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4.2.2 证明、举反例
1．通过具体事例掌握举反例，证明，反证法等概念．
2．会判断一个命题的真假，并会给假命题举出反例．
3．通过具体例题，体会反证法的意义，学会用反证法解决特殊问题．
如：0 的绝对值是 0，不是正数.
1. 有理数的绝对值是正数.
假命题
说一说：下列命题是真命题还是假命题？如何快速度判断.
2. 如果 | a | = | b |，那么 a = b.
如： a = -1，b = 1， | a | = | b |，但 a≠b.
假命题
举出一个不满足的例子即可.
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
举反例:
例1 命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？
解： 1 × 0 = 0，但是1 ≠ 0，因此“如果 ab = 0，那么a = 0”是假命题.
1.用举反例的方法说明下列命题是假命题.
（1）若a2=b2，则a=b；
（2）一个角的余角大于这个角；
（3）若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
解：（1）12=（-1）2，但是1 ≠-1，因此“若a2=b2，则a=b”是假命题.
（2）设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
解：（3）设a=2,b=-1，| 2+（-1） |≠| 2 |+| -1 |，因此“若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |”是假命题.
（4）在等腰△ABC中，∠A=∠B=70°，∠C=40°，但∠A与∠B不是对顶角，因此“如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角”是假命题.
1.用举反例的方法说明下列命题是假命题.
（3）若a，b是有理数，则| a+b |=| a |+| b |；
（4）如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角.
思考：我们用举反例的方法可以说明命题是假命题，那如何判断一个命题是真命题呢？
判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明.
说明：(1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
(2)证明的每一步都必须要有根据.
证实其他命题的正确性
推 理
推理的过程即证明
基本事实或定义
一些条件
+
真命题证明的一般过程：
例2 证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
证明：若a ≠ 0，则a2为正数.
又b2为正数或0，从而a2 + b2 是正数，因此a2 + b2 ≠ 0.
同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0.
例3 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
分析 ：“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明.
从反面出发！
直接从条件出发，情况较多，证明不太方便.
假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°
证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°，
则∠A < 60°，∠B < 60°，∠C < 60°，
从而∠A + ∠B + ∠C < 60°+ 60°+ 60°= 180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立.
因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
例3 证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°.
这种方法叫做“反证法”
当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件矛
盾，或者与定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题是正确的. 这种证明方法叫作反证法.
反证法:
反证法基本步骤：
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能如下：
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾;
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
（1） 假设命题不成立；（2） 导出矛盾；（3） 肯定结论.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有n个
小于 至多有n个
对所有x成立 对任何x不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n-1)个
至少有(n+1)个
存在某个
x不成立
存在某个x成立
不等于
某个
准确地作出“结论的反面”是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.
2.用反证法证明：如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
证明：假设如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0，
若a ≠ 0，则a2为正数.
b2定为正数或0，从而a2 + b2 一定是正数，因此a2 + b2 ≠ 0.
同理可得，若b ≠ 0，则a2 + b2 ≠ 0.
这与“如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 = 0”矛盾，故假设不成立.
因此，如果实数a ≠ 0或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
1.用反证法证明命题：“已知 ， ，求证：
”．第一步应先假设 .

(3) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
两条相交的直线 a、b 被第三条直线 l 所截 (如图)，所得同位角不相等.
-1 和 -3 的积是 -1×(-3) > 0，-1 和 -3 不是正数.
2. 举反例说明下列命题是假命题：
(1) 两个锐角的和是钝角；
(2) 如果数 a，b 的积 ab＞0，那么 a，b 都是正数；
直角三角形的两个锐角和不是钝角.
a
b
l
3.证明：在同一平面内，如果直线a ∥ b，l⊥ a，那么l⊥ b.
证明：如图，
因为a ∥ b，所以∠1=∠2
因为l⊥ a，所以∠1=90°
所以∠2=90°
所以l⊥ b
a
b
l
1
2
4.用反证法证明：如果ab = 0，那么a = 0或b = 0.
证明：假设如果ab = 0，那么a，b均不等于0，
当a≠0且b≠0时，
ab ≠ 0
这与“ab = 0”矛盾，故假设不成立.
因此，如果ab = 0，那么a = 0或b = 0.
根据本节课关键词“命题的证明”梳理本节课知识框架：
命题的证明
反证法：反设结论，推理，导出矛盾，证得结论.
直接证明：（画图）写出已知、求证，写出证明过程.

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