资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.2.2.2 切线的判定与性质 —— 深入探究切线的核心特征
副标题：掌握判定方法，理解性质应用
配套元素：
背景图：展示圆的切线与半径垂直的示意图，突出切线的关键特征。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
掌握切线的判定定理，能运用定理判断一条直线是否为圆的切线。
理解切线的性质定理，能运用定理解决与切线相关的计算和证明问题。
能综合运用切线的判定与性质解决几何问题，提高逻辑推理能力。
过程与方法目标：
通过动手操作、观察分析、推理证明等活动，经历探究切线判定与性质定理的过程，培养严谨的逻辑思维能力和推理证明能力。
在运用定理解决问题的过程中，体会数形结合思想和转化思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究切线判定与性质的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何证明的兴趣。
通过运用定理解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
直线与圆的位置关系回顾：相离（\(d > r\)）、相切（\(d = r\)）、相交（\(d < r\)），重点强调相切时的特征：有唯一公共点，圆心到直线的距离等于半径。
切线的初步概念回顾：与圆相切的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点，初步感知切线垂直于过切点的半径。
提问引入：如何判定一条直线是圆的切线？切线又具有哪些特殊的性质呢？本节课我们就来深入学习切线的判定与性质。
幻灯片 4：探究一 —— 切线的判定定理
定理推导：
问题：已知圆\(\odot O\)，点\(A\)在圆上，过点\(A\)的直线\(l\)满足什么条件时是\(\odot O\)的切线？
分析：若直线\(l\)是\(\odot O\)的切线，则圆心\(O\)到直线\(l\)的距离等于半径\(OA\)，即\(OA\perp l\)（因为\(OA\)是半径，距离\(d = OA = r\)）。
反过来，若直线\(l\)经过半径\(OA\)的外端\(A\)，且垂直于半径\(OA\)，则圆心\(O\)到直线\(l\)的距离\(d = OA = r\)，所以直线\(l\)与\(\odot O\)相切。
定理表述：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
图形标注：在圆形图中标注出半径\(OA\)，直线\(l\)经过点\(A\)且\(l\perp OA\)，明确定理的条件：经过半径外端、垂直于半径。
幻灯片 5：切线判定定理的辨析与应用条件
条件辨析：切线的判定定理需要同时满足两个条件：
直线经过半径的外端（即直线与半径有公共点，且该点在圆上）。
直线垂直于这条半径。
缺少任何一个条件，都不能判定直线是圆的切线。
反例展示：
直线经过半径外端但不垂直于半径（不是切线）。
直线垂直于半径但不经过半径外端（不是切线）。
结论强调：只有同时满足两个条件，才能判定直线是圆的切线。
幻灯片 6：例题解析 —— 运用切线判定定理证明
例题 1：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，点\(C\)在\(\odot O\)上，\(OD\parallel AC\)，求证：\(OD\)是\(\odot O\)的切线吗？（修改为：求证：\(CD\)是\(\odot O\)的切线，假设\(D\)在\(AC\)的延长线上且\(OD\parallel AC\) ）
解题步骤：
连接\(OC\)，因为点\(C\)在\(\odot O\)上，所以\(OC\)是\(\odot O\)的半径。
因为\(OD\parallel AC\)，所以\(\angle OCA=\angle COD\)，\(\angle OAC=\angle BOD\)。
因为\(OA = OC\)（同圆半径相等），所以\(\angle OAC=\angle OCA\)，因此\(\angle COD=\angle BOD\)。
在\(\triangle COD\)和\(\triangle BOD\)中，\(OC = OB\)，\(\angle COD=\angle BOD\)，\(OD = OD\)，所以\(\triangle COD\cong\triangle BOD\)（SAS）。
所以\(\angle OCD=\angle OBD\)，因为\(AB\)是直径，\(AC\perp BC\)（假设条件），\(OD\parallel AC\)，所以\(\angle OBD = 90^{\circ}\)，则\(\angle OCD = 90^{\circ}\)，即\(OC\perp CD\)。
又因为\(OC\)是半径，且\(CD\)经过半径\(OC\)的外端\(C\)，根据切线判定定理，\(CD\)是\(\odot O\)的切线。
关键思路：要证明直线是切线，需先找到直线与圆的公共点，连接该点与圆心得到半径，再证明直线垂直于这条半径。
幻灯片 7：探究二 —— 切线的性质定理
定理推导：
问题：如果直线\(l\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(A\)，那么半径\(OA\)与直线\(l\)有什么关系？
反证法证明：假设\(OA\)不垂直于直线\(l\)，则圆心\(O\)到直线\(l\)的距离\(d < OA = r\)，这与直线\(l\)是切线（\(d = r\)）矛盾，所以\(OA\perp l\)。
定理表述：圆的切线垂直于过切点的半径。
图形标注：在圆形图中标注出切线\(l\)，切点\(A\)，半径\(OA\)，明确\(OA\perp l\)的关系。
幻灯片 8：切线性质定理的推论
推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
因为切线垂直于过切点的半径，而半径经过圆心，所以经过圆心且垂直于切线的直线与半径重合，必经过切点。
推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线垂直于过切点的半径，所以经过切点且垂直于切线的直线与半径重合，必经过圆心。
图形演示：结合图形分别对两个推论进行展示，帮助学生理解推论的逻辑关系。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用切线性质定理计算
例题 2：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的切线，\(B\)为切点，\(AO\)交\(\odot O\)于点\(C\)，若\(\angle A = 30^{\circ}\)，\(AB = \sqrt{3}\)，求\(\odot O\)的半径。
解题步骤：
因为\(AB\)是\(\odot O\)的切线，\(B\)为切点，根据切线性质定理，\(OB\perp AB\)，所以\(\angle OBA = 90^{\circ}\)。
在\(Rt\triangle ABO\)中，\(\angle A = 30^{\circ}\)，\(AB = \sqrt{3}\)，设\(\odot O\)的半径为\(r\)，则\(OB = r\)，\(AO = AC + OC = AC + r\)。
在\(Rt\triangle ABO\)中，\(\tan\angle A=\frac{OB}{AB}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{3}}\)，\(\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{r}{\sqrt{3}}\)，解得\(r = 1\)。
所以\(\odot O\)的半径为\(1\)。
关键思路：根据切线性质定理得到直角三角形，再利用直角三角形的边角关系求解半径。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
切线的判定定理：经过______并且______的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线______过切点的半径。
下列说法正确的是（ ）A. 垂直于半径的直线是圆的切线 B. 经过半径外端的直线是圆的切线 C. 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 D. 与圆有公共点的直线是圆的切线
如图，\(AB\)与\(\odot O\)相切于点\(B\)，\(AO = 5cm\)，\(OB = 3cm\)，则\(AB=\)______cm。
提升题：
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC\)，以\(AB\)为直径的\(\odot O\)交\(BC\)于点\(D\)，过点\(D\)作\(DE\perp AC\)于点\(E\)，求证：\(DE\)是\(\odot O\)的切线。
已知\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(BC\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(B\)，\(OC\parallel AD\)，求证：\(CD\)是\(\odot O\)的切线。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：易错点提醒
常见错误：
应用切线判定定理时，忽略 “经过半径外端” 或 “垂直于半径” 的条件，仅根据一个条件就判定直线是切线。
应用切线性质定理时，找不到切点或对应的半径，无法正确运用切线与半径的垂直关系。
在证明切线时，未先连接半径，直接证明垂直关系，导致证明过程不完整。
混淆切线的判定与性质，在需要判定时误用性质，需要应用性质时误用判定。
避坑技巧：
牢记切线判定定理的两个必备条件，证明时务必先找到直线与圆的公共点（或添加辅助线构造公共点），再证明垂直关系。
看到切线时，立即联想到 “切线垂直于过切点的半径”，主动连接切点与圆心得到半径，构造直角三角形。
区分判定与性质的逻辑关系：判定是 “由条件到切线”，性质是 “由切线到结论（垂直关系）”。
复杂问题中，可通过添加辅助线（如连接半径、作垂线）创造应用定理的条件。
幻灯片 12：课堂小结
核心收获：
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两个条件缺一不可）。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
基本方法：证明切线时，“连半径，证垂直”；应用性质时，“见切线，连半径，得垂直”。
方法提炼：解决切线相关问题的关键是把握 “半径” 与 “切线” 的垂直关系，判定时通过证明垂直关系确立切线，性质时利用垂直关系解决计算或证明问题。
幻灯片 13：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.2 第 7、8、9 题，要求运用切线的判定与性质进行证明和计算。
选做题：如图，\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(CD\)与\(\odot O\)相切于点\(C\)，\(AD\perp CD\)于点\(D\)，求证：\(AC\)平分\(\angle DAB\)。
实践题：在圆形纸片上任意确定一点作为切点，画出该点处的切线，验证切线与过该点的半径是否垂直。
幻灯片 14：结束页
寄语：切线的判定与性质是圆的核心知识，它们如同桥梁连接着直线与圆的位置关系。愿你能熟练掌握这些定理，在几何证明中灵活运用，感受逻辑推理的魅力！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.2.2切线的判定与性质
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解并掌握圆的切线的判定定理，并能判定一条直线是否为圆的切线.
2.掌握圆的切线的性质定理，能综合运用切线的判定和性质定理解决问题.
情境导入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
直线与圆相切的判定：
1.利用定义判定：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆相切.
2.利用直线与圆心距离判定：当圆心与直线的距离等于该圆的半径时，直线与圆相切.
O
l
O
l
d=r
知识点1
切线的判定
思考：如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点 A 作直线 l⊥OA.
O
A
l
（1）圆心O到直线 l 的距离是多少？
圆心O到直线l的距离d=半径r
（2）直线l和⊙O有什么位置关系？
相切
O
A
l
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA是半径，OA⊥l 于A
∴ l是⊙O的切线.
几何符号表达：
1.直线l 经过半径r的外端点A.
2.直线l 垂直于半径r.
注意：
r
判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）
⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
⑶ 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线. （ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
×
×
√
√
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
l
第一步：连接OA；
第二步：过A点作OA的垂线l.
.O
.
A
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，直线与圆的相切.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
O
A
l
O
A
l
O
A
l
d
r
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即d=r）时，直线与圆相切.
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴AB⊥OC.
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线.
O
C
A
方法总结：有交点，连半径，证垂直.
B
知识点2
切线的性质
将切线判定定理的题设与结论反过来：
思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
l
.O
A
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵直线l切⊙O于点A，
∴OA⊥l
几何符号表达：
反证法
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾；
（3）所以⊙O的半径OA与直线CD垂直.
O
A
B
C
D
M
切线的性质：
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
归纳总结
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线.
例1
E
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E .
∴∠OEC=90°.
∵ AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB.
∴∠ODB=90 ° =∠OEC.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C.
∵O是BC的中点， ∴OB=OC .
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
1
C
A
B
O
D
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E .
∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线.
E
1
C
A
B
O
方法总结：无交点，作垂直，证半径.
D
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.
求证：AT是⊙O的切线.
【选自教材P98 练习第1题】
证明：∵ AT=AB，
∴∠T=∠ABT=45°，
∴∠TAB=90°，
∴BA⊥AT，
∴AT是⊙O的切线
A
B
.
O
T
4. 如图， AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点. l1，l2有怎样的位置关系？证明你的结论.
解： l1 ∥ l2.
证明：∵直线l1，l2是⊙O的切线，
∴ AB⊥l1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
A
B
.
O
l2
l1
【选自教材P98 练习第2题】
5.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，求证：AP＝BP.
证明：连接OP.
∵AB切⊙O于点P，
∴OP⊥AB.
∴AP=BP(垂径定理).
O
A
B
P
【选自教材P101 习题24.2第5题】
知识点1 根据公共点的个数说明直线与圆的位置关系
1.如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆
与直线，它们的位置关系是( )
B
A.相切 B.相交 C.相离 D.平行
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知识点2 由直线和圆的位置关系判断数量关系
2.已知的直径为10，直线与相交，则圆心到直线 的距离可能
是( )
A
A.4 B.5 C.6 D.8
返回
3.［教材习题变式］在中， , ,
，以点为圆心作 .
解：,, ,
.
如图，过点作，垂足为 .
，
.
（1）若与相切，求的半径 ；
[答案] 当与相切时， ,
.
（2）若与直线相交，求的半径 的取值范围；
[答案] 当与直线相交时，, .
（3）若与直线没有公共点，求的半径 的取值范围.
[答案] 当与直线没有公共点时，, .
返回
知识点3 由数量关系判断直线和圆的位置关系
（第4题）
4.［2025石家庄期中］半径为5的四个圆按如图所
示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线 的距
离为4，则这个圆可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，是的平分线上一点，
于，以点为圆心，长为半径作，则
与直线 的位置关系是( )
B
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
返回
切线的判定方法
定义法
数量关系
判定定理
→1个公共点
→d=r,相切
证切线常作辅助线：
有公共点，连半径，证垂直；
无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
→
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
→
→
有切线常作辅助线：
见切线，连切点，得垂直.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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