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红岭教育集团2025—2026学年度第一学期
九年级期中考试 数学试卷
(说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分)
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分 别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体 是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它从正面看是( )
正面
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A.
B.
C.
D.
2.下列属于一元二次方程的是()
A.x -y=0 B. C.x +5x=0 D.x -4x =3
3.如图所示的是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，
且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A,B,C 都在竖格线上.若线段AB=3.2cm, 则线段BC的 长 为 ( )
A.6.4 cm B.8cm C.9.6cm D.12.8cm
4.用配方法解一元二次方程x -4x-5=0 的过程中，配方正确的是( )
A.(x+2) =1 B.(x-2) =1 C.(x+2) =9 D.(x-2) =9
5. 如图，在△ABC中，点E,D,F 分别在边AB,BC,CA 上，且DE//CA,DF//BA. 下列四 个判断中，不正确的是( )
A. 四边形AEDF是平行四边形
B. 如果∠BAC=90°, 那么四边形AEDF是矩形
C. 如果AD平分∠BAC, 那么四边形AEDF 是菱形
D. 如果AD⊥BC且 AB=AC, 那么四边形AEDF 是正方形
6.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v(m/s) 是载重后 总质量M(kg) 的反比例函数.已知一款机器狗(如图所示)载重后总质量M=30kg 时，它 的最快移动速度v=2m/s; 当其载重后总质量M=60kg 时，它的最快移动速
度v=( )m/s.
A.4 B.3 C.2 D.1
7.如图，图1是装满了液体的高脚杯(数据如图),用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2
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所示，此时液面距离杯口的距离h =( )
A. B.2cm C. D.3cm
图1
图2
8.如图1,点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→C→B 以 1cm/s 的速度匀速运动到点B, 点 P 运动时△ PAD的面积y(cm ) 随时间x(s) 变化的关系如图2,则a 的值为()
A.
B
C.
D.9
图1 图2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知 若a+c+e=20, 且 b+d+f≠0, 则 b+d+f=
10.某口袋中有20个球，其中白球x 个，绿球2x 个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个球， 若为绿球，则获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球，则获胜.当 X= 时，游戏对甲、乙双方公平.
11.如图，△ABC 中 ，AB=AC,∠B=72°,∠ACB 的平分线CD 交AB 于点D, 则 D是线段AB的黄金分割点.若AC=2, 则
BD=
12. 若关于x 的方程mx +2x+1=0 有实数根，则m 的取值范围是 _.
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=6 ,BC=8, 将它绕着 BC的中点D 顺时针旋转一定角度(小于90°)后得到△A'B'℃, 恰好 使B'C'//AB,A'C '与AB 交于点E, 则 A'E 的 长 为 .
三 、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14. (本小题8分)
解下列方程：
(1)x -x-3=0;
(2)x -9=2(x-3).
15. (本小题8分)
如图，△ ABC的顶点都在网格点上，点A 的坐标为(-1,3).
(1)以点0为位似中心，在第二象限作△ABC的位似图形△A′B'C', 使△ABC的边长放大到原 来的2倍，并直接写出点A 的对应点A′的坐标： ;
(2)如果△ABC内部的一点M 坐标为(x,y), 则 M 的对应点M′的坐标是 _;
(3)S△OAB:S 四边形A'B′B= _.
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16. (本小题7分)
在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同.小颖 做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重 复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数 m 4 7 10 28 45 97 127 252
(
mn
)摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_ (精确到0.01);
(2)试估算盒子里白球有 个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是 ( 填 写 所 有正确结论的序号).
①从一副扑克牌(不含大小王)中任意抽取一张，这张牌是“红桃”.
②掷一个质地均匀的正方体骰子(面的点数分别为1到6),落地时面朝上点数“小于3”.
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上.
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲.
(4)李老师利用这个盒子内的球提出了一个问题，先摸一个球，放回，再摸一个球，两次均 摸到白球的概率是多少 小瑞打算直接画树状图求解，发现过于复杂。小璇经过思考设计了 一个等价的方法，她计算黑白球的比例后，将转盘平均分成四份，……,按照这种思路，设计 出如图所示示意图，请你根据示意图利用树状图或列表法求解。
白
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黑
黑
黑
17(本小题8分)综合与实践
主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度.
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具.
步骤1:如图，站在B 处，位于点B 正前方3米点C 处有一平面镜，通过平面镜刚好可以 看到建筑物的顶端M 的像，此时测得眼睛到地面的距离AB 为1.5米；
步骤2:在F 处竖立了一根高2米的标杆EF, 发现地面上的点D 、标杆顶点E 和建筑物顶 端M 在一条直线上，此时测得DF 为 6 米 ，CF 为 4 米 .
猜想与计算：已知MN⊥ND,AB⊥ND,EF⊥ND, 点 N、C、B、F、D 在同一条直线上，
且点N 、C 之间存在障碍物，无法直接测量.请根据以上所测数据：
(1)请求出平面镜到建筑物的距离 CN 与建筑物高度MN 之间的数量关系；
(2)计算建筑物的高度MN (平面镜大小忽略不计).
18. (本小题9分)
如图，四边形ABCD中 ，AB//DC,AB=BC,AD⊥DC 于点D.
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD 于点E, 交 AC于点0;(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AE, 四边形ABCE 是什么特殊的四边形 请加以证明；
(3)连接OD, 若 AB=3,BE=4, 求 OD 长 .
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19. (本小题10分)
根据以下素材，完成探索任务.
探索果园土地规划和销售利润问题
素 材 1 其农户承包了一块长方形果园 ABCD,图1是果园的平面图，其中 AB=200米， BC=300米 .准备在它 的四周铺设道路，上下两条横向道路 的宽度都为2x米，左右两条纵向道 路的宽度都为x米，中间部分种植水 果 . 出于货车通行等因素的考虑，道路宽 度x不超过12米，且不小于5米. (图1)
素 材 2 该农户发现某一种草莓销售前景比 较不错，经市场调查，草莓培育一年 可产果.若每平方米的草莓销售平均 利润为100元，每月可销售5000平 方米的草莓；受天气原因，农户为了 快速将草莓出手，决定降价，若每平 方米草莓平均利润下调4元，每月可 多销售500平方米草莓，果园每月的 承包费为2万元. (图2)
问题解决
任 务 1 解决果园中路面宽度的设计对种植 面积的影响. (1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围. (2)若中间种植的面积是44800m ,则路面设置 的宽度是否符合要求.
任 务 2 解决果园种植的预期利润问题. (总利润=销售利润一承包费) (3)若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则 从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均 利润应该降价多少元
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20. (本小题11分)
定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱 四边形”,这条对角线叫“友爱线”.
(1)如图1,在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与四边 形 ABCE, 其中是被AC分割成的“友爱四边形”的是 _;
(2)如图2,四边形ABCD 是“友爱四边形”,对角线AC 是“友爱线”,同时也是∠BCD的角 平分线，若△ABC 中 ，AB=2,BC=3,AC=4, 求友爱四边形ABCD 的周长；
(3)如图3,在△ABC中 ，AB≠BC,∠ABC=60°,△ABC 的面积为3 √ 3,点D 是∠ABC的平 分线上一点，连接AD,CD. 若四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”,求BD 的长.
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图 1
图 2
图 3

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