资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.2.1 点和圆的位置关系 —— 探索点与圆的空间关联
副标题：理解位置关系，掌握判定方法
配套元素：
背景图：展示平面上点与圆的不同位置关系示意图，包括点在圆内、圆上、圆外三种情况。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解点与圆的三种位置关系，能根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系。
掌握 “不在同一直线上的三个点确定一个圆” 的结论，了解三角形的外接圆、外心等概念。
能运用点与圆的位置关系解决简单的问题，如判断点是否在圆上、确定圆的个数等。
过程与方法目标：
通过画图、测量、分析等活动，经历探究点与圆位置关系的过程，培养观察能力、动手操作能力和逻辑推理能力。
在探究 “三点定圆” 的过程中，体会分类讨论思想和转化思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究点与圆位置关系的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用知识解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的点与圆
展示实例：
动态展示射击靶上的弹孔与靶心的位置关系（弹孔在靶内、靶上、靶外）。
展示圆形广场上的游客位置（游客在广场内、广场边缘、广场外）。
提问引导：这些实例中，点（弹孔、游客）与圆（靶、广场）之间存在哪些不同的位置关系？如何用数学语言描述这些位置关系？本节课我们就来学习点和圆的位置关系。
幻灯片 4：探究一 —— 点与圆的位置关系
位置关系分类：
点在圆内：点到圆心的距离小于圆的半径。
点在圆上：点到圆心的距离等于圆的半径。
点在圆外：点到圆心的距离大于圆的半径。
图形演示：在圆形图中分别标注出在圆内、圆上、圆外的点，连接点与圆心，标注距离和半径，直观展示三种位置关系。
符号表示：设\(\odot O\)的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(d\)，则：
点\(P\)在圆内\(\Leftrightarrow d < r\)。
点\(P\)在圆上\(\Leftrightarrow d = r\)。
点\(P\)在圆外\(\Leftrightarrow d > r\)。
幻灯片 5：点与圆位置关系的辨析与巩固
辨析练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。
若点到圆心的距离等于半径，则该点一定在圆上。（正确，符合点在圆上的定义）
点在圆外，则该点到圆心的距离一定大于半径。（正确，符合点在圆外的定义）
点到圆心的距离越大，点在圆内的可能性越大。（错误，距离越大，越可能在圆外）
实例分析：已知\(\odot O\)的半径为\(5cm\)，点\(A\)到圆心\(O\)的距离为\(3cm\)，点\(B\)到圆心\(O\)的距离为\(5cm\)，点\(C\)到圆心\(O\)的距离为\(7cm\)，判断点\(A\)、\(B\)、\(C\)与\(\odot O\)的位置关系。
点\(A\)：\(3cm < 5cm\)，点\(A\)在圆内。
点\(B\)：\(5cm = 5cm\)，点\(B\)在圆上。
点\(C\)：\(7cm > 5cm\)，点\(C\)在圆外。
幻灯片 6：探究二 —— 确定圆的条件
问题提出：经过一个点可以作多少个圆？经过两个点可以作多少个圆？经过三个点可以作多少个圆？
动手操作：
经过一个点\(A\)作圆：以平面上任意一点为圆心，以该点到\(A\)的距离为半径作圆，可作无数个圆。
经过两个点\(A\)、\(B\)作圆：圆心到\(A\)、\(B\)的距离相等，圆心在\(AB\)的垂直平分线上，可作无数个圆。
经过三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)作圆：
若三点在同一直线上：找不到同时到三个点距离相等的圆心，不能作圆。
若三点不在同一直线上：圆心是\(AB\)、\(BC\)（或\(AB\)、\(AC\)）垂直平分线的交点，且只有一个交点，只能作一个圆。
得出结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
幻灯片 7：三角形的外接圆与外心
概念讲解：
三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点。
性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆的半径）。
图形演示：画出一个三角形及其外接圆，标注出外接圆的圆心（外心），连接外心与三个顶点，展示距离相等的性质。
位置特点：
锐角三角形的外心在三角形内部。
直角三角形的外心在斜边的中点上。
钝角三角形的外心在三角形外部。
幻灯片 8：例题解析 —— 判断点与圆的位置关系
例题 1：已知\(\triangle ABC\)的外接圆的圆心为\(O\)，半径为\(5cm\)，若\(OA = 5cm\)，\(OB = 4cm\)，\(OC = 6cm\)，判断点\(A\)、\(B\)、\(C\)与外接圆的位置关系。
解题步骤：
因为外接圆的半径为\(5cm\)，点\(A\)到圆心\(O\)的距离\(OA = 5cm\)，所以点\(A\)在圆上。
点\(B\)到圆心\(O\)的距离\(OB = 4cm < 5cm\)，所以点\(B\)在圆内。
点\(C\)到圆心\(O\)的距离\(OC = 6cm > 5cm\)，所以点\(C\)在圆外。
关键思路：根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系直接判断位置关系。
幻灯片 9：例题解析 —— 确定圆的个数及外心位置
例题 2：下列说法正确的是（ ）
A. 经过三个点一定可以作一个圆 B. 三角形的外心是三角形三条高的交点 C. 直角三角形的外心在斜边中点处 D. 过不在同一直线上的四个点一定能作一个圆
解题步骤：
分析选项 A：经过同一直线上的三个点不能作圆，所以 A 错误。
分析选项 B：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，不是三条高的交点，所以 B 错误。
分析选项 C：直角三角形的外心在斜边中点处，正确。
分析选项 D：过不在同一直线上的四个点不一定能作一个圆，所以 D 错误。
结论：正确答案是 C。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
设\(\odot O\)的半径为\(r\)，点\(P\)到圆心的距离为\(d\)，则点\(P\)在圆内\(\Leftrightarrow\)；点\(P\)在圆上\(\Leftrightarrow\)；点\(P\)在圆外\(\Leftrightarrow\)______。
经过______的三个点确定一个圆。
三角形的外心是三角形______的交点，它到三角形______的距离相等。
已知\(\odot O\)的半径为\(6cm\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(8cm\)，则点\(P\)在\(\odot O\)的______。
提升题：
已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC = 5cm\)，\(BC = 6cm\)，求\(\triangle ABC\)外接圆的半径。
求证：菱形的四个顶点在同一个圆上吗？为什么？
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：易错点提醒
常见错误：
对 “不在同一直线上的三个点确定一个圆” 理解不清，忽略 “不在同一直线上” 这一条件，认为任意三个点都能确定一个圆。
混淆三角形外心的定义，错误地认为外心是三角形三条角平分线或三条高的交点。
判断点与圆的位置关系时，将点到圆心的距离与直径比较，而不是与半径比较。
对不同三角形外心的位置记忆不准确，如认为钝角三角形的外心在三角形内部。
避坑技巧：
牢记确定圆的条件中 “不在同一直线上” 的限制，可通过画图对比同一直线和不同直线上三点作圆的情况。
明确三角形外心的定义：是三条边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，与角平分线、高的交点区分开。
判断位置关系时，严格按照 “点到圆心的距离与半径比较” 的方法，避免与直径混淆。
结合图形记忆不同三角形外心的位置：锐角三角形内、直角三角形斜边中点、钝角三角形外。
幻灯片 12：课堂小结
核心收获：
点与圆的位置关系：点在圆内（\(d < r\)）、点在圆上（\(d = r\)）、点在圆外（\(d > r\)）。
确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
三角形的外接圆和外心：外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外心是外接圆的圆心，即三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。
不同三角形外心的位置：锐角三角形内、直角三角形斜边中点、钝角三角形外。
方法提炼：判断点与圆的位置关系关键是比较点到圆心的距离与半径的大小；解决与外接圆相关的问题时，要利用外心到顶点距离相等的性质，结合垂直平分线的知识求解。
幻灯片 13：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.2 第 1、2、3 题，要求判断点与圆的位置关系，理解确定圆的条件和三角形外心的概念。
选做题：已知直角三角形的两条直角边分别为\(6cm\)和\(8cm\)，求该直角三角形外接圆的半径。
实践题：在纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，分别作出它们的外接圆，观察外心的位置，并测量外心到三个顶点的距离是否相等。
幻灯片 14：结束页
寄语：点与圆的位置关系是圆的基础知识，它为我们后续学习直线与圆、圆与圆的位置关系奠定了基础。愿你能熟练掌握这些知识，在圆的世界中继续探索！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.1 点和圆的位置关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
（1）掌握点和圆的三种位置关系.（重点）
（2）知道不在同一直线上的三点确定一个圆，
能过不在同一直线上的三点作圆.
（3）了解三角形外心的概念.
（4）了解反证法的证明步骤.（难点）
问题 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉. 左图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同、半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系.
说一说，点和圆有几种位置关系？
A
·
O
C
B
OA < r
OB = r
OC > r
设 ⊙O 的半径为 r
反过来成立吗？
设 ⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP = d，则有：
点 P 在圆内
点 P 在圆上
点 P 在圆外
d < r
d = r
d > r
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
图示
对应关系
点在圆内 d < r
点在圆上 d = r
点在圆外 d > r
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，它们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到低的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数表示. 弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击成绩越好.
我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆. 经过一个已知点 A 能不能作圆，这样的圆你能作出多少个？
探 究
O1
O2
O3
无数个，圆心为点 A 以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离.
经过两个已知点 A，B 能不能作圆？如果能，圆心分布有什么特点？
O1
O2
l
无数个，它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
思 考
经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C 能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
O
连接 AB，BC，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线 DE 和 FG，DE与 FG 相交于点 O，以点 O为圆心，以 OA
（或 OB，OC ）为半径作圆
条件 作圆的个数 图示
经过一个点 A 作圆 无数个
经过两点 A，B 作圆 无数个
经过不在同一条 直线上的三点 A，B，C作圆 一个
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
O
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并说说各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内，
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，
钝角三角形的外心位于三角形外.
思 考
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
怎么证明？
l1
l2
证明：假设过同一直线上的三点可以作圆.
则该圆的圆心到 A、B、C 三点的距离都相等，即圆心是线段 AB、BC 垂直平分线的交点.
分别作 AB、BC 垂直平分线 l1、l2.
显然 l1∥l2，l1与 l2 无交点，故产生矛盾. 所以假设不成立.
即过同一直线上的三点不能作圆.
假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫做反证法.
用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是
“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.
已知：在 △ABC 中，AB = AC，求证：∠B，∠C 一定是锐角.
证明：假设 ∠B，∠C 不是锐角，则 ∠B，∠C
是直角或钝角.
（1）若 ∠B，∠C 是直角，即∠B = ∠C = 90°，
故 ∠A + ∠B + ∠C > 180°,
这与三角形的内角和定理矛盾，
所以 ∠B，∠C 不是直角.
（2）若 ∠B，∠C 是钝角，即∠B = ∠C > 90°，
故 ∠A + ∠B + ∠C > 180°，
这与三角形的内角和定理矛盾，
所以 ∠B，∠C 不是钝角.
综上所述，∠B，∠C 不是直角也不是钝角，
即 ∠B，∠C 是锐角，
所以等腰三角形的底角一定是锐角.
【教材P95练习 第1题】
1. 画出由所有到已知点 O 的距离大于或等于 2 cm，
并且小于或等于 3 cm 的点组成的图形.
如图所示，圆环即为所求图形.
2. 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是 6.4 m 和 5.1 m，
他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？
【教材P95练习 第2题】
3. 如图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB，怎样用
这样的工具找到圆形工件的圆心？
【教材P95练习 第3题】
A
B
C
D
解：转动两次即可，CD 所在的两条直线的交点就是圆心.
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图，四边形内接于，若 ，则 的度数为
( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.如图，四边形内接于，是 的直
径， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.如图，四边形内接于.过点作，交
于点.若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2024滨州中考］如图，四边形内接于，若四边形 是
菱形，则____ .
60
（第4题）
返回
5.如图，在的内接四边形中， ，
，点在 上.
（1）____ ；
70
（2）求 的度数.
解：连接 ，
.
四边形是的内接四边形， ，
.
返回
（第6题）
6.如图，四边形是的内接四边形，是
的直径，若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
7.［2025廊坊校级月考］如图，是半圆的直径，，， 三点依次
在半圆上.若 ， ，则 与 之间的关系式为________
_______.
（第7题）
返回
点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
确定圆的条件
反证法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑