资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.2.2.1 直线和圆的位置关系 —— 探索直线与圆的动态关联
副标题：理解位置关系，掌握判定与性质
配套元素：
背景图：展示太阳升起过程中地平线（直线）与太阳（圆）的不同位置关系，体现相离、相切、相交三种状态。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能准确描述每种位置关系的特征。
掌握直线与圆位置关系的判定方法，能根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断位置关系。
了解切线的概念，明确直线与圆相切时的特殊性质。
过程与方法目标：
通过观察动态演示、动手操作画图，经历探究直线与圆位置关系的过程，培养观察能力、空间想象能力和动手操作能力。
在分析位置关系与距离、半径关系的过程中，体会数形结合思想的应用，提升逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标：
在探究直线与圆位置关系的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用知识解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的直线与圆
展示实例：
动态展示直尺（直线）与硬币（圆）的位置变化：直尺远离硬币（无交点）、直尺边缘刚好接触硬币（一个交点）、直尺穿过硬币（两个交点）。
展示公路（直线）与圆形花坛（圆）的位置关系：公路在花坛外、公路与花坛边缘相切、公路穿过花坛。
提问引导：这些实例中，直线与圆之间存在哪些不同的位置关系？每种位置关系下，直线与圆的交点个数有何不同？本节课我们就来学习直线和圆的位置关系。
幻灯片 4：探究一 —— 直线与圆的位置关系分类
位置关系定义：
相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
图形演示：在同一坐标系中分别画出直线与圆相离、相切、相交的示意图，标注出公共点的个数，直观展示三种位置关系的区别。
交点个数总结：相离（0 个交点）、相切（1 个交点）、相交（2 个交点）。
幻灯片 5：探究二 —— 位置关系与距离、半径的关系
关键量定义：设\(\odot O\)的半径为\(r\)，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离为\(d\)（即圆心到直线的垂线段长度）。
关系探究：
当直线\(l\)与\(\odot O\)相离时，观察图形可知\(d > r\)。
当直线\(l\)与\(\odot O\)相切时，\(d = r\)。
当直线\(l\)与\(\odot O\)相交时，\(d < r\)。
符号表示：
直线\(l\)与\(\odot O\)相离\(\Leftrightarrow d > r\)。
直线\(l\)与\(\odot O\)相切\(\Leftrightarrow d = r\)。
直线\(l\)与\(\odot O\)相交\(\Leftrightarrow d < r\)。
动态验证：通过动画演示直线逐渐靠近圆的过程，展示距离\(d\)的变化与位置关系变化的对应关系。
幻灯片 6：切线的概念与性质初探
切线定义强调：直线和圆相切时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点，此时圆心到切线的距离等于圆的半径（\(d = r\)）。
性质特点：圆的切线垂直于过切点的半径（后续将详细证明，此处先直观感知）。
如图，若直线\(l\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(A\)，则\(OA\perp l\)。
图形标注：在相切的示意图中标注出切线、切点和半径，展示半径与切线的垂直关系。
幻灯片 7：例题解析 —— 判断直线与圆的位置关系
例题 1：已知\(\odot O\)的半径为\(5cm\)，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，分别根据下列条件判断直线\(l\)与\(\odot O\)的位置关系：
（1）\(d = 3cm\)；（2）\(d = 5cm\)；（3）\(d = 7cm\)。
解题步骤：
已知\(\odot O\)半径\(r = 5cm\)。
（1）当\(d = 3cm\)时，因为\(3cm < 5cm\)（\(d < r\)），所以直线\(l\)与\(\odot O\)相交。
（2）当\(d = 5cm\)时，因为\(5cm = 5cm\)（\(d = r\)），所以直线\(l\)与\(\odot O\)相切。
（3）当\(d = 7cm\)时，因为\(7cm > 5cm\)（\(d > r\)），所以直线\(l\)与\(\odot O\)相离。
关键思路：直接比较圆心到直线的距离\(d\)与圆的半径\(r\)的大小关系，根据对应法则判断位置关系。
幻灯片 8：例题解析 —— 由位置关系求距离或半径范围
例题 2：已知直线\(l\)与\(\odot O\)相交，\(\odot O\)的半径为\(8cm\)，求圆心\(O\)到直线\(l\)的距离\(d\)的取值范围。
解题步骤：
因为直线\(l\)与\(\odot O\)相交，根据直线与圆相交的条件可知\(d < r\)。
已知\(r = 8cm\)，所以\(d < 8cm\)。
又因为距离\(d\)是非负数（圆心到直线的距离不能为负），所以\(0 \leq d < 8cm\)。
变式练习：若直线\(l\)与\(\odot O\)相切，半径为\(8cm\)，则\(d = 8cm\)；若直线\(l\)与\(\odot O\)相离，则\(d > 8cm\)。
幻灯片 9：课堂练习（分层完成）
基础题：
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆______；有唯一公共点时，叫做______；有两个公共点时，叫做______。
设\(\odot O\)的半径为\(r\)，圆心到直线\(l\)的距离为\(d\)，则直线\(l\)与\(\odot O\)相离\(\Leftrightarrow\)；相切\(\Leftrightarrow\)；相交\(\Leftrightarrow\)______。
已知\(\odot O\)的半径为\(6cm\)，圆心到直线\(l\)的距离为\(4cm\)，则直线\(l\)与\(\odot O\)的位置关系是______。
直线\(l\)与\(\odot O\)相切，\(\odot O\)的半径为\(5cm\)，则圆心到直线\(l\)的距离为______cm。
提升题：
已知\(\odot O\)的半径为\(5cm\)，直线\(l\)上一点\(P\)到圆心\(O\)的距离为\(5cm\)，判断直线\(l\)与\(\odot O\)的位置关系。
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 3cm\)，\(BC = 4cm\)，以点\(C\)为圆心，\(r\)为半径画圆，当\(r\)为何值时，\(\odot C\)与直线\(AB\)相切？
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 10：易错点提醒
常见错误：
混淆直线与圆位置关系的定义，将 “相切” 记为有两个公共点，“相交” 记为有一个公共点。
判断位置关系时，误用 “直线上一点到圆心的距离” 代替 “圆心到直线的距离”，导致结论错误。
忽略距离\(d\)的非负性，在求取值范围时漏掉\(d \geq 0\)的条件。
对切线的概念理解不透彻，认为与圆有一个公共点的直线就是切线，未考虑直线是否与圆真正相切（如直线经过圆内一点时，不可能是切线）。
避坑技巧：
牢记三种位置关系的核心特征：相离（0 交）、相切（1 交）、相交（2 交），通过交点个数强化记忆。
明确 “圆心到直线的距离” 是指垂线段的长度，而非直线上任意一点到圆心的距离，可通过画图对比两者的区别。
在涉及距离取值范围的问题中，时刻注意距离的非负性，确保取值范围完整。
理解切线的定义要结合位置关系，只有当直线与圆有唯一公共点且圆心到直线距离等于半径时，才是切线。
幻灯片 11：课堂小结
核心收获：
直线与圆的三种位置关系：相离（0 个交点）、相切（1 个交点，切线与切点）、相交（2 个交点，割线）。
位置关系与距离、半径的关系：相离\(\Leftrightarrow d > r\)；相切\(\Leftrightarrow d = r\)；相交\(\Leftrightarrow d < r\)。
切线的初步概念：与圆相切的直线，圆心到切线的距离等于半径，切线垂直于过切点的半径（初步感知）。
方法提炼：判断直线与圆的位置关系，关键是计算圆心到直线的距离\(d\)，并与半径\(r\)比较大小；解决相关取值范围问题时，要紧扣位置关系的条件，结合距离的非负性分析。
幻灯片 12：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.2 第 4、5、6 题，要求判断直线与圆的位置关系，根据位置关系求距离或半径的取值范围。
选做题：在平面直角坐标系中，\(\odot O\)的圆心在原点，半径为\(5\)，直线\(y = kx + 10\)与\(\odot O\)相离，求\(k\)的取值范围。
实践题：用硬纸板制作一个圆和一把直尺，通过移动直尺，观察直尺与圆的不同位置关系，测量并记录每种位置关系下圆心到直尺的距离与圆半径的大小关系。
幻灯片 13：结束页
寄语：直线与圆的位置关系是圆的重要知识，距离与半径的大小比较是判断的核心。愿你能清晰掌握这三种关系的特征与判定方法，为后续学习切线的性质与判定打下坚实基础！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.2.1 直线和圆的位置关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解直线和圆的位置关系.
2.会判断直线和圆的位置关系.
3.理解直线和圆的三种位置关系时，圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系.
点和圆的位置关系有哪几种？
回顾：
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.则：
点在圆内
d﹤r
点在圆上
点在圆外
d＝r
d > r
●
●
●
.
O
思考： 观察日出的时候，我们可以发现地平面和升起的太阳是怎么样的关系呢？
思考：(1)把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，仔细观察直线和圆的公共点个数.
l (地平线)
知识点
直线和圆的位置关系
l (地平线)
2个
1个
0个
直线和圆的公共点个数有_____种情况.
3
(2)如图，在纸上画一条直线 l，把钥匙环看作一个圆.在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线 l 的公共点个数的变化情况吗？
0个公共点
1个公共点
2个公共点
直线和圆的公共点个数有_____种情况.
3
你能总结出直线与圆的位置关系了吗？
O
O
O
2个公共点
1个公共点
0个公共点
直线与圆相交
割线
2个交点
直线与圆相切
切线
1个交点
直线与圆相离
没有交点
位置关系
公共点个数
O
O
O
直线与圆相交
直线与圆相切
直线与圆相离
r
r
r
思考：设⊙O的半径为r，圆心О到直线l的距离为d.在直线和圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系
dd=r
d>r
位置关系
数量关系
d
d
d
反过来，由数量关系联想到图形，得出：
d＜r，则直线l1与⊙O相交；
d＝r，则直线l2与⊙O相切；
d＞r，则直线l3与⊙O相离.
l3
l2
l1
d
d
d
r
判定直线与圆的位置关系的方法：
（1）定义；
（2）d与r的大小关系.
判定直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由________________的个数来判断；
（2）由 大小关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
归纳总结
圆的直径是13cm，如果圆心与直线的距离分别是：
（1）4.5cm； （2）6.5cm； （3）8cm.
那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
【选自教材P96 练习】
解：（1）相交，有2个公共点；
（2）相切，有1个公共点；
（3）相离，没有公共点.
8. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，判断以点C为圆心，下列 r 为半径的⊙C与AB的位置关系：
(1) r = 2 cm； (2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm.
·
解：由题意，得 AB=5cm. 点C到AB的距离d= cm
(1)∵r = 2cm＜d=2.4cm，∴⊙C与AB相离；
(2)∵r =d=2.4cm，∴⊙C与AB相切；
(3)∵r = 3cm＞d=2.4cm，∴⊙C与AB相交.
【选自教材P101 习题24.2 第2题】
9.如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D的坐标为 .
解析：若与AO，OC，CB三条边相切，D的
坐标为(1,1)；若与OA，AB，BC三条边相切，
D的坐标为(3,1)；若与CO，OA，AB三条边
相切，D的坐标为(2,2)；若与OC，CB，BA
三条边相切，D的坐标为(2,0).
(1，1)，(3，1)(2，2)和(2，0)
知识点1 点与圆的位置关系
1.已知的半径的长为2，若 ，则得到的图形可能是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知的半径为，为线段的中点，当时，点
与 的位置关系是( )
A
A.点在内 B.点在上 C.点在 外 D.不能确定
返回
3.已知的半径为4，若点在内，则___4.（填“ ”“ ”或“
”）
返回
4.如图，在中， ，，， 是高线.
（1）以点为圆心，3为半径作，则点，，与 的位置关系
如何？
解：，，， .
，
.半径 ，
，， ，
点在上，点在内，点在 外.
（2）若以点为圆心作，使在圆内，在圆外，求的半径 的
取值范围？
解：由（1）知 .
又， ，
.
返回
直线与圆的位置关系
相离
相切
相交
大致图象
数量关系（d、r）
交点个数
0
1
2
d﹤r
d＝r
d > r
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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