资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：25.2.2 用画树状图法求概率
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：2025 年 08 月 15 日
幻灯片 2：学习目标
理解树状图法求概率的原理和意义。
掌握画树状图列举随机事件所有可能结果的方法和步骤。
能运用树状图法解决三步及以上或多个因素的随机事件概率计算问题。
对比不同概率计算方法，能根据实际情境选择合适的方法。
幻灯片 3：复习回顾
概率计算公式：对于等可能事件，\(P(A)=\frac{m}{n}\)（n 为总结果数，m 为事件 A 包含的结果数）。
已学方法：
直接列举法：适用于结果较少的简单试验。
列表法：适用于涉及两个因素或两步操作的试验。
思考：当试验涉及三步操作或三个及以上因素时，用什么方法列举结果更清晰？
幻灯片 4：树状图法引入
问题情境：一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球各 1 个，从中随机摸出 1 个球，记录颜色后不放回，再随机摸出 1 个球，求两次摸到的球颜色不同的概率。
难点分析：该试验涉及两步不放回操作，直接列举易混乱，列表法虽可行，但当步骤增多时不够直观。
树状图法：通过树状图形的分支结构，有序呈现试验所有可能结果的方法。
幻灯片 5：树状图的画法步骤
确定试验步骤：明确试验分几步进行，或涉及几个因素。
绘制分支：从左到右，每一步骤的所有可能结果作为一个分支，用线段连接。
标注结果：在每个分支末端标注该步骤的结果，最终所有分支末端的组合即为所有可能结果。
计数结果：数出总结果数 n 和事件 A 包含的结果数 m。
幻灯片 6：例题 1 - 两步不放回试验
用树状图法解决幻灯片 4 中的问题：
第一步：摸第一个球，有红、黄、蓝 3 种可能，画出 3 个分支。
第二步：因不放回，每种第一个球颜色对应 2 种第二个球颜色（如红后有黄、蓝），画出次级分支。
所有结果：（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（黄，蓝）、（蓝，红）、（蓝，黄），共 6 种。
事件 A（颜色不同）：包含所有 6 种结果，所以\(P(A)=\frac{6}{6}=1\)？ （修正：题目中两次摸球颜色必然不同，因不放回且颜色唯一，此处仅为演示画法）
幻灯片 7：例题 2 - 三步试验
一个密码箱的密码由三位数字组成，每位数字可从 0 - 9 中任选一个，求密码中三位数字全不相同的概率。
树状图简化示意：
第一步（第一位）：10 种可能（0 - 9）。
第二步（第二位）：因全不相同，每种第一位对应 9 种可能。
第三步（第三位）：每种前两位对应 8 种可能。
总结果数 n：\(10×9×8 = 720\)？ （错误：总结果数应为\(10×10×10 = 1000\)，树状图需完整呈现）
正确树状图分析：总结果 1000 种，三位全不同的结果数为\(10×9×8 = 720\)，所以\(P(全不同)=\frac{720}{1000}=\frac{18}{25}\)。
幻灯片 8：树状图法适用场景
试验涉及三步及以上操作（如三次摸球、三次抽奖等）。
试验涉及三个及以上因素（如三维密码、多组选项搭配等）。
不放回试验或结果依赖于前一步骤的试验。
相比列表法，树状图能更清晰展示步骤间的逻辑关系。
幻灯片 9：树状图法注意事项
分步清晰：每一层分支对应试验的一个步骤，顺序不可颠倒。
不重不漏：确保每个步骤的所有可能结果都被列出，分支无重复。
标注明确：每个分支需标注具体结果（如颜色、数字、选项等）。
结果计数：最终结果是所有分支的末端组合，需逐一分支统计。
幻灯片 10：对比列表法与树状图法
方法
适用步骤 / 因素数量
优势场景
典型案例
列表法
两步 / 两个因素
结果对称、步骤简单的试验
掷两枚骰子、两次放回摸球
树状图法
三步及以上 / 多因素
步骤多、不放回或结果依赖的试验
三次摸球、密码组合、赛程安排
幻灯片 11：课堂练习 1 - 两步不放回
一个不透明的盒子中有 2 个白球（白 1、白 2）和 1 个黑球，从中随机摸出 1 个球后不放回，再摸出 1 个球。用树状图法求两次摸到白球的概率。
参考答案：
树状图分支：
第一步：白 1、白 2、黑。
第二步：白 1 后→白 2、黑；白 2 后→白 1、黑；黑后→白 1、白 2。
所有结果：6 种，两次摸白球的结果有（白 1，白 2）、（白 2，白 1），共 2 种。
\(P(两次白球)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。
幻灯片 12：课堂练习 2 - 三步试验
同时抛掷三枚质地均匀的硬币，用树状图法求三枚硬币全部正面朝上的概率。
参考答案：
树状图分三步，每步分支为正、反。
所有结果：（正，正，正）、（正，正，反）、…、（反，反，反），共 8 种。
\(P(全正面)=\frac{1}{8}\)。
幻灯片 13：方法选择技巧
一步试验：优先用直接列举法。
两步试验：结果少用直接列举，结果多用列表法或树状图法。
三步及以上试验：必用树状图法。
判断标准：以 “不重复、不遗漏列出所有结果” 为核心，选择最直观的方法。
幻灯片 14：课堂小结
树状图法：通过分支结构有序呈现多步骤 / 多因素试验的所有可能结果。
核心步骤：确定步骤→绘制分支→标注结果→计数计算。
适用范围：三步及以上操作、多因素或不放回试验。
概率计算：始终遵循\(P(A)=\frac{m}{n}\)，关键是准确确定 m 和 n。
幻灯片 15：作业布置
教材对应练习题：用树状图法解决三次摸球、彩票抽奖等概率问题。
拓展题：某商店有红、黄、绿三种颜色的气球，每种颜色有大小两种型号（大、小）。从商店随机购买两个气球（不放回），用树状图法求购买的两个气球颜色相同的概率。
思考：如何用树状图法解决 “同时抛掷两枚骰子和一枚硬币” 的概率问题？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.2.2用画树状图法求概率
第25章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1)会用画树状图的方法计算简单随机事件发生的概率.
(2)能够根据问题，判断何时选用列表法和画树状图法求概率更方便.
（1）直接列举法：关键在于正确列出试验结果的所有可能性.
列举法：
（2）列表法：
前提条件：
试验每种结果出现的可能性相等.
基本步骤：
①列表；
②确定m、n的值，代入概率计算公式.
适用对象：
两个试验因素或分两步进行的试验.
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们_________________，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=____.则P(A)的取值范围是
__________.
0≤ ≤1
发生的可能性相等
(反，反）
P(正面向上)=
问题1 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
问题2 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
(正，正）
(正，反）
(反，正）
P(正面向上)=
还有别的方法求问题2中的概率吗？
同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
开始
第2枚
第1枚
正
反
正
反
正
反
结果
(反，反）
(正，正）
(正，反）
(反，正）
P(正面向上)=
列树状图求概率
树状图的画法
一个试验
第一个因素
第二个因素
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况；第二个因数中有3种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
则其树形图如图：
n=2×3=6
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
3
例3 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.
甲
乙
丙
A
B
C
D
E
H
I
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母的概率分别是多少？
本题中，A，E，
I是元音字母，B，C，
D，H是辅音字母.
甲
乙
丙
A
B
C
D
E
H
I
甲
乙
丙
A
B
C
D
E
H
I
①本次试验涉及到 个因素，用列表法 (能或不能)列举所有可能出现的结果.
②摸甲口袋的球会出现 种结果，摸乙口袋的球会出现 种结果，摸丙口袋的球会出现 种结果.
分析：
3
不能
2
3
2
如何能不重不漏地列出所有可能出现的结果呢？
当一次试验涉及到三个因素时，列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法.
甲
乙
丙
甲
乙
丙
画树状图法:
显然，一共有 种可能出现的结果.
12
这些结果出现的可能性 (相等/不相等)
相等
A
B
D
E
H
I
C
A
B
C
C
D
D
E
E
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
A
B
C
C
D
D
E
E
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
甲
乙
丙
解：记取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个元音字母分别为事件A、B、C.
P(A)=
P(B)=
P(C)=
A
B
C
C
D
D
E
E
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
H
I
（2）取出的3个小球全是辅音字母的概率是多少？
甲
乙
丙
P(3个辅音)=
用数状图法求概率的基本步骤：
1.定：明确试验的几个步骤及顺序.
2.画：列举每一环节可能产生的结果，得到树状图.
3.数：数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n.
4.算：带入公式P(A)= .
归纳
注意
用列表法或画树状图法求概率的前提：
1.可能出现的结果只有有限个；
2.各种结果出现的可能性大小相等.
思考
列表法和画树状图法的选用：
（1）当一次试验要涉及两个因素(或两个步骤)，且可能出现的结果数目较多时，可用“列表法”；
（2）当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时，应采用“画树状图法”.
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率:
(1)三辆车全部继续直行；
(2)两辆车向右转，一辆车向左转；
(3)至少有两辆车向左转.
练习
【教材P139练习】
解:A，B，C表示三辆车的编号1，2，3分别表示向左转、向右转、直行.画树状图如图所示.
由图可知,共有27种等可能的情况,其中三辆汽车全部直行的情况( A3B3C3)有一种;两辆汽车向右转,一辆汽车向左转有A1B2C2, A2B1C2，A2B2C1三种情况；至少有两辆车向左转有A1B1C1， A1B1C2，A1B1C3，A1B2C1，A1B3C1， A2B1C1， A3B1C1，7种情况.故:(1) ;(2) ;(3) .
知识点1 用画树状图法求两步事件的概率
1.［2024菏泽中考］某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项
活动，甲、乙两名同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动
的概率是( )
C
A. B. C. D.
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2. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功发射.为了
普及航天科学的相关知识，某校计划开展航天讲座，校团委将从“中国
载人航天工程”“探月工程”“北斗卫星导航系统”“高分辨率对地观测系统”
中选择两个主题，则选择“探月工程”和“北斗卫星导航系统”的概率为
( )
B
A. B. C. D.
返回
3.从， ，1，4这四个数中，任取两个不同的数，取到的两个数都
为正数的概率是( )
A
A. B. C. D.
返回
4.小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑
色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红
色围巾的概率是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.［教材习题 变式］一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假
定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是__.
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6.某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参
观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，
且这三种可能性均相同.
（1）嘉淇走到十字道口 向北走的概率为_ _；
（2）补全图②的树状图，并求嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率.
解：补全树状图如图所示.
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中嘉淇经过两个十字道口后
向西参观的结果有3种， 嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率为
.
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树状图
步骤
①关键要弄清楚每一步有几种结果
②在树状图下面对应写着所有的结果
③利用概率公式进行计算
用法
适合有多步（或涉及多个因素）的试验
注意
弄清试验涉及因素个数或试验步骤分几步
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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