周角的定义判断角是否为圆周角，确保顶点在圆上且两边都与圆相交。
应用圆周角定理及其推论时，明确 “同弧或等弧” 的条件，只有在同弧或等弧所对的情况下，圆周角才相等。
牢记圆周角与圆心角的数量关系：圆周角 = 圆心角 ×\(\frac{1}{2}\)，可通过画图举例加深记忆。
看到直径时，立即联想到 “直径所对的圆周角是直角”，主动构造直角三角形辅助解题。
幻灯片 12：课堂小结
核心收获：
圆周角的概念：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
基本方法：运用圆周角定理进行角度转化，结合推论解决与直径、等弧相关的问题。
方法提炼：解决圆周角相关问题时，要找准圆周角和圆心角所对的弧，利用 “同弧或等弧” 建立两者之间的联系，通过分类讨论和辅助线构造（如作直径）简化问题。
幻灯片 13：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.1 第 10、11、12 题，要求运用圆周角定理及其推论解决计算和证明问题。
选做题：如图，在\(\odot O\)中，\(AB\)是直径，\(CD\)是弦，\(CE\perp CD\)交\(AB\)于点\(E\)，\(DF\perp CD\)交\(AB\)于点\(F\)，求证：\(AE = BF\)。
实践题：在圆形纸片上画出不同的圆周角和对应的圆心角，测量它们的度数，验证圆周角定理的正确性。
幻灯片 14：结束页
寄语：圆周角定理揭示了圆中圆周角与圆心角的奇妙关系，它为我们解决圆的角度问题提供了有力工具。愿你能熟练掌握这一定理及其推论，在圆的世界中继续探索前行！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.1.4 圆周角
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2. 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理
解决简单的几何问题.（重点、难点）
3. 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
（难点）
1. 圆心角的定义？
顶点在圆心的角叫圆心角.
2. 把圆心角 ∠AOB 的顶点 O
拉到圆上，得到 ∠ACB.
∠ACB 有什么特点？
∠ACB 的顶点在圆上
边 AC，BC 都与圆相交
　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
圆心角 圆周角
区别
联系 顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的
在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个
角的两边都与圆相交
下列图形中的角是圆周角的是（ ）
做一做
圆周角必须满足两个条件：
（1）顶点在圆上；
（2）两边都与圆相交.
C
探 究
分别测量图中 所对的圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 的度数，它们之间有什么关系？
∠AOB = 120°
AB
∠ACB = 60°
∠ACB = ∠AOB
探 究
在 ⊙O 上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？
可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
证 明
在圆上任取 BC，画出圆心角 ∠BOC 和圆周角 ∠BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？
证明 1
∵ OA = OC，
∴ ∠A = ∠C．
又∵ ∠BOC = ∠A + ∠C，
∠BAC = ∠BOC．
如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D．
∵ OA = OB，
∴∠BAD = ∠B．
又∵∠BOD = ∠BAD + ∠B，
∠BAD = ∠BOD.
同理，∠CAD = ∠COD.
∴∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = ∠BOC.
证明 2
证明 3
你会证明吗？
定理 情况
图示
结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆心在圆周角的一条边上
圆心在圆周角的内部
圆心在圆周角的外部
∠BAC = ∠BOC．
思 考
AB 所对的两个圆周角，∠ACB 与∠ADB 之间有什么关系？
同弧所对的圆周角相等．
思 考
AB = BC
，∠ADB 与∠BEC 之间有什么关系？
等弧所对的圆周角相等．
推论 1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
符号语言：
如图，∠AC1B = ∠AC2B = ∠AC3B = ∠AOB
思 考
“同弧或等弧所对的圆周角相等”反过来成不成立？
不成立.
如图，∠APB = ∠CPD，
但 AB ≠ CD .
O1
O2
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
等于 90°
推论 2
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
符号语言：
如图，在⊙O 中，若 AB 为⊙O 的直径，则∠C1 = ∠C2 = ∠C3 = 90°.
若∠C1(或∠C2，∠C3 )= 90°，
则 AB 为 ⊙O 的直径.
思 考
若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论成立吗？
不一定成立，因为一条弦所对的圆周角有两种情况.
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，
ACB 的平分线交 ⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
例题4
解：连接 OD. 　
∵　AB 是⊙O 的直径，
∴　 ACB = ADB = 90°．
在 Rt△ABC 中，
∵　CD 平分 ACB，
∴　 ACD = BCD，
∴　 AOD = BOD ．
∴　AD = BD．
在 Rt△ABD 中，
　 AD2 + BD2 = AB2 ，
∴　AD = BD =　　　　
=　　（cm）．
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图所示，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
思 考
如图，连接 OB，OD.
∵∠A 所对的弧为 ，
∠C 所对的弧为 ，
又 和 所对的圆心角
的和是周角，
BCD
BAD
∴ ∠A + ∠C = = 180°.
同理 ∠B + ∠D = 180°.
BCD
BAD
360°
2
圆内接四边形的性质：
1
圆内接四边形的对角互补.
符号语言：
如图，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠ADC = 180°
拓展：
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 如 ∠1 = ∠A .
【教材P88练习 第1题】
1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
（1） （2） （3） （4） （5）
√
理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角.
2. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD
把它的 4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些相等？
为什么？
【教材P88练习 第2题】
解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6，
∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8.
理由：同弧所对的圆周角相等.
3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB =
2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
证明：∵ ∠ACB = ∠AOB，∠BAC = ∠BOC，
∠AOB = 2∠BOC，
∴ ∠ACB = 2∠BAC.
A
B
C
O
【教材P88练习 第3题】
4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？
有几种方法？与同学交流一下.
解：根据 90 的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心.
【教材P88练习 第4题】
5. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，E 为 CD 延长
线上一点. 若∠B = 110°，求∠ADE 的度数.
【教材P88练习 第5题】
解： ∠ADE = 110°.
知识点1 圆周角的概念
1.下列图形中， 是圆周角的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图，点，，，都在圆上，弦交于点，连接， ，
则 所对的圆周角是______________.
和
（第2题）
返回
知识点2 圆周角定理
（第3题）
3.［2024湖南中考］如图，，为 的两条弦，连
接，，若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.如图，是的直径，点，在 上.若
， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［2024陕西中考］如图，是的弦，连接，，是 所
对的圆周角，则与 的和的度数是_____.
（第5题）
返回
知识点3 圆周角定理的推论
6.如图，,,,是上的点，则图中与 相等的角是( )
D
（第6题）
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7.如图，是的直径，点在上， ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
8.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜
面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得
， ，则圆形镜面的直径为( )
B
A. B. C. D.
返回
9.如图，已知是的直径，点，在 上，且
，连接，，求 的度数.
解：是 的直径，
.
， ，
.
返回
圆周角的定义
圆周角定理及其推论
定理
推论 1
推论 2
圆周角
圆内接四边形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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