资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：25.3 用频率估计概率
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：2025 年 08 月 15 日
幻灯片 2：学习目标
理解随机事件发生的频率与概率的关系。
知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。
能运用频率估计概率的方法解决实际问题。
体会随机性与规律性的统一，感受概率的实际应用价值。
幻灯片 3：复习回顾
概率的定义：对于等可能事件，\(P(A)=\frac{m}{n}\)，其中 n 为总结果数，m 为事件 A 包含的结果数。
已学求概率方法：
直接列举法、列表法、树状图法，适用于结果有限且等可能的试验。
思考：对于结果无限或无法确定所有可能结果的随机事件（如掷图钉针尖朝上），如何求其概率？
幻灯片 4：情境引入 - 掷图钉试验
问题：掷一枚图钉，针尖朝上的概率有多大？
试验特点：图钉落地后只有 “针尖朝上” 和 “针尖朝下” 两种结果，但两种结果发生的可能性不相等，且无法用之前的方法计算概率。
解决思路：通过大量重复试验，观察 “针尖朝上” 出现的频率，以此估计其概率。
幻灯片 5：频率的定义
在 n 次重复试验中，事件 A 发生了 m 次，则事件 A 发生的频率为：\(\text{频率}=\frac{m}{n}\)。
例如：掷图钉 100 次，针尖朝上 65 次，则针尖朝上的频率为\(\frac{65}{100}=0.65\)。
频率是试验后的结果，具有随机性，不同次试验的频率可能不同。
幻灯片 6：频率与概率的关系实验
抛硬币试验数据统计：
试验者
抛掷次数 n
正面朝上次数 m
频率\(\frac{m}{n}\)
德 摩根
2048
1061
0.518
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
规律发现：随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定在 0.5 附近，而硬币正面朝上的概率为 0.5。
幻灯片 7：用频率估计概率的原理
核心结论：在大量重复试验中，随机事件 A 发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为事件 A 发生的概率的估计值。
记作：\(P(A)\approx\text{频率}=\frac{m}{n}\)（n 足够大）。
注意：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
幻灯片 8：适用场景
试验的所有可能结果是无限的（如射中靶心的概率）。
试验的可能结果有限，但各种结果发生的可能性不相等（如掷图钉、产品合格率）。
无法通过理论计算得出概率，只能通过实际试验统计频率。
幻灯片 9：例题 1 - 产品合格率估计
某工厂生产一批零件，随机抽取 100 个零件进行检验，发现有 2 个不合格。估计这批零件的合格率是多少？若这批零件共有 10000 个，估计不合格的零件有多少个？
解：合格率的频率为\(\frac{100 - 2}{100}=0.98\)，所以估计这批零件的合格率为 0.98。
估计不合格的零件数为\(10000×(1 - 0.98)=200\)（个）。
幻灯片 10：例题 2 - 射击命中率估计
某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下表：
射击次数 n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数 m
8
19
44
92
178
455
击中靶心频率\(\frac{m}{n}\)
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
计算表中击中靶心的频率。
估计该射手射击一次击中靶心的概率。
解：随着射击次数增加，频率稳定在 0.9 附近，所以估计概率为 0.9。
幻灯片 11：注意事项
试验条件相同：重复试验时，必须保证试验在相同条件下进行，否则频率无法稳定。
试验次数足够多：次数太少时，频率波动较大，不能准确估计概率。
频率≠概率：频率是具体试验的结果，概率是理论上的稳定值，即使多次试验，频率也可能不等于概率。
结果的随机性：用频率估计的概率是近似值，不同批次试验得到的估计值可能不同。
幻灯片 12：课堂练习 1
某篮球队员在训练中进行投篮练习，每次投篮的结果相互独立，统计了前 50 次投篮的结果，投中 28 次。
计算这次投篮练习中投中的频率。
答案：\(\frac{28}{50}=0.56\)。
估计该队员投篮一次投中的概率。
答案：约为 0.56（若继续增加投篮次数，频率可能稳定在某个值附近）。
幻灯片 13：课堂练习 2
为估计某鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中捞出 100 条鱼做上标记，然后放回鱼塘。过一段时间后，再从鱼塘中捞出 200 条鱼，发现其中有 10 条鱼带有标记。估计该鱼塘中鱼的总数量。
解：设鱼塘中鱼的总数量为 x，标记鱼的频率为\(\frac{10}{200}=0.05\)，可估计\(\frac{100}{x}\approx0.05\)，解得\(x\approx2000\)，所以估计鱼塘中鱼的总数量为 2000 条。
幻灯片 14：方法对比
概率计算方法
适用情况
优点
局限性
列举法 / 列表法 / 树状图法
结果有限且等可能的试验
理论精确，计算简单
不适用于结果无限或非等可能试验
用频率估计概率
结果无限或非等可能的试验
适用范围广，贴近实际
需大量重复试验，结果是估计值
幻灯片 15：课堂小结
频率与概率：频率是\(\frac{m}{n}\)，具有随机性；概率是频率的稳定值，是理论值。
核心方法：大量重复试验中，用频率估计概率，即\(P(A)\approx\frac{m}{n}\)（n 足够大）。
适用场景：结果无限、非等可能或无法理论计算概率的试验。
注意事项：保证相同试验条件，试验次数要足够多。
幻灯片 16：作业布置
教材对应练习题：通过频率估计概率解决抽奖、次品率等实际问题。
实践作业：回家掷一枚硬币 50 次、100 次，记录正面朝上的次数，计算频率，观察频率是否稳定在 0.5 附近。
拓展题：某地区想估计初中生视力不良的概率，应如何设计试验？需要注意哪些问题？
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.3 用频率估计概率
第25章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解随机事件发生的频率会趋于稳定这一规律.
2.结合具体情景掌握如何用频率估计概率.
3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.
1.频数：在实验中，每个对象出现的次数称为频数.
2.频率：所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率.
3.我们学习了那些求概率的方法？
①直接列举法：
②列表法：
③画树状图法：
适用于一次试验可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性相等.
适用于只有两个试验因素或分两步进行的试验.
适用于一次试验涉及三个或更多因素（或步骤）.
4.随机事件概率的计算公式是什么？
P(A)=
抛掷一枚质地均匀的硬币时“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等吗？
相等
这两个随机事件发生的概率是多少？
0.5
这是否意味着抛掷硬币100次时，就会有50次“正面朝上”和50次“反面朝上”呢？不妨用试验进行检验.
推进新课
试验：把全班同学分为10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，记录在下表中.
抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
“正面向上”的次数m
“正面向上” 的频率
23
46
78
0.46
102
123
152
175
201
224
251
0.46
0.52
0.51
0.49
0.51
0.5
0.5
0.5
0.5
根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点.
0.5
1
400
O
100
200
抛掷次数n
300
“正面向上”的频率
500
请同学们根据试验所得的数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
随着抛掷硬币次数的增加，硬币“正面朝上”的频率会在0.5左右摆动，并且摆动幅度越来越小.
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下：
试验者 抛掷次数n “正面向上” 次数m “正面向上”的频率
棣莫弗 2048 1061 0.5181
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
思考
随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？
可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动.一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值.
当试验次数足够大时，一个随机事件出现的频率与它的概率有什么关系？
归纳
在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数足够大，我们就可以用事件A发生的频率去估计概率.
问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
分析：幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计.
　　下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺.
移植总数n 成活数m 成活的频率
10 8 0.800
50 47
270 235 0.870
400 369
750 662
1500 1335 0.890
9000 8073
14000 12628 0.902
0.940
0.923
0.883
0.897
随着移植数的增加，幼树移植成活的频率有什么趋势？
是否能够据此估计出幼树移植成活的概率？
在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率，随着移植数
n越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以
把频率作为成活率的估计值.所以可以估计幼树移植成活的概率为 .
0.9
问题2 某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析：首先要确认损坏的柑橘有多少，可以通过统计“柑橘损坏率”进行确认.
柑橘在运输、储存
中会有损坏，公司必
须估算出可能损坏的
柑橘总数，以便将损
坏的柑橘的成本折算
到没有损坏的柑橘售
价中.
假设 柑橘没有损坏，要获得 5 000 元利润应如
何定价？
成本：2元/kg
总量：10 000kg
利润：5000元
定价：？
解：设每千克柑橘售价为 x 元，则
　10 000x -2×10 000＝5 000．
　　解得　 x ≈ 2.5（元）．
　　因此，出售柑橘时，每千克大约定价 2.5 元可获利润 5 000元．
　　柑橘损坏后，可出售柑橘的重量减少了，为了确保获得5000元利润，定价应如何变化？
　　如何知道柑橘的重量将减少多少？
成本：2元/kg
总量：10 000kg
利润：5000元
定价：？
　　从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．请你帮忙完成下表．
柑橘总质量 n /kg 损坏柑橘质量 m /kg 柑橘损坏的频率
（结果保留小数点后三位）
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15
200 19.42
250 24.25
300 30.93
350 35.32
400 39.24
450 44.57
500 51.54
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
柑橘损坏的概率是 .(保留一位小数)
0.1
柑橘完好的概率是 .
0.9
　　解：根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为
　　 10 000×0.9＝9 000（kg）．
完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘售价为 x 元，则
　　 (x -2.22)×9000＝5 000．
　　解得 x ≈ 2.8（元）．
　　因此，出售柑橘时，每千克定价大约 2.8 元可获利润 5 000元．
1. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果。
【教材P144练习 第1题】
投篮次数n
投中次数n
投中频率
50
28
0.56
100
60
0.60
150
78
0.52
200
104
0.52
250
123
0.49
300
152
0.51
500
251
0.50
(1)计算投中频率(结果保留小数点后两位)；
(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数
点后一位)？
投中的概率约是0.5.
2. 用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的
试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率.
【教材P144练习 第2题】
解:掷一次骰子时“点数是1”的概率是 .
3.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示:
【教材P147练习】
一般地，1000 kg种子中大约有多少是不能发芽的？
发芽概率估计为0.9，1000kg种子中大约有100kg不能发芽.
0.940
0.935
0.845
0.940
0.870
0.883
0.891
0.898
0.904
0.901
知识点1 频率与概率的关系
1.在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为 ,该事
件的概率为 .下列说法正确的是( )
D
A.试验次数越多， 越大
B.与 都可能发生变化
C.试验次数越多，越接近于
D.当试验次数很大时，在 附近摆动，并趋于稳定
返回
2.某人在做抛掷硬币试验时，抛掷多次，若正面朝上的频率是 ，则下
列说法正确的是( )
D
A. 一定等于0.5
B. 一定不等于0.5
C.多抛一次， 更接近0.5
D.随着抛掷次数逐渐增加， 稳定在0.5附近
返回
知识点2 用频率估计概率
3.通过大量的掷图钉试验，发现钉尖朝上的频率稳定在0.75附近，则可
估计钉尖朝上的概率为( )
C
A. B. C. D.
返回
4.［2025保定期中］某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 1 000
射中九环以上的次数 18 68 86 168 332 830
射中九环以上的频率 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率
是( )
A
A.0.83 B.0.85 C.0.86 D.0.90
返回
5.行道树是指种在道路两旁及分车
带，给车辆和行人遮阴并构成街景
的树种.国槐是我市常见的行道树品
种.如图是一批国槐树苗移植成活频
率的统计图，由此可估计这种树苗
移植成活的概率是( )
B
A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80
返回

频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率，但概率与频率无关
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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