资源简介

运城中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题所给的答案中，只有一个是正确选项.
1．已知点，，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．3 D．2
2．已知直线与直线，若，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．递增的等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．10 D．无最小值
7．高斯是德国数学家 天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德 牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论 函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每题所给的答案中，有多个选项为正确选项.
9．已知椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为
C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．若两个不同平面的法向量分别是，，且则
D．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
11．方程有两个不等实根，则的取值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
三、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ．
13．若直线：与直线：的距离为1，则实数 ．
14．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出解题、演算过程.
15．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.
(1)若直线，求直线l的方程；
(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
16．已知抛物线过点，是抛物线上异于点的不同两点，且以线段为直径的圆恒过点.
（I）当点与坐标原点重合时，求直线的方程；
（II）求证：直线恒过定点，并求出这个定点的坐标.
17．如图，在三棱锥中，分别是的中点．求

(1)，用表示
(2)求异面直线所成角的余弦值．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面．
(1)求证：平面；
(2)当时，求二面角的余弦值．
19．一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球.
(1)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率；
(2)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球的概率；
(3)设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值.
试卷第2页，共4页
答案第6页，共6页运城中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D D A C D ACD AC
题号 11
答案 BC
12．/0.4
【分析】根据空间向量共面定理即可求得.
【详解】∵，
由空间向量共面定理得：，
故答案为：.
13．8或
【分析】利用直线平行的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由：得，
直线与直线：的距离为1
则两平行直线的距离，
解得或
故答案为 或
【点睛】本题主要考查平行直线的距离公式，根据条件进行转化结合平行直线的距离公式是解决本题的关键．
14．
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值.
【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，设，
由，得，
整理得，即
因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，
PA长的最大值等于.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径.
15．(1)
(2)或.
【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，
（2）由题意得过原点或斜率为后求解
【详解】（1）联立得即.
因为，不妨设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为.
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程是或.
16．（I）； （II）答案见解析.
【分析】(Ⅰ)首先求得抛物线的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直线垂直的充分必要条件可得直线的方程；
(Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理得到系数之间的关系，然后结合直线方程的形式即可证得直线恒过定点.
【详解】（I）因为在抛物线上，所以，
所以，抛物线.
当点与点重合时，易知，
因为以线段为直径的圆恒过点，所以.所以.
所以,即直线的方程为.
（II）显然直线与轴不平行，设直线方程为 .
，消去得.
设，因为直线与抛物线交于两点，
所以 ①
因为以线段为直径的圆恒过点，所以.
因为是抛物线上异于的不同两点,所以,.
,同理得.
所以,即,.
将 ①代入得， ，即 .
代入直线方程得.
所以直线恒过定点 .
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
17．(1)，；
(2)
【分析】（1）应用空间向量的加减法计算求解；
（2）连接，取的中点，连接，推导出异面直线，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出结果．
【详解】（1）因为，所以，
因为是的中点，
所以；
（2）

连接，取的中点，连接，
则，是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，，，
又，，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
18．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）利用垂直关系，以点的中点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：平面，平面，
．
，且，，平面，
平面．
（2）取的中点，连结，
，，
平面，平面，
，，平面，
平面，
取中点，又，．
分别以OA，OM，OP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰中，，．
，，，，，
设平面的一个法向量为，
，，
，，令，得，，
设平面的一个法向量为，
，，
，则，令，得，，．
．
注意到二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为．
19．(1)(2)(3)或9
【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算.
（2）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求解.
（3）依题意，列出的解析式，通过作商判断概率的增减性，即可求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）“经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球，
且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，
所以所求概率为.
（2）“经过两次操作后，手上恰好有1个黑球”，
即“两次操作中一次取到黑球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”，
因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上，
所以所求概率为.
（3）依题意，，
由，
当时，，当时，，当时，，
所以当或9时，取最大值.
答案第2页，共3页

展开更多......

收起↑