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幻灯片 1：封面
课程名称：第 22 章 二次函数 章末复习
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习目标
掌握二次函数的定义及三种表达式，能根据条件选择合适的形式表示二次函数。
理解二次函数的图像是抛物线，熟练掌握其开口方向、顶点坐标、对称轴等性质。
能运用二次函数的性质解决最值问题，结合图像分析函数的增减性。
明确二次函数与一元二次方程的关系，会利用函数图像解决方程相关问题。
学会用二次函数知识解决实际生活中的最值、面积等应用问题。
幻灯片 3：知识框架
二次函数的定义：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数）的函数。
表达式形式：
一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）。
顶点式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)），其中\((h,k)\)为顶点坐标。
交点式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a≠0\)），其中\(x_1\)、\(x_2\)为函数与\(x\)轴交点的横坐标。
图像与性质：抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。
与一元二次方程的关系：函数图像与\(x\)轴交点和方程根的对应关系。
实际应用：利用二次函数求最值解决实际问题。
幻灯片 4：二次函数的定义详解
定义核心：自变量的最高次数是 2，且二次项系数\(a≠0\)。
注意事项：
若\(a=0\)，则函数变为一次函数\(y=bx+c\)（\(b≠0\)）或常数函数（\(b=0\)）。
表达式必须是整式，分母中不含自变量，根号下不含自变量。
举例判断：
判断\(y=2x^2-3x+1\)，\(y=(x+1)^2-x^2\)，\(y=\frac{1}{x^2}+x\)是否为二次函数。
分析：第一个是；第二个化简后为\(y=2x+1\)，是一次函数，不是；第三个是分式函数，不是。
幻灯片 5：二次函数的表达式及转化
三种表达式的特点：
一般式：适用于已知任意三点坐标求函数表达式。
顶点式：适用于已知顶点坐标或最值求表达式，形式简洁，易分析顶点性质。
交点式：适用于已知函数与\(x\)轴交点坐标求表达式。
表达式转化：
一般式化为顶点式：通过配方实现，\(y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\)，顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。
交点式化为一般式：展开后合并同类项，\(y=a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\)。
幻灯片 6：二次函数的图像与基本性质
图像形状：抛物线，是轴对称图形。
开口方向：
当\(a>0\)时，抛物线开口向上。
当\(a<0\)时，抛物线开口向下。
对称轴：直线\(x=-\frac{b}{2a}\)（一般式）或\(x=h\)（顶点式）。
顶点坐标：\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)（一般式）或\((h,k)\)（顶点式）。
最值：
当\(a>0\)时，函数有最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)，在顶点处取得。
当\(a<0\)时，函数有最大值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)，在顶点处取得。
幻灯片 7：二次函数的增减性
当\(a>0\)时：
在对称轴左侧（\(x<-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。
在对称轴右侧（\(x>-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。
当\(a<0\)时：
在对称轴左侧（\(x<-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而增大。
在对称轴右侧（\(x>-\frac{b}{2a}\)），\(y\)随\(x\)的增大而减小。
示例：分析函数\(y=2x^2-4x+1\)的增减性，先求对称轴\(x=-\frac{-4}{2×2}=1\)，\(a=2>0\)，所以当\(x<1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。
幻灯片 8：二次函数图像的平移规律
平移原则：“上加下减常数项，左加右减自变量”。
具体规律：
将抛物线\(y=ax^2\)向上平移\(k\)个单位得\(y=ax^2+k\)；向下平移\(k\)个单位得\(y=ax^2-k\)。
将抛物线\(y=ax^2\)向左平移\(h\)个单位得\(y=a(x+h)^2\)；向右平移\(h\)个单位得\(y=a(x-h)^2\)。
示例：抛物线\(y=3x^2\)先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到的抛物线表达式为\(y=3(x-2)^2+1\)。
幻灯片 9：二次函数与一元二次方程的关系
交点与根的对应：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像与\(x\)轴的交点的横坐标\(x_1\)、\(x_2\)，就是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的两个根。
判别式的作用：
当\(\Delta=b^2-4ac>0\)时，函数图像与\(x\)轴有两个不同交点，方程有两个不相等的实数根。
当\(\Delta=b^2-4ac=0\)时，函数图像与\(x\)轴有一个交点（顶点在\(x\)轴上），方程有两个相等的实数根。
当\(\Delta=b^2-4ac<0\)时，函数图像与\(x\)轴无交点，方程没有实数根。
示例：函数\(y=x^2-2x-3\)与\(x\)轴交点坐标，令\(y=0\)，即\(x^2-2x-3=0\)，解得\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)，所以交点坐标为\((-1,0)\)和\((3,0)\)。
幻灯片 10：二次函数表达式的求法
已知三点坐标求表达式（一般式）：
例题：已知二次函数图像经过\((0,1)\)、\((1,3)\)、\((2,7)\)三点，求表达式。
解：设表达式为\(y=ax^2+bx+c\)，代入三点得\(\begin{cases}c=1\\a+b+c=3\\4a+2b+c=7\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}\)，表达式为\(y=x^2+x+1\)。
已知顶点和一点求表达式（顶点式）：
例题：已知二次函数顶点为\((1,2)\)，且经过点\((2,4)\)，求表达式。
解：设表达式为\(y=a(x-1)^2+2\)，代入点\((2,4)\)得\(a(2-1)^2+2=4\)，\(a=2\)，表达式为\(y=2(x-1)^2+2=2x^2-4x+4\)。
幻灯片 11：二次函数的最值问题
理论最值：根据二次函数性质，顶点纵坐标即为最值，\(a>0\)时取最小值，\(a<0\)时取最大值。
实际问题中的最值：需结合自变量的取值范围分析，最值可能在顶点处或端点处取得。
例题：求函数\(y=-x^2+4x-1\)在\(x∈[0,3]\)上的最大值和最小值。
解：对称轴为\(x=2\)，\(a=-1<0\)，顶点坐标\((2,3)\)。当\(x=2\)时，\(y_{max}=3\)；当\(x=0\)时，\(y=-1\)；当\(x=3\)时，\(y=2\)，所以最小值为\(-1\)。
幻灯片 12：二次函数的实际应用 - 面积问题
解题步骤：设未知数表示相关量→列出面积的二次函数表达式→根据函数性质求最值。
例题：用长为 20m 的篱笆围成一个矩形菜园，怎样围才能使菜园面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形的长为\(x\)m，则宽为\((10 - x)\)m，面积\(S=x(10 - x)=-x^2+10x\)。对称轴\(x=5\)，\(a=-1<0\)，当\(x=5\)时，\(S_{max}=-25 + 50=25\)（\(m^2\)），此时长和宽都为 5m，即围成正方形时面积最大。
幻灯片 13：二次函数的实际应用 - 利润问题
基本关系：总利润 = 单件利润 × 销售量，结合价格变化对销量的影响列出函数表达式。
例题：某商品每件成本为 10 元，当售价为 15 元时，每天可售出 200 件。售价每提高 1 元，每天销量减少 10 件。设售价为\(x\)元，每天利润为\(y\)元，求售价为多少时利润最大？最大利润是多少？
解：单件利润为\((x - 10)\)元，销量为\(200 - 10(x - 15)=350 - 10x\)件，\(y=(x - 10)(350 - 10x)=-10x^2+450x - 3500\)。对称轴\(x=-\frac{450}{2×(-10)}=22.5\)，\(a=-10<0\)，当售价为 22.5 元时，最大利润\(y=-10×(22.5)^2 + 450×22.5 - 3500=1562.5\)元。
幻灯片 14：典型例题 1 - 图像性质综合
已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像经过点\((-1,0)\)、\((3,0)\)，且顶点纵坐标为 4。
求该二次函数的表达式。
解：由交点式设\(y=a(x + 1)(x - 3)\)，对称轴为\(x=1\)，顶点坐标\((1,4)\)，代入得\(a(1 + 1)(1 - 3)=4\)，\(a(2)(-2)=4\)，\(a=-1\)，表达式为\(y=-(x + 1)(x - 3)=-x^2+2x + 3\)。
当\(x\)取何值时，\(y\)随\(x\)的增大而减小？
解：\(a=-1<0\)，对称轴\(x=1\)，所以当\(x>1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。
幻灯片 15：典型例题 2 - 函数与方程综合
已知二次函数\(y=x^2-2mx + m^2-1\)。
求证：该函数图像与\(x\)轴总有两个交点。
解：\(\Delta=(-2m)^2-4×1×(m^2 - 1)=4m^2-4m^2 + 4=4>0\)，所以与\(x\)轴总有两个交点。
设函数图像与\(x\)轴交点为\(A\)、\(B\)，顶点为\(C\)，求\(\triangle ABC\)的面积。
解：令\(y=0\)，\(x^2-2mx + m^2-1=0\)，解得\(x_1=m - 1\)，\(x_2=m + 1\)，\(AB=(m + 1)-(m - 1)=2\)。顶点纵坐标为\(\frac{4×1×(m^2 - 1)-(-2m)^2}{4×1}=\frac{4m^2 - 4 - 4m^2}{4}=-1\)，面积为\(\frac{1}{2}×2×| - 1|=1\)。
幻灯片 16：课堂小结
知识梳理：二次函数的定义、三种表达式及转化、图像性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值）、与一元二次方程的关系、实际应用类型。
解题要点：
根据条件灵活选择函数表达式形式。
结合图像分析函数性质，解决最值问题。
实际应用中准确列出函数关系式，注意自变量取值范围。
幻灯片 17：作业布置
教材对应复习题，涵盖函数表达式求解、性质分析、与方程综合及实际应用题型。
拓展题：某抛物线形拱桥，当水面宽为 10m 时，水面离拱顶 4m。若水面上升 1m，水面宽度变为多少？（结果保留根号）
整理本章错题本，重点分析在表达式转化、最值求解及实际应用中出现的错误。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第22章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图象
和
性质
二次函数
定义
解析式
y = ax2
y = ax2+k
y = a(x－h) 2
顶点式：y = a(x－h)2+k(a≠0)
一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）
开口
对称轴
增减性
最值
应用
交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)
实际应用
二次函数与一元二次方程
面积
利润
抛物线型问题（如拱桥）
顶点坐标
先构建二次函数模型，
再利用图象性质求解
抛物线的平移关系及变化规律
一般地，形如y=ax +bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
1.二次函数的定义
温馨提示：
（1）函数解析式是整式；
（2）化简整理后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0，即a≠0.
考点精练
1.下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A.y=x3+2x2+3 B. C.y=x2+x D.y=mx2+x+1
2.若函数y=(m-1)x2+3x+1是二次函数，则有（ ）
A. m≠0 B. m≠1 C. x≠0 D. x≠1
C
B
2.二次函数的图象和性质
y=ax2 a>0 a<0
图象
位置开口方向 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方
对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0 顶点 最值 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性 当x<0时, y随着x的增大而减小; 当x>0时, y随着x的增大而增大. 当x<0时, y随着x的增大而增大;
当x>0时, y随着x的增大而减小.
y=ax2+k a>0 a<0
图象 k>0
k<0
开口方向
对称轴 顶点坐标 函数的增减性
最值
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
向上
向下
y轴（直线x=0）
（0，k）
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
2.二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最小值=0
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,0）
x=h时，y最大值=0
2.二次函数的图象和性质
y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
2.二次函数的图象和性质
3.二次函数y=-x2-2x+3的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
考点精练
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
y=ax2
y=a(x-h)2
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
y=a(x-h)2+k
向上(k>0)或向下(k<0)平移
| k |个单位长度
y=ax2+k
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度
向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
向右(h>0)或向左(h<0)平移| h |个单位长度，
再向上(k>0)或向下(k<0)平移| k |个单位长度
简记为：
上下平移，括号外上加下减；
左右平移，括号内左加右减.
二次项系数a不变.
2.二次函数的图象和性质
考点精练
4.在平面直角坐标系中，作抛物线y=2x2关于x轴的对称变换，将所得抛物线再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A.y=2(x-1)2-2 B.y=2(x+1)2-2
C.y=-2(x-1)2-2 D.y=-2(x+1)2-2
C
2.二次函数的图象和性质
y=ax2+bx+c a＞0 a＜0
开口方向
顶点 对称轴 增减性
最值
向上
向下
当 时
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当 时
当 时
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
当 时
当 时
当 时
2.二次函数的图象和性质
①已知抛物线上的三点，通常设解析式为______________；
②已知抛物线顶点坐标(h, k)，通常设抛物线解析式为______
_______________；
③已知抛物线与x轴的两个交点(x1, 0)、 (x2, 0)，通常设解析式为_____________________.
y=ax2+bx+c (a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
考点精练
5.抛物线y=x2-4x-3的顶点坐标为（ ）
A.(2, -7) B.(2, 7) C.(-2, -7) D.(-2, 7)
A
6.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①abc<0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0；
④a-b≥m(am+b)(m为实数)；⑤4ac-b2<0.
其中错误的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
A
3.二次函数与一元二次方程
方程角度
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解
抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a>0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
xx2
x1有一个交点
x≠x1或x≠x2
无解
无交点
全体实数
无解
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
b2-4ac的取值 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
a<0 y=ac2+bx+c(a≠0)与x轴的交点情况
不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集
不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集
有两个交点
有一个交点
无交点
x1无解
无解
xx2
x≠x1或x≠x2
全体实数
考点精练
7.若抛物线y=(k-1)·x2-x+1与x轴有公共点，则k的取值范围是___________.　
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表：
利用二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x的取值范围是_________. 　
x -2 -1 0 1 2
y 0 4 6 6 4
且k≠1
x<-2或x>3
4.实际问题与二次函数
实际问题
二次函数
实际问题
的答案
利用二次函数的图象与性质求解
抽象
检验
目标
建立适当的直角坐标系
根据条件确定已知点坐标
待定系数法求抛物线解析式
9.如图，用一根60cm的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完，则矩形框架ABCD面积的最大值为_______cm2.　
考点精练
150
10.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售，其销售单价不低于成本.按照物价部门规定，销售利润率不得高于90％ .市场调研发现，在一段时间内，每天的销售数量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)符合一次函数关系，其图象如图所示.　
考点精练
（1）根据图象，直接写出y关于x的函数解析式.
y=-2x+260
（2）若该公司想要每天获得3000元的销售利润，则销售单价应定为多少元
解：由题意，得(x-50)( -2x+260)=3000.
整理，得x2-180x+8000=0.
解得x1=80，x2=100.
因为x≤50×(1+90％)=95，
所以x=100不合题意，舍去.故x=80.
答:销售单价应定为80元.
（3）销售单价为多少元时，每天获得的销售利润最大 最大利润是多少元
解：设每天获得的销售利润为w元.由题
意，得w=(x-50)(-2x+260)=-2x2+360x-13000=-2(x-90)2+3200.
因为-2<0，所以当x=90时，w最大，由
（2）知这个定价符合物价部门的规定，
此时w最大值=3200.
答:销售单价为90元时，每天获得的销售利润最大，最大利润是3200元.
核心考点巩固
考点1 二次函数的定义
1.下列函数中，一定是 的二次函数的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 若是关于 的二次函数，则
该函数的最小值为_____.
返回
考点2 二次函数的图象与性质
3.已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
C
A.图象的对称轴为直线 B.图象的顶点坐标为
C.函数的最大值是 D.函数的最小值是
返回
4.［2025张家口宣化区期中］抛物线 可以由抛物线
平移得到，则下列平移过程正确的是( )
C
A.先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D.先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
返回
5.抛物线经过，，三点，则 ，
， 的大小关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.［2025石家庄平山月考］已知抛物线 开口向下，且
过， 两点，那么抛物线的对称轴( )
C
A.只能是直线
B.可能是 轴
C.可能在轴右侧且在直线 的左侧
D.可能在轴左侧且在直线 的右侧
返回
（第7题）
7.［2024青岛中考］二次函数 的图
象如图所示，对称轴是直线 ，则过点
和点 的直线一定
不经过( )
C
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
考点3 求二次函数的解析式
8.［2025衡水校级月考］如图，抛物线与轴交于点 ，
与轴交于，两点， ，则该抛物线的解析式是_____
___________.
（第8题）
返回
9.［2024扬州中考］如图，已知二次函数
的图象与轴交于 ，
两点.
（1）求， 的值；
解： 二次函数的图象与 轴交于
， 两点，
解得
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点 的坐标.
解：由（1）知二次函数的解析式为 ，
，
.
设点的纵坐标为，，， .
当时， ，方程无实数解，不符合题
意，舍去；
当 时，
解得， .
点的坐标为或 .
返回
考点4 二次函数与方程、不等式的关系
10.已知关于的一元二次方程的根为, ，
则关于的不等式 的解集为( )
A
A.或 B.
C. D.
返回
11.如图，抛物线与直线 的两个交点坐标分别为
，，则关于的方程 的解为__________
_______.
，
返回
考点5 二次函数的应用
12.［2024济宁中考］某商场以每件80元的价格购进一
种商品，在一段时间内，销售量（件）与销售单价
（元）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求这段时间内与 之间的函数解析式；
解：设这段时间内与之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数图象经过点， ，
解得
这段时间内与之间的函数解析式为 .
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于
220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利
润是多少？
解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，
， ，
即
解得 .
设商场获得的利润为 元，则
.
， 二次函数的图象开口向下，
当时，随的增大而增大， 当时， 有最大
值，即当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是
（元）.
返回
13.［2024江西中考］如图，一小球从斜坡上的 点以一定的方向弹出，
球的飞行路线可以用抛物线 刻画，斜坡可以用直
线刻画，小球飞行的水平距离（米）与小球飞行的高度 （米）
的变化规律如下表：
米 0 1 2 4 5 6 7 …
米 0 6 8 …
（1）①___， ___；
6
②小球的落点是，求点 的坐标.
[答案] 联立
解得或
点的坐标是 .
（2）小球飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系： .
①小球飞行的最大高度为_ ____________米；
②求 的值.
[答案] ，
则，解得或. 对称轴为直线 ，
.
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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