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幻灯片 1：封面
课程名称：第 23 章 旋转 章末复习
授课人：[您的姓名]
授课班级：[具体班级]
日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习目标
理解旋转的定义及相关概念，能准确描述旋转现象的要素。
掌握旋转的基本性质，能运用性质解决线段长度、角度大小等计算问题。
明确中心对称和中心对称图形的概念，掌握其性质及判定方法。
会运用旋转进行图案设计，能解决与旋转相关的综合几何问题。
体会旋转在现实生活中的应用，提升空间想象和几何推理能力。
幻灯片 3：知识框架
旋转的基本概念：定义、旋转中心、旋转角、对应点、对应线段、对应角。
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应线段相等，对应角相等；旋转不改变图形的形状和大小。
中心对称：定义、性质、判定；中心对称与中心对称图形的区别与联系。
关于原点对称的点的坐标：点\((x,y)\)关于原点对称的点的坐标为\((-x,-y)\)。
旋转的应用：图案设计、几何证明与计算。
幻灯片 4：旋转的定义及相关概念
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点\(O\)转动一个角度，叫做图形的旋转，点\(O\)叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
相关概念：
对应点：图形上的点经过旋转后得到的点。
对应线段：原图形中的线段经过旋转后得到的线段。
对应角：原图形中的角经过旋转后得到的角。
要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。
示例：如图，\(\triangle ABC\)绕点\(O\)顺时针旋转\(60°\)得到\(\triangle A'B'C'\)，则旋转中心是点\(O\)，旋转角是\(60°\)，点\(A\)的对应点是\(A'\)，线段\(AB\)的对应线段是\(A'B'\)，\(\angle B\)的对应角是\(\angle B'\)。
幻灯片 5：旋转的基本性质
性质 1：对应点到旋转中心的距离相等。即若点\(P\)旋转后得到点\(P'\)，则\(OP=OP'\)。
性质 2：对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。即\(\angle POP'\)等于旋转角。
性质 3：对应线段相等，对应角相等。即旋转前后的图形全等，\(AB=A'B'\)，\(\angle A=\angle A'\)。
性质 4：旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
示例：在旋转图形中，已知旋转中心为\(O\)，点\(A\)旋转后到点\(A'\)，\(OA=5cm\)，旋转角为\(60°\)，则\(OA'=5cm\)，\(\angle AOA'=60°\)。
幻灯片 6：旋转性质的应用 - 计算与证明
例题 1：如图，将\(\triangle AOB\)绕点\(O\)按逆时针方向旋转\(45°\)后得到\(\triangle A'OB'\)，若\(\angle AOB=15°\)，求\(\angle AOB'\)的度数。
解：由旋转性质知\(\angle AOA'=45°\)，\(\angle A'OB'=\angle AOB=15°\)，所以\(\angle AOB'=\angle AOA'+\angle A'OB'=45° + 15°=60°\)。
例题 2：如图，\(\triangle ABC\)绕点\(C\)顺时针旋转得到\(\triangle DEC\)，若\(AC=6\)，\(BC=4\)，求\(BE\)的长。
解：由旋转性质知\(CD=AC=6\)，\(CE=BC=4\)，所以\(BE=CE - BC\)？ （修正：应为\(BE=CD + DE - BC\)？ 正确分析：\(BE=CE + BC\)错误，实际\(BE=CD - BC\)不成立，正确应为\(BE=CE\)？ 重新分析：\(\triangle ABC\)旋转得到\(\triangle DEC\)，则\(BC=EC=4\)，\(AC=DC=6\)，若\(B\)、\(C\)、\(E\)共线，则\(BE=BC + CE=4 + 4=8\)？ 需根据图形，正确结论应为\(BE=8\)）。
幻灯片 7：中心对称的定义与性质
定义：把一个图形绕着某一点旋转\(180°\)，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
中心对称的两个图形是全等图形。
示例：若\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)关于点\(O\)中心对称，则\(OA=OA'\)，\(OB=OB'\)，\(OC=OC'\)，且\(\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'\)。
幻灯片 8：中心对称图形的定义与常见图形
定义：把一个图形绕着某一点旋转\(180°\)，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。
中心对称与中心对称图形的区别：
中心对称是指两个图形的关系。
中心对称图形是指一个图形本身具有的性质。
举例判断：判断下列图形是否为中心对称图形：等边三角形（不是）、平行四边形（是）、正五边形（不是）、圆（是）。
幻灯片 9：关于原点对称的点的坐标
规律：在平面直角坐标系中，点\((x,y)\)关于原点对称的点的坐标为\((-x,-y)\)。
示例：
点\((3,2)\)关于原点对称的点的坐标是\((-3,-2)\)。
点\((-1,-4)\)关于原点对称的点的坐标是\((1,4)\)。
应用：已知点\(A(a,3)\)与点\(B(-4,b)\)关于原点对称，则\(a=4\)，\(b=-3\)。
幻灯片 10：旋转作图的步骤
确定旋转要素：明确旋转中心、旋转方向和旋转角。
找出关键点：在原图形上找出能确定图形形状和大小的关键点。
作出对应点：分别作出各个关键点绕旋转中心按指定方向和角度旋转后的对应点。
连接对应点：按原图形的连接顺序，连接各对应点，得到旋转后的图形。
示例：已知\(\triangle ABC\)和旋转中心\(O\)，将\(\triangle ABC\)绕点\(O\)顺时针旋转\(90°\)，作出旋转后的图形。
幻灯片 11：旋转在图案设计中的应用
设计思路：以基本图形为基础，通过多次旋转（改变旋转中心、旋转角）得到复杂图案。
设计步骤：
选择基本图形（如线段、三角形、多边形等）。
确定旋转中心和旋转角。
依次旋转基本图形，得到组合图案。
示例：利用一个等边三角形，以其中心为旋转中心，分别旋转\(60°\)、\(120°\)、\(180°\)、\(240°\)、\(300°\)，得到一个对称美观的图案。
幻灯片 12：典型例题 1 - 旋转性质综合应用
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB=90°\)，\(\angle A=30°\)，\(BC=2\)，将\(\triangle ABC\)绕点\(C\)顺时针旋转\(60°\)得到\(\triangle DEC\)，连接\(AD\)。求\(AD\)的长。
解：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle A=30°\)，\(BC=2\)，所以\(AB=4\)，\(AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{16 - 4}=2\sqrt{3}\)。由旋转性质知\(CD=AC=2\sqrt{3}\)，\(\angle ACD=60°\)，所以\(\triangle ACD\)是等边三角形，\(AD=AC=2\sqrt{3}\)。
幻灯片 13：典型例题 2 - 中心对称综合应用
已知四边形\(ABCD\)是中心对称图形，对角线\(AC\)和\(BD\)交于点\(O\)，求证：四边形\(ABCD\)是平行四边形。
证明：因为四边形\(ABCD\)是中心对称图形，对称中心是点\(O\)，所以点\(A\)与点\(C\)关于\(O\)对称，点\(B\)与点\(D\)关于\(O\)对称，所以\(OA=OC\)，\(OB=OD\)，因此四边形\(ABCD\)是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
幻灯片 14：典型例题 3 - 旋转与几何证明
如图，点\(P\)是正方形\(ABCD\)内一点，将\(\triangle ABP\)绕点\(B\)顺时针旋转\(90°\)得到\(\triangle CBP'\)。求证：\(\triangle PBP'\)是等腰直角三角形。
证明：由旋转性质知\(BP=BP'\)，旋转角\(\angle PBP'=90°\)，所以\(\triangle PBP'\)是等腰直角三角形。
幻灯片 15：易混概念辨析
旋转与平移的区别：
旋转是绕某一点转动一定角度，图形方向改变。
平移是沿某一方向移动一定距离，图形方向不变。
中心对称图形与轴对称图形的区别：
中心对称图形是绕某点旋转\(180°\)后与自身重合。
轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁部分重合。
旋转角与对应角的区别：
旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角。
对应角是旋转前后图形中对应的角，与旋转角不一定相等。
幻灯片 16：课堂小结
知识梳理：旋转的定义、性质；中心对称及中心对称图形的定义、性质；关于原点对称的点的坐标规律；旋转的作图与应用。
解题要点：
运用旋转性质时，抓住 “对应点到旋转中心距离相等”“对应点连线夹角等于旋转角”。
中心对称问题中，利用 “对称点连线被对称中心平分” 转化线段关系。
旋转作图需准确确定关键点的对应点。
幻灯片 17：作业布置
教材对应复习题，涵盖旋转性质应用、中心对称判断、坐标对称及综合证明题型。
拓展题：如图，在等边三角形\(ABC\)内有一点\(P\)，\(PA=3\)，\(PB=4\)，\(PC=5\)，将\(\triangle APB\)绕点\(A\)逆时针旋转\(60°\)得到\(\triangle AP'C\)，求\(\angle AP'C\)的度数。
动手操作：设计一个以旋转为主要变换的图案，并说明设计思路。
2025-2026学年人教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第23章 旋转
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
知识结构
定
找
旋
连
性质
经过对称中心的直线把原图形面积平分
旋转
图形的旋转
中心对称
旋转的概念
基本性质
旋转作图
中心对称
中心对称图形
旋转中心
旋转方向
旋转角
①旋转前后的图形全等
②对应点到旋转中心的距离相等
③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
定义
性质
旋转180°
对称中心是对称点连线段的中点
知识梳理
旋转及其性质
1.旋转的定义：在一个平面图形绕平面内
某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.
2.旋转三要素：________、________、______.
3.旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离______.
②对应点与旋转中心所连线段的夹角______旋转角.
③旋转前、后的图形______.
4.旋转作图：找—连—转—截—作.
旋转中心
旋转方向
旋转角
相等
等于
全等
O
中心对称及其性质
1. 什么是中心对称？
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个关于这个点对称或中心对称.
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所______.
②中心对称的两个图形是______图形.
2. 中心对称的两个图形具有哪些性质？
重合
平分
全等
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
中心对称图形及其性质
1. 什么是中心对称图形？
2. 中心对称图形具有哪些性质？
①中心对称图形上的对称点连线都经过__________，且被__________平分.
②过对称中心的直线将中心对称图形分成______的两部分.
对称中心
全等
对称中心
中心对称和中心对称图形的区别：
名称 中心对称 中心对称图形
图形
区别 个数 两个图形 一个图形
属性 两个图形的位置关系 具有某种性质的一个图形
对称点 在两个图形上 在一个图形上
对称中心 在两个图形的外部、内部或图形上 在图形上或其内部
关于原点对称的点的坐标
关于原点对称的点的坐标关系：
横坐标、纵坐标的符号相反
C(-x，-y)
P(x，y)
关于原点对称
A(x，-y)
P(x，y)
关于x轴对称
B(-x，y)
P(x，y)
关于y轴对称
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
O
x
P（-3，2）
B（3，2 ）
y
A（-3,- 2 ）
C（3,- 2 ）
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
巩固提升
1.在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形.下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心.
【选自教材P76复习题23 第3题】
解：除第1个外，其他都是中心对称图形.对称中心O如图所示.
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
B
不是中心对称图形
不是轴对称图形
不是轴对称图形
3. 如图，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD. 请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由.
A
B
C
F
E
D
【选自教材P77复习题23 第7题】
A
B
C
F
E
D
O
P
解：如图所示，连接BF，AE交于点O，连接BD，EC交于点P，连接OP，则直线OP即为所求.
理由：矩形和菱形都是中心对称图形，过对称中心的直线能把它们分成全等的两部分，这两部分面积相等.
4. 若点 P(m-1，5)与点 Q(3，2-n)关于原点对称，则 m+n 的值是( )
C
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
5. 在平面直角坐标系中，点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在( )
D
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点О顺时针旋转，每次旋转至以x轴或y轴为图形的对称轴时停止，则第70次旋转结束时，点D的坐标为( )
D
A. (10，3) B. (-3，10)
C. (10，-3) D. (3，-10)
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2+2x-1 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是________.
(1，-3)
8. 如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点 B 的对应点 D 恰好落在边 BC 上时，CD 的长为( )
A
A. 1.6
B. 1.8
C. 2
D. 2.6
解题策略
利用旋转的性质解决问题时， 要注意以下三点：
(1)明确旋转中的“变”(图形的位置)与“不变” (图形的形状、大小)；
(2)找准旋转前后的“对应关系”，正确判断旋转前后图形的对应点、对应角、对应线段以及旋转角；
(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
9. 如图，已知等边三角形ABC的边长为4，P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，D是边AC的中点，连接DQ，则DQ的最小值是_________.
核心考点巩固
考点1 旋转的定义和性质
1.下列选项中，属于旋转的是( )
D
A.电梯升降的过程 B.火箭升空的过程
C.雨滴下落的过程 D.转盘转动的过程
返回
2.［2025廊坊期中］如图，教室内的地面上有个倾斜的簸箕，手柄 与
箕面垂直，手柄与水平地面的夹角 ，小明将它扶起
（将簸箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点 旋转的度数
为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［2024无锡中考］如图，在 中，
， ，将绕点 逆时针旋转
得到.当落在上时， 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2025邢台期中］如图，在正方形网格中，将
绕某一点旋转某一角度得到 ，则旋转中
心可能是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
（第5题）
5.［2024湖北中考］如图，点的坐标是 ，
将线段绕点顺时针旋转 ，点 的对应点的
坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，在中， ，.将绕点 逆时针旋
转得到，点的对应点落在边上，，连接 .则
的长为_____.
（第6题）
返回
7.［2025保定校级期末］如图，网格中每个小正
方形的边长均为1， 绕着一点按顺时针方向
旋转得到，，，分别为点，， 的
对应点，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上.
（1）______，旋转中心为____（填“ ”或“
”），旋转角为____ ；
90
（2）在图中补全 .
解：如图所示.
返回
8.如图，在中，，若是 边上任意
一点，将绕点逆时针旋转得到，点
的对应点为，连接 .
（1）求证： ；
证明： ，
.
将绕点逆时针旋转得到， ，
.
（2）若，求 的度数.
解： ，
.
，， ，
.
将绕点逆时针旋转得到 ，
， ，
，
是等边三角形，
.
返回
考点2 中心对称和中心对称图形
9.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
10.如图，与 成中心对称，则对称中心是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
11.［2025石家庄期中］如图， 与
关于点中心对称，连接， ，
.下列结论中正确的有( )
D
①点与点 是对应点；
；
③线段与关于点 成中心对称.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
返回
（第12题）
12.如图，点是菱形的对称中心，连接 ，
，，，为过点 的一条直线，点
，分别在， 上，则图中阴影部分的面积为
( )
D
A.24 B.16 C.18 D.12
返回
13.如图，在等边三角形中，为的中点，， 与
关于点中心对称，连接，则 的长为______.
（第13题）
返回
考点3 关于原点对称的点的坐标的特征
14.如图是由5个全等的正方形组成的图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它是轴对称图形但不是中心对称图形.
解：如图①所示.（答案不唯一）
①
（2）在图案②中添加1个正方形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形.
解：如图②所示.
②
（3）在图案③中添加1个正方形，使它既是轴对称图形，又是中心对称
图形.
解：如图③所示.
③
返回
15.［2024扬州中考］在平面直角坐标系中，点 关于坐标原点的
对称点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
返回
16.若点在第三象限，则点 关于原点的对称点
在( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
17.在平面直角坐标系中，有，，，
四点，其中关于原点对称的两点为__________.
点和点
返回
18.［2025沧州期中］如图，在平面直角坐标系
中，的三个顶点分别是 ，
， .
（1）关于 轴对称的图形，记为
，画出，并写出点，
的坐标；
解：如图， 即为所求.
， .
（2）请画出与关于原点中心对称的 ；
解：如图， 即为所求.
（3）在轴上找一点，使得点到点， 的距离之和最小，并写出点
的坐标.
解：如图，点即为所求， .
返回
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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