资源简介

(共45张PPT)
幻灯片 1：标题页
标题：24.3 正多边形和圆 —— 探索正多边形与圆的内在联系
副标题：理解正多边形性质，掌握相关计算与画法
配套元素：
背景图：展示正三角形、正方形、正五边形等与它们的外接圆，突出正多边形与圆的紧密关系。
署名：学科、年级、教师姓名
幻灯片 2：学习目标
知识与技能目标：
理解正多边形的概念，知道正多边形与圆的关系，明确正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念。
掌握正多边形的性质，能运用正多边形的性质进行相关计算，如边长、半径、中心角、边心距的计算。
了解正多边形的画法，能利用圆画出正多边形。
过程与方法目标：
通过观察正多边形与圆的图形、动手画图、分析计算等活动，经历探究正多边形与圆关系的过程，培养观察能力、动手操作能力和计算能力。
在运用正多边形性质解决问题的过程中，体会数形结合思想和转化思想的应用，提升分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：
在探究正多边形与圆关系的过程中，感受数学的对称美和和谐美，激发对几何知识的探究兴趣。
通过运用知识解决问题，体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。
幻灯片 3：情境引入 —— 生活中的正多边形
展示实例：
动态展示蜂巢的正六边形结构、钟表的正十二边形刻度、正三角形的交通警示牌等。
展示正多边形形状的饰品、建筑装饰图案等。
提问引导：这些图形都是正多边形，它们有什么共同的特点？正多边形与圆之间存在怎样的关系？本节课我们就来学习正多边形和圆。
幻灯片 4：探究一 —— 正多边形的概念
概念讲解：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如：正三角形（等边三角形）、正方形、正五边形等。
概念辨析：判断下列多边形是否为正多边形，并说明理由。
各边相等的四边形（不一定是，如菱形各边相等但角不一定相等）。
各角相等的四边形（不一定是，如矩形各角相等但边不一定相等）。
各边相等、各角也相等的五边形（是，符合正多边形定义）。
图形展示：展示不同边数的正多边形，标注出边和角，明确正多边形各边相等、各角相等的特征。
幻灯片 5：探究二 —— 正多边形与圆的关系
关系探究：
把正多边形的中心作为圆心，过各顶点的圆叫做正多边形的外接圆，正多边形叫做这个圆的内接正多边形。
任意一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
推导过程：以正五边形为例，作它的外接圆，因为正五边形各边相等、各角相等，所以它的顶点在同一个圆上，即正五边形内接于圆。
图形演示：画出正多边形及其外接圆和内切圆，标注出圆心，展示正多边形内接于外接圆、外切于内切圆的关系。
幻灯片 6：正多边形的相关概念
概念讲解：
中心：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。
半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。
中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
边心距：正多边形的内切圆的半径叫做正多边形的边心距，即中心到正多边形一边的距离。
图形标注：在正多边形图形中标注出中心、半径、中心角、边心距，结合图形明确各概念的含义。
数量关系：设正\(n\)边形的半径为\(R\)，中心角为\(\alpha\)，则\(\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}\)。
幻灯片 7：正多边形的性质
性质总结：
正多边形的各边相等，各角相等。
正多边形是轴对称图形，正\(n\)边形有\(n\)条对称轴，每条对称轴都经过正多边形的中心。
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心。
正多边形的中心角相等，都等于\(\frac{360^{\circ}}{n}\)。
正多边形的半径、边心距和边长的一半构成直角三角形，其中半径为斜边。
图形演示：以正六边形为例，展示其对称轴、中心对称性质，画出半径、边心距和边长一半构成的直角三角形。
幻灯片 8：例题解析 —— 正多边形的有关计算
例题 1：已知正六边形的半径为\(4cm\)，求它的边长、边心距和中心角。
解题步骤：
因为正六边形的中心角\(\alpha=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}\)。
正六边形的半径等于它的边长，所以边长\(a = 4cm\)。
过中心\(O\)作边\(AB\)的垂线\(OC\)，垂足为\(C\)，则\(OC\)为边心距\(r\)，\(\triangle AOB\)是等边三角形，\(AC=\frac{1}{2}AB = 2cm\)。
在\(Rt\triangle AOC\)中，根据勾股定理，\(r=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{16 - 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}cm\)。
所以正六边形的边长为\(4cm\)，边心距为\(2\sqrt{3}cm\)，中心角为\(60^{\circ}\)。
关键思路：利用正六边形的特殊性（半径等于边长）和直角三角形的勾股定理进行计算。
幻灯片 9：例题解析 —— 正多边形与圆的综合计算
例题 2：一个正三角形的外接圆半径为\(6cm\)，求这个正三角形的边长和面积。
解题步骤：
正三角形的中心角\(\alpha=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ}\)，连接中心\(O\)与两个顶点\(A\)、\(B\)，则\(OA = OB = 6cm\)，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)。
过\(O\)作\(OC\perp AB\)于\(C\)，则\(OC\)平分\(\angle AOB\)和\(AB\)，\(\angle AOC = 60^{\circ}\)，\(AC=\frac{1}{2}AB\)。
在\(Rt\triangle AOC\)中，\(\sin60^{\circ}=\frac{AC}{OA}\)，即\(AC = OA \sin60^{\circ}=6 \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}cm\)，所以边长\(AB = 2AC = 6\sqrt{3}cm\)。
边心距\(OC = OA \cos60^{\circ}=6 \frac{1}{2}=3cm\)，正三角形的高\(h=OC + °é è· ¨é é ¨ \)，因为正三角形的重心、外心、内心重合，高\(h = 3OC=9cm\)。
面积\(S=\frac{1}{2} AB h=\frac{1}{2} 6\sqrt{3} 9 = 27\sqrt{3}cm^{2}\)。
方法提炼：涉及正多边形的计算，常通过作边心距构造直角三角形，利用三角函数或勾股定理求解边长、边心距等。
幻灯片 10：正多边形的画法
基本方法：
先作出正多边形的外接圆。
把圆\(n\)等分（\(n\)为正多边形的边数）。
依次连接各等分点，就得到正\(n\)边形。
具体步骤（以正六边形为例）：
画一个圆\(\odot O\)。
以圆的半径为半径，在圆上依次截取等弧，得到\(6\)个等分点。
依次连接这\(6\)个等分点，所得图形就是正六边形。
图形演示：动态展示正六边形的画法过程，强调等分圆的关键步骤。
幻灯片 11：课堂练习（分层完成）
基础题：
各边______、各角______的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的______，外接圆的半径叫做正多边形的______，每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的______。
正\(n\)边形的中心角等于______度。
正四边形（正方形）的中心角是______度，边长与半径的比是______。
提升题：
已知正五边形的半径为\(5cm\)，求它的中心角、边长和边心距（结果保留小数点后一位）。
一个正多边形的每个内角都等于\(144^{\circ}\)，求这个正多边形的边数及它的外接圆半径与边长的比。
要求：学生独立完成后，小组内交流答案和解题思路，选取代表展示解题过程，教师进行点评和讲解。
幻灯片 12：易错点提醒
常见错误：
对正多边形的概念理解不清，认为各边相等或各角相等的多边形就是正多边形，忽略 “各边相等且各角相等” 的条件。
混淆正多边形的半径、边心距的概念，错误地将边心距当作半径进行计算。
在计算正多边形的中心角时，误用内角或外角的度数，忘记中心角等于\(\frac{360^{\circ}}{n}\)。
画正多边形时，不能正确地将圆等分，导致画出的多边形不是正多边形。
避坑技巧：
牢记正多边形的定义必须同时满足 “各边相等” 和 “各角相等” 两个条件，可通过菱形和矩形的反例加深理解。
明确半径是外接圆的半径（中心到顶点的距离），边心距是内切圆的半径（中心到边的距离），结合图形区分两者。
记住中心角的计算公式\(\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}\)，与内角、外角的计算公式区分开（内角\(=\frac{(n - 2) 180^{\circ}}{n}\)，外角\(=\frac{360^{\circ}}{n}\)）。
画正多边形时，利用圆的半径进行等分，确保各等分点间的弧长相等，从而保证多边形的各边相等。
幻灯片 13：课堂小结
核心收获：
正多边形的概念：各边相等、各角相等的多边形。
正多边形与圆的关系：正多边形内接于外接圆，外切于内切圆，两圆同心。
正多边形的相关概念：中心、半径、中心角、边心距。
正多边形的性质：轴对称性（\(n\)条对称轴）、中心对称（边数为偶数时）、中心角相等、半径、边心距和半边长构成直角三角形。
正多边形的画法：等分圆后连接等分点。
方法提炼：解决正多边形问题的关键是利用正多边形与圆的关系，通过作边心距构造直角三角形，将正多边形的计算转化为直角三角形的计算，运用勾股定理或三角函数求解。
幻灯片 14：作业布置
必做题：教材 PXX 页习题 24.3 第 1、2、3 题，要求运用正多边形的概念和性质进行计算和画图。
选做题：已知正八边形的边长为\(2cm\)，求它的外接圆半径和面积（结果保留根号）。
实践题：利用圆规和直尺画出一个正六边形和一个正三角形，并测量它们的边长、半径和边心距，验证本节课所学的计算公式。
幻灯片 15：结束页
寄语：正多边形与圆的关系体现了数学的对称与和谐，正多边形的计算与画法为我们解决实际问题提供了有力工具。愿你能熟练掌握这些知识，在几何的世界中发现更多的美！
致谢：感谢聆听，下次课再见！
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.3 正多边形和圆
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.
（2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？
思考
探索新知
图形 名称 边的关系 角的关系
…… …… …… ……
四条边相等
三个角相等（60°）
三条边相等
四个角相等（90°）
六条边相等
五个角相等（108°）
五条边相等
六个角相等（120°）
正三角形
正四角形
正五角形
正六角形
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那么这个正多边形叫做正n边形.
正多边形的概念：
矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形不符合各边相等
菱形不符合各角相等
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
说一说你还能找出哪些正多边形呢？
【教材P106练习 第1题】
是正多边形
3条
4条
5条
6条
正多边形都是 图形，一个正n边形共有
条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 .
边数是偶数的正多边形还是 ，它的中心就是对称中心.
轴对称
n
中心
中心对称图形
有没有对称轴？
想一想
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什么图形？
弧相等
弦相等
圆周角相等
（多边形的边相等）
（多边形的角相等）
多边形是正多边形
如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
【单击圆跳转几何画板】
将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个正n边形.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
我们以圆内接正五边形为例证明.
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
∴BCE=CDA=3AB
⌒
⌒
⌒
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
【教材P106练习 第2题】
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.
思考
1.下列说法正确的是（ ）
A.各边相等的多边形是正多边形
B.各角相等的多边形是正多边形
C.各边相等的圆内接多边形是正多边形
D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
C
< 针对训练 >
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么对这个四边形描述最准确的是（ ）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.平行四边形
C
证明：∵AB = AC，∴∠ABC= ∠ACB.
又∠BAC= 36°，∴∠ABC= ∠ACB= (180°-∠BAC )= 72°.
又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.
∴BC=BE=AE=AD= CD
∴五边形AEBCD是正五边形.
3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形 AEBCD是正五边形.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
证明一个多边形是正多边形的方法：
证明多边形的各角都相等，各边都相等.
证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等，相邻两弦所夹的角相等.
外接圆的圆心
外接圆的半径
正多边形的每一条边所对的圆心角
弦心距
正多边形的中心
正多边形的半径
正多边形的中心角
正多边形的边心距
O
圆心
半径
圆心角
弦心距
弦
O
中心
半径
边心距
中心角
类比学习
圆内接正多边形
正n边形的一个内角的度数是____________；
中心角是___________；
正多边形的中心角与外角的大小关系是________；
正多边形的中心角与内角的大小关系是________.
相等
互补
想一想
有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
因此，亭子地基的周长
l =4×6=24(m).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
例
O
利用勾股定理，可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
O
添加辅助线的方法：
连半径，得中心角；
作边心距，构造直角三角形
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
边心距r
半径R
中心角一半
边长一半
< 针对训练 >
1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
D
2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为_____________.
30°或150°
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边形？你是怎么画的？
操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正六边形。
　　（2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ ＝60°，将360°圆心角六等分，即可得到圆的 6 个等分点；
O
60°
60°
F
60°
E
60°
D
60°
C
60°
A
B
　　解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ；
　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
　　（2）用量角器画∠AOB＝ ＝60°，再用圆规依次截取 ，得到圆的 6 个等分点；
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 2 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ；
　　（3）顺次连接各分点，即可得到正六边形，如图所示．
还有其他方法吗？
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．
A
B
O
C
D
E
F
　　方法 3 先作一个⊙O ，因为正六边形的边长等于半径，所以在⊙O上用圆规依次截取等于半径的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到正六边形，如图所示．
你能用以上方法画出正三边形、正四边形、正五边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
·
90°
72°
120°
1.如图，已知⊙O的内接正方形的边长为2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.2
C. D.2
C
2.如图，有一个边长为2 cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大的圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是___________ .
(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;
(2)用量角器画一个等于 =72°的圆心角,得到此角所对的弧;
(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;
(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;
(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示:
4. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的
各条对角线，画出一个五角星.
【教材P108练习 第1题】
.
O
5. 用等分圆周的方法画出下列图案:
【教材P108练习 第2题】
知识点1 与正多边形有关的计算
1.正多边形的中心角为 ，则正多边形的边数是( )
C
A.4 B.6 C.8 D.12
返回
（第2题）
2.如图，正五边形内接于，是 上一点
（点不与点重合），则 ( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2024济宁中考］如图，边长为2的正六边形
内接于 ，则它的内切圆半径为( )
D
A.1 B.2 C. D.
返回
（第4题）
4.［2024雅安中考］如图，的周长为 ，正六
边形内接于.则 的面积为( )
B
A.4 B. C.6 D.
返回
5.［2024镇江中考］如图，是的内接正边形的一边，点 在
上， ，则 ____.
10
（第5题）
返回
6.如图，正三角形外接圆的半径为2，求正三角形 的边长、
边心距、周长和面积.
解：如图，连接，，延长交于点 .
正三角形的外接圆是 ，
， ，
易得 ，
正三角形的边心距为 .
由勾股定理得 ，
正三角形的边长为 ，
正三角形的周长为 .
，
正三角形的面积为 .
返回
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
正多边形的
画法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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