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4.2.1 定义与命题
1.通过具体事例，理解定义、命题、互逆命题等概念．
2.结合具体事例，会区分命题的条件与结论，会把命题改写成“如果……，那么……”的形式．
你还记得下列数学概念吗？
（3）角平分线：
有理数和无理数统称为实数.
含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.
（2）方程：
（1）实数：
作了明确规定
作了明确规定
进行了描述说明
你能说说这些概念的特点吗？
对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
定义:
例如，“连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离”是两点的距离的定义. “无限不循环小数叫作无理数”是无理数的定义.
一般地，常常用陈述句叙述一件事情.
比如：（1） -1是自然数；（2） 对顶角相等.
上面这两个陈述句，（1）是错误（假）的，（2）是正确（真）的.
像上面这样，可以判断真假的陈述句叫做命题
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
命题:
可以判断真假的陈述句一定是命题.
1.命题是判断一件事情的陈述句，凡命题都可以改写成“如果……，那么……”的形式，而祈使句、疑问句，感叹句均不是命题；
2.定义仅对事物的特征属性进行描述，即规定什么叫什么，有时候定义也可以是命题.
命题与定义的区别：
1.请结合已学数学知识，说出一些命题.
例如：
1.如果| a |= 3，那么a =±3.
2.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
3.垂线段最短.
……
说一说：下列命题的表述形式有什么特点？
（1） 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2） 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
特点：上述命题的表述形式都是“如果……，那么……”
对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论.
发现：命题（1）与命题（2）的条件与结论互换了位置.
条件
结论
（1） 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2） 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
条件
结论
命题（1）（2）是互逆命题
命题的条件和结论：
互逆命题:
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
条件
结论
（1） 如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2） 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
结论
条件
原命题：
逆命题：
这一例子中的原命题和它的逆命题都是真命题.
例1 下面两个命题是互逆命题吗？它们的真假性如何？
（1） 如果a是整数，那么a是有理数；
（2） 如果a是有理数，那么a是整数.
解： 命题（1）的条件是“a是整数”，结论是“a是有理数”.
命题（2）的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”.
由于命题（1）的条件和结论分别是命题（2）的结论和条件，于是，命题（1）与命题（2）是互逆命题.
整数和分数统称为有理数，命题（1）是真命题
0. 1是有理数，但0. 1不是整数，命题（2）是假命题.
1.如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形;（真）
2.如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.（真）
3.如果a是整数，那么a是有理数;（真）
4.如果a是有理数，那么a是整数.（假）
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
进一步发现，对于互逆命题：
注意：有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”形式的命题也可以省略关联词“如果”“那么”.
例如，“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简单叙述成“对顶角相等”.
2.指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么…… ”的形式.
（1） 能被2整除的数是偶数；
（2） 平行于同一条直线的两条直线平行.
解：（1）条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数
改写：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数.
（2）条件：平行于同一条直线的两条直线；结论：这两条直线平行
改写：如果是平行于同一条直线的两条直线，那么这两条直线平行.
1.指出下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
(1)直线a⊥b;
(2)同位角都相等吗？
(3)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
(4)“0”不能做分母；
(5)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
×
√
×
√
√
可以判断真假的陈述句一定是命题.
2.下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？
（1） 如果两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
（2） 如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行；
解：（1）与（2）是互逆命题.
2.下列四个命题中（1）与（2），（3）与（4）分别是互逆命题吗？
（3） 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等；
（4） 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等.
解：（3）与（4）是互逆命题
3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题．
（1）不相等的角不是对顶角.
解：如果两个角不相等，那么它们不是对顶角.
逆命题：不是对顶角的两个角不相等.
（2）两直线平行，同位角相等.
解：如果两直线平行，那么同位角相等.
逆命题：同位角相等，两直线平行.
定义与命题
定义
概念
结构
互逆命题
命题
逆命题
原命题
如果……那么……
根据关键词“定义与命题”梳理本节课知识框架：

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