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第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.2 证明、举反例
1.会用“举反例”的方法说明一个命题是假命题.
2.会用“证明”的方法说明一个命题是真命题.
3.会用“反证法”的方法说明一个命题是真命题.
做一做：判断下列命题是真命题还是假命题？你是怎样判断的？
(1)若a是有理数，则a是整数.
(2)有理数的绝对值是正数.
如何判断一个命题是假命题呢?
0.1是有理数，但不是整数。
0的绝对值是0，不是正数。
假命题
假命题
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
举反例
例1 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题?
解： 1×0=0，但是1≠0，
因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题.
1.用举反例的方法说明下列命题是假命题.
(1)若a?=b?，则a=b;
(2)一个角的余角大于这个角;
(3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|;
(4) 如果∠A=∠B,那么∠A与∠B是对顶角.
a=1,b=-1,1?=（-1）?,a≠????
?
若这个角为72度，它的余角为18度
若a=3，b=-1,|a+b|≠|a|+|b|
?
试一试
思考：如何判断一个命题是真命题呢?
命题的条件
逻辑推理、计算
定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题
命题的结论成立
上面的过程叫做证明.
例2 证明:如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0
证明： 若a≠0，则a?为正数.
又b?为正数或0，从而a?+b?是正数，
因此a?+b?≠0.
同理可得，若b≠0，则a?+b?≠0.
2.用反证法证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0
证明：假设a?+ b?=0，
从而a=0,b=0.
这与已知条件“实数a≠0或实数b≠0”矛盾，故假设不成立.
因此，如果实数a≠0或实数b≠0，那么a?+ b?≠0.
试一试
例3 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
有什么其他更好的办法来证明呢？
第一步：我们可以先假设命题不成立
“有一个”“有两个”“有三个”
可以假设没有一个满足条件，假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°。
第二步：从上面这个假设出发进行证明
导出矛盾
否定假设
显然，直接从条件出发，情况较多，
证明不太方便.
例3 证明:△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
证明：
假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，则∠A<60°，∠B<60°,∠C<60°，
从而∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立.
因此，△ABC的三个内角中至少有至少有一个角大于或等于60°。
否定结论
导出矛盾
肯定结论
1.反证法
(1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论.
当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确.这种证明方法叫作反证法.
2.反证法的基本步骤
要点归纳
原词语
否定词
原词语
否定词
等于
任意的
是
至少有一个
都是
至多有一个
大于
至少有n个
小于
至多有n个
对所有x成立
对任何x不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n-1)个
至少有(n+1)个
存在某个x不成立
存在某个x成立
不等于
某个
准确地作出“结论的反面”是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?
1.用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ）
A. ∠A＝60° B. ∠A＜60°
C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60°
D
2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是(　　)
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
C
3. 求证：△ABC 中不能有两个钝角．
证明：假设△ABC 中有两个钝角，
不妨设∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
则∠A＋∠B＋∠C＞180°.
这与三角形的内角和定理相矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC 中不能有两个钝角．
真命题的证明
直接证明
反证法
反设结论
推理
导出矛盾
(画图)写出已知、求证
写出证明过程
证得结论
假命题的证明
举反例

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