资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：25.2.1 用直接列举法与列表法求概率
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：2025 年 08 月 15 日
幻灯片 2：学习目标
理解直接列举法和列表法求概率的原理。
能运用直接列举法列举简单随机事件的所有可能结果。
会用列表法解决两步或两步以上的随机事件概率计算问题。
通过实例体会概率计算在实际生活中的应用。
幻灯片 3：复习回顾
概率的定义：随机事件 A 发生的概率\(P(A)=\frac{m}{n}\)，其中 n 为所有可能的结果总数，m 为事件 A 包含的结果数。
等可能事件特征：结果有限且每种结果发生的可能性相等。
思考：当试验涉及两步操作时，如何不重复、不遗漏地列出所有可能结果？
幻灯片 4：直接列举法引入
问题情境：一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球。
思考：两次摸球的所有可能结果有哪些？
直接列举法：把所有可能的结果一一列举出来的方法。
列举结果：（白 1，白 1）、（白 1，白 2）、（白 1，红）、（白 2，白 1）、（白 2，白 2）、（白 2，红）、（红，白 1）、（红，白 2）、（红，红），共 9 种。
幻灯片 5：直接列举法适用场景
试验步骤较简单（通常为一步或两步）。
所有可能结果数量较少，且容易通过文字或符号清晰列举。
注意事项：列举时要按一定顺序，避免重复或遗漏。
幻灯片 6：例题 1 - 直接列举法应用
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
两枚硬币全部正面朝上。
解：所有可能结果为（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共 4 种，且可能性相等。事件 “两枚硬币全部正面朝上” 包含 1 种结果，所以\(P(全部正面朝上)=\frac{1}{4}\)。
一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：事件 “一枚正面朝上，一枚反面朝上” 包含 2 种结果，即（正，反）、（反，正），所以\(P(一正一反)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)。
幻灯片 7：列表法引入
问题情境：掷两枚质地均匀的骰子，如何快速列出所有可能的点数组合？
列表法：当一次试验要涉及两个因素（或两步操作），且可能出现的结果较多时，为了不重复、不遗漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。
列表规则：把其中一个因素的所有可能结果作为行，另一个因素的所有可能结果作为列，表格中的每个单元格代表一种可能结果。
幻灯片 8：列表法示例 - 掷两枚骰子
第一枚骰子点数
1
2
3
4
5
6
第二枚骰子点数 1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
所有可能结果总数：36 种，且每种结果发生的可能性相等。
幻灯片 9：例题 2 - 列表法求概率
掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
两枚骰子的点数相同。
解：从表格中找出点数相同的结果：(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)、(5,5)、(6,6)，共 6 种。所以\(P(点数相同)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。
两枚骰子的点数之和是 9。
解：点数之和为 9 的结果有 (3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)，共 4 种。所以\(P(点数之和为9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)。
幻灯片 10：列表法注意事项
列表前需明确试验的两个因素（或两步操作）分别是什么。
确保每行和每列的结果不重复，完整覆盖所有可能性。
表格中的每个结果是两个因素的组合，需用有序数对表示。
计算概率时，先确定 n（总结果数）和 m（事件 A 包含的结果数），再代入公式\(P(A)=\frac{m}{n}\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 直接列举法
一个不透明的袋子中装有 1 个红球和 2 个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出 1 个球后放回，再随机摸出 1 个球。用直接列举法列出所有可能结果，并求两次摸到的球都是蓝球的概率。
参考答案：
所有结果：（红，红）、（红，蓝 1）、（红，蓝 2）、（蓝 1，红）、（蓝 1，蓝 1）、（蓝 1，蓝 2）、（蓝 2，红）、（蓝 2，蓝 1）、（蓝 2，蓝 2），共 9 种。
\(P(两次都是蓝球)=\frac{4}{9}\)。
幻灯片 12：课堂练习 2 - 列表法
同时转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的几个扇形），求指针所指区域的数字之和为 5 的概率。（转盘 A：1,2,3；转盘 B：1,2）
转盘 A
1
2
3
转盘 B 1
1+1=2
2+1=3
3+1=4
2
1+2=3
2+2=4
3+2=5
参考答案：所有结果共 6 种，数字之和为 5 的结果有 1 种，所以\(P(和为5)=\frac{1}{6}\)。
幻灯片 13：方法对比与选择
方法
适用场景
优点
局限性
直接列举法
结果较少的一步或两步试验
直观、简单
结果较多时易遗漏或重复
列表法
涉及两个因素或两步操作的试验
系统、全面，不易遗漏
多于两个因素时表格复杂
幻灯片 14：课堂小结
直接列举法：一一列出所有可能结果，适用于结果较少的试验。
列表法：通过表格有序呈现两个因素的所有组合结果，避免重复和遗漏。
概率计算核心：确定所有可能结果总数 n 和事件 A 包含的结果数 m，再用\(P(A)=\frac{m}{n}\)计算。
幻灯片 15：作业布置
教材对应练习题：用列表法解决掷两枚硬币、抽两张卡片等概率问题。
拓展题：一个不透明的盒子中有 2 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球。用列表法求两次摸到不同颜色球的概率。
预习：下一节 “用树状图法求概率”。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.2.1用直接列举法与列表法求概率
第25章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1)会用直接列举法和列表法求简单事件的概率.
(2)能利用概率知识解决涉及两个因素的事件的概率问题.
(3)经历试验、列表、统计、运算等活动，渗透数形结合，分类讨论，特殊到一般的思想，提高在具体情境中分析问题和解决问题的能力.
1.概率的概念及基本性质
2.必然事件A的概率:_______
不可能事件B的概率: _______
随机事件C的概率:____________
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= _____ .
0≤ ≤1
P(A)=1
P(B)=0
0＜P(C)＜1
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.你觉得这个游戏公平吗？
怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的结果呢？
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.
例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面向上；
（2）两枚硬币全部反面向上；
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
知识点一：用直接列举法求概率
提示：抛掷两枚硬币，每枚硬币结果互不影响，一正一反包括正反和反正。
列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果：
正 正
正 反
反 正
反 反
所有可能的结果共有4种，分别是：正正、正反、反正、反反，并且这4种结果的可能性都相等.
解：
（1）所有可能的结果中，满足两枚硬币全部正面向上（记为事件A）的结果只有1种，即“正正”，所以
（2）两枚硬币全部反面向上（记为事件B）的结果也只有1种，即“反反”，所以
（3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事件C）的结果共有2种，即“正反”“反正”，所以
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
注意：直接列举法比较适用于最多涉及两个实验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少等可能性事件.
归纳
思考
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两枚骰子的点数相同；
（2）两枚骰子点数的和是9；
（3）至少有一枚骰子的点数为2.
知识点二：用列表法求概率
怎么列出所有可能出现的结果？
分析
两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，可以用表列举出所有可能出现的结果.
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：
(1)记两枚骰子的点数相同为事件A.
6种情况
一共有 种结果.
36
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：
(2)记两枚骰子的点数的和是9为事件B.
4种情况
解：
(3)记至少有一枚骰子的点数为2为事件C.
11种情况
第1枚 第2枚 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
思考
如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次” ，得到的结果有变化吗？为什么？
随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
当一个事件涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.
运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；
②通过表格确定公式中m、n的值；
③利用P(A)= 计算事件的概率.
1. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个.求下列事件的概率:
(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球;
(2)两次都摸到相同颜色的小球;
(3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球.
练习
【教材P138练习 第1题】
解：（1） ；（2） ；（3） .
2. 有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
【教材P138练习 第2题】
解:第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 .
知识点1 直接列举求概率
1.［教材 例1变式］先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次
正面向上、第二次反面向上的概率是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.小阳、小华和小雅三人随意排成一排进行拍照，小雅恰好排在中间的
概率是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.现有写有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位
数，摆出的三位数是5的倍数的概率是__.
返回
知识点2 用列表法求概率
4. 河北梆子是国家级非物质文化遗产，是中国梆子声腔的一
个重要支脉.现有三张卡片，正面分别印有河北梆子经典剧目人物钟馗、
秦香莲、陈三两，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，
从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡
片正面相同的概率为( )
D
A. B. C. D.
返回
5.［2024济南中考］3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策
划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红
和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的
概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
6. ［2024达州中考］“四大名著”《红楼梦》《水浒传》
《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分.某校七年级
准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机
抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国
演义》和《西游记》的概率是__.
返回
7.嘉嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花.如图，杏花园有两个
入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口 离开的概率为__.
返回
8.［2024常州中考］在3张相同的小纸条上分别写有“石头”“剪子”“布”.
将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是_ _；
直接列举法
列举法
关键在于正确列出试验结果的所有可能性
列表法
前提条件
试验每种结果出现的可能性相等
基本步骤
列表
确定m、n的值，代入概率计算公式
适用对象
两个试验因素或分两步进行的试验
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑