资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.2.2.3 切线长定理 —— 探究切线长度的等量关系
副标题：理解切线长概念，掌握定理应用
配套元素：
背景图：展示从圆外一点引圆的两条切线，标注出切线长及相关线段，突出等量关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解切线长的概念，能准确表述切线长的定义。
掌握切线长定理，明确从圆外一点引圆的两条切线所具有的等量关系。
能运用切线长定理解决与切线相关的计算和证明问题，了解三角形的内切圆、内心等概念。
过程与方法目标：
通过画图、测量、猜想、证明等活动，经历探究切线长定理的过程，培养动手操作能力、推理证明能力和逻辑思维能力。
在运用定理解决问题的过程中，体会数形结合思想和转化思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究切线长定理的过程中，感受数学的严谨性和逻辑性，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用定理解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：复习回顾 —— 衔接旧知
切线的判定与性质回顾：
判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
问题引入：从圆外一点可以引圆的几条切线？这两条切线的长度之间存在什么关系？本节课我们就来探究这个问题。
幻灯片 4：探究一 —— 切线长的概念
概念讲解：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
如图，点\(P\)是\(\odot O\)外一点，\(PA\)、\(PB\)分别是\(\odot O\)的切线，切点为\(A\)、\(B\)，则线段\(PA\)、\(PB\)的长就是点\(P\)到\(\odot O\)的切线长。
概念辨析：切线与切线长的区别：
切线是直线，不可以度量长度。
切线长是线段的长，是一个数量，可以度量。
图形标注：在圆形图中标注出圆外一点\(P\)，两条切线\(PA\)、\(PB\)，切点\(A\)、\(B\)，明确切线长是线段\(PA\)、\(PB\)的长度。
幻灯片 5：探究二 —— 切线长定理的实验与猜想
动手操作：
画一个圆\(\odot O\)和圆外一点\(P\)。
过点\(P\)作\(\odot O\)的两条切线，切点分别为\(A\)、\(B\)。
用直尺测量线段\(PA\)和\(PB\)的长度，观察两者的数量关系。
连接\(PO\)，测量\(\angle APO\)和\(\angle BPO\)的度数，观察两者的数量关系。
实验现象：通过测量发现，\(PA = PB\)，\(\angle APO=\angle BPO\)。
得出猜想：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
幻灯片 6：探究三 —— 切线长定理的证明
定理表述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
已知与求证：已知点\(P\)是\(\odot O\)外一点，\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的两条切线，切点分别为\(A\)、\(B\)。求证：\(PA = PB\)，\(\angle APO=\angle BPO\)。
证明过程：
连接\(OA\)、\(OB\)，因为\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的切线，所以\(OA\perp PA\)，\(OB\perp PB\)（切线性质定理），即\(\angle OAP=\angle OBP = 90^{\circ}\)。
在\(Rt\triangle OAP\)和\(Rt\triangle OBP\)中，\(OA = OB\)（同圆半径相等），\(OP = OP\)（公共边）。
根据 “HL” 定理，可得\(Rt\triangle OAP\cong Rt\triangle OBP\)。
所以\(PA = PB\)，\(\angle APO=\angle BPO\)。
图形演示：展示证明过程中的图形，标注出直角、相等的线段和角，清晰呈现证明思路。
幻灯片 7：三角形的内切圆与内心
概念讲解：
三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。
性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等（都等于内切圆的半径）。
图形演示：画出一个三角形及其内切圆，标注出内切圆的圆心（内心），展示内心到三条边的距离相等的性质。
作图方法：三角形三条角平分线的交点即为内心，以内心为圆心，内心到任意一边的距离为半径作圆，即为三角形的内切圆。
幻灯片 8：例题解析 —— 运用切线长定理计算
例题 1：如图，\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的两条切线，切点分别为\(A\)、\(B\)，\(PO = 10cm\)，\(\angle APB = 60^{\circ}\)，求\(\odot O\)的半径及切线长\(PA\)。
解题步骤：
连接\(OA\)，因为\(PA\)是\(\odot O\)的切线，所以\(OA\perp PA\)，即\(\angle OAP = 90^{\circ}\)。
由切线长定理可知，\(PA = PB\)，\(\angle APO=\frac{1}{2}\angle APB=\frac{1}{2} 60^{\circ}=30^{\circ}\)。
在\(Rt\triangle OAP\)中，\(\angle APO = 30^{\circ}\)，\(PO = 10cm\)，所以\(OA=\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2} 10 = 5cm\)（\(30^{\circ}\)所对直角边等于斜边的一半）。
根据勾股定理，\(PA=\sqrt{PO^{2}-OA^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=\sqrt{100 - 25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}cm\)。
所以\(\odot O\)的半径为\(5cm\)，切线长\(PA\)为\(5\sqrt{3}cm\)。
关键思路：利用切线长定理得到角的关系，结合直角三角形的性质和勾股定理求解半径和切线长。
幻灯片 9：例题解析 —— 运用切线长定理证明
例题 2：如图，\(\triangle ABC\)的内切圆\(\odot O\)与三边分别相切于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，求证：\(AB + BC + AC = 2(AF + BD + CE)\)。
解题步骤：
因为\(\odot O\)与\(\triangle ABC\)的三边分别相切于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，根据切线长定理，可得：
从点\(A\)出发的切线：\(AF = AE\)。
从点\(B\)出发的切线：\(BD = BF\)。
从点\(C\)出发的切线：\(CE = CD\)。
所以\(AB + BC + AC=(AF + BF)+(BD + CD)+(CE + AE)\)。
替换等量线段得：\(AB + BC + AC=(AF + BD)+(BD + CE)+(CE + AF)=2(AF + BD + CE)\)。
因此，\(AB + BC + AC = 2(AF + BD + CE)\)。
方法提炼：涉及三角形内切圆的问题，常利用切线长定理将边的长度转化为从顶点到切点的线段长度，简化证明或计算过程。
幻灯片 10：课堂练习（分层完成）
基础题：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的______的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的______相等，这一点和圆心的连线______两条切线的夹角。
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的______，它是三角形______的交点，到三角形______的距离相等。
如图，\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的两条切线，\(A\)、\(B\)为切点，若\(PA = 5cm\)，则\(PB=\)______cm。
提升题：
如图，\(PA\)、\(PB\)是\(\odot O\)的切线，\(A\)、\(B\)为切点，\(OA = 3cm\)，\(OP = 6cm\)，求\(\angle APB\)的度数。
已知\(\triangle ABC\)的内切圆与三边分别相切于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，且\(AB = 5cm\)，\(BC = 6cm\)，\(AC = 7cm\)，求\(AF\)、\(BD\)、\(CE\)的长度。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 11：易错点提醒
常见错误：
混淆切线与切线长的概念，将切线长误认为是切线的长度（切线是直线，无法度量）。
应用切线长定理时，忽略 “从圆外一点引圆的两条切线” 这一前提条件，错误地应用定理。
对三角形内心的概念理解不清，错误地认为内心是三角形三条高或中线的交点。
在涉及内切圆的计算时，不能正确运用切线长定理将三角形的边进行转化。
避坑技巧：
明确切线是直线，切线长是线段的长，牢记切线长的定义。
应用切线长定理时，确保是从圆外同一点引的两条切线，才能得出切线长相等和夹角平分线的结论。
区分三角形的外心和内心：外心是三边垂直平分线的交点（外接圆圆心），内心是三条角平分线的交点（内切圆圆心）。
解决内切圆问题时，记住从三角形一个顶点出发的两条切线长相等，通过设未知数建立方程求解。
幻灯片 12：课堂小结
核心收获：
切线长的概念：圆外一点到切点之间的线段长。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆与内心：内切圆是与三边都相切的圆，内心是内切圆的圆心，即三条角平分线的交点，到三边距离相等。
基本方法：运用切线长定理进行线段等量转化和角度计算，结合三角形内心的性质解决内切圆相关问题。
方法提炼：解决切线长相关问题的关键是把握 “从同一点出发的两条切线长相等” 这一核心结论，通过连接半径构造直角三角形，或利用角平分线性质简化问题。
幻灯片 13：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.2 第 10、11、12 题，要求运用切线长定理进行计算和证明，理解三角形内心的概念。
选做题：如图，\(\triangle ABC\)的内切圆\(\odot O\)与\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)分别相切于点\(D\)、\(E\)、\(F\)，且\(\angle A = 60^{\circ}\)，\(OD = 2cm\)，求\(AF\)的长度。
实践题：画一个三角形，用尺规作出它的内切圆，测量内心到各边的距离，验证距离是否相等。
幻灯片 14：结束页
寄语：切线长定理揭示了从圆外一点引两条切线的等量关系，三角形的内切圆与内心则是其在三角形中的重要应用。愿你能熟练掌握这些知识，在几何问题中灵活运用，感受数学的和谐之美！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.2.3切线长定理
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道切线长的概念，三角形的内切圆、内心的概念.
2.探索切线长定理，并会利用切线长定理解决问题.
3.会画出三角形的内切圆，会利用三角形内心的性质解决问题.
1.圆的切线的性质是什么？
2.圆的切线的判定方法有几种？
（1）定义法
（2）数量关系法
（3）切线的判定定理
过半径的外端点
垂直于半径
如图，圆外一点P，如何过点P画出⊙O的切线，这样的切线你能画出几条？
O
P
A
B
两条
O
P
A
B
切线长的概念：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
线段PA，PB的长则为点P到⊙O的切线长.
思考：切线和切线长这两个概念有何区别？
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
O
P
A
B
新知探究
知识点1
切线长定理
发现：①PA=PB
②PO平分∠APB
O
P
A
B
证明：如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
请证明你所发现的结论.
PA，PB分别切⊙O于A，B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
切线长定理
O
P
A
B
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
O
B
A
P
E
C
D
切线长定理运用的基本模型：
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
O
B
A
P
切线的性质：
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢
知识点2
三角形的内切圆
A
B
C
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
O
D
．
o
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A
B
C
内切圆
内心
外切三角形
→三角形角平分线的交点
到三角形三边的距离相等
↓
名称 外心 内心
图形
性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+ ∠A
三角形外心、内心的区别：
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB 分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14， CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
A
E
C
D
B
F
解：设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
4. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点
O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
【选自教材P100 练习 第1题】
A
B
C
O
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC= ×50°=25°，
∴∠OCB= ∠ACB = ×75°=37.5° ，
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5°
解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则S△ABC= ar + ab + cr= (a+b+c)r = lr
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)
【选自教材P100 练习 第2题】
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
∵∠BAC=25°, ∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB, ∴∠BAP=∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
A
O
B
C
P
【选自教材P101 习题24.2 第26题】
7.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY =0.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少 为什么？
【选自教材P102 习题24.2 第10题】
解：设圆心为O，连接OW，OX.
∵YW，YX均是⊙O的切线，
∴OW⊥WY，OX⊥XY，
又∵XY⊥WY,
∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°，
∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX.
∴四边形OWYX是正方形.
∴OW=WY=0.65m.
即这个油桶底面半径是0.65m.
知识点1 切线的判定
1.如图，点在上，下列条件不能说明是 的切线的是( )
D
（第1题）
A. B.
C. ， D.
返回
2.如图，,是上的两点，是过点 的一条直线，如果
,那么当_____时，与 相切.
（第2题）
返回
3.如图，为的直径，如果上的点恰使 ，求证：
直线与 相切.
证明：连接 .
， .
为 的直径，
， .
又 ，
，
即， .
又是 的半径，
直线与 相切.
返回
知识点2 切线的性质
4.［2024哈尔滨中考］如图，是的切线，点为切点，连接 ，
，若 ，则____ .
50
返回
（第5题）
5.［2024山西中考］如图，已知，以 为直
径的交于点，与相切于点，连接 .若
，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
返回
课堂小结
切线长
切线长定理
三角形内切圆
原理
作用
辅助线
→图形的轴对称性
→提供了证线段和角相等的新方法
①分别连接圆心和切线；
②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点.
→
有关概念
应用
→内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
→
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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