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第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.1 定义与命题
1. 理解定义、命题的概念.
2.能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……，那么……”的形式.
3.了解原命题及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.
我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：
不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形.
这样的语句有何特点？
对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.
“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.
1.定义
以下是一些我们可以判断正确与否的陈述.
1. －1是自然数；
2. 对顶角相等；
3. 同位角相等，两直线平行；
4. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
它们都对一件事进行了判断.
(错)
(对)
(对)
(对)
思考：上述语句有什么特征
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
注意：可以判断真假的陈述句一定是命题.
不是命题的形式，举例：
① 疑问句；如：你喜欢数学吗？
② 感叹句；如：今天天气很好啊！
③ 祈使句；如：作线段 AB = CD.
2.命题
（1）三角形的内角和等于180° ；
（2） 如果| a |=3，那么a=3；
（3）1月份有31天；
（4）作一条线段等于已知线段；
（5）一个锐角与一个钝角互补吗？
√
√
√
×
×
都是命题
不是命题
1.判断下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题.
试一试
命题的形式：如果……那么……
说一说：下列命题的表述形式有什么特点？
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
对于“如果……，那么……”形式的命题， 通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论.
概念
已知
命题
结论
条件
____事项
已知事项推出的事项
两直线平行
内错角相等
3.命题的条件和结论
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
试一试：观察这两个命题的条件和结论，找出这两个命题的关系.
发现：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件.
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题，命题（1）和命题（2）就是互逆命题.
若把命题(1)称为原命题，则命题(2)是它的逆命题.
4.互逆命题
解:命题 (1) 的条件是“ a 是整数”，结论是 “a是有理数”.
命题 (2) 的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”.
例1 下面两个命题是互逆命题吗？
(1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数；
由于命题 (1) 的条件和结论分别是命题 (2) 的结论和条件，于是，命题 (1) 与命题 (2) 是互逆命题.
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
这两个命题是真命题还是假命题？
(1) 如果 a 是整数，那么 a 是有理数；
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
条件
结论
命题 (1) 真命题
成立
成立
条件
结论
命题 (2) 假命题
不一定成立
成立
若 a 为 0.1，0.1 是有理数，但不是整数.
由此可知，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”
简写
对顶角相等
“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
简写
同角的余角相等
注意：有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.
2.指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）能被 2 整除的数是偶数；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
解：(1) 如果一个数能被 2 整除，那么这个数就是偶数.
(2) 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
试一试
3.写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
绝对值相等的两个数相等；
如果m是有理数，那么它也是整数；
内错角相等，两直线平行；
等腰三角形的两边相等.
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
相关概念：原命题、逆命题、互逆命题
命题
1.下列语句中，属于定义的是（ ）
A.直角都相等
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.两点之间线段最短
C
2.指出下列语句中， 是命题， 不是命题.
①直线a⊥b.
②同位角都相等吗？
③如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互余.
④“0”不能做分母.
⑤如果邻补角相等，那么它们的公共边与另一边垂直.
①②
③④⑤
3.指出下列命题的条件、结论.（口述）
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果 a = b，b = c，那么 a = c；
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形的中线分三角形为面积相等的两部分.
条件
结论
条件
结论
(3)(4)需要改写
（3）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
条件：已知三角形的一外角及与外角不相邻的两个内角的和.
结论：这一外角等于这两个内角的和.
条件：三角形的中线把该三角形分成两个小三角形.
结论：这两小三角形的面积相等.
（4）三角形的中线分三角形为面积相等的两部分.
4. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.
解：两直线平行，同位角相等.
同位角相等，两直线平行.

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