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4.2.3 定理、推论
1．通过具体事例掌握定理、推论、逆定理、互逆定理等概念．
2．掌握命题证明的过程与方法，会写规范的证明过程．
命题有真命题与假命题之分.假命题用举反例来说明，真命题是通过证明来说明.
真命题证明的一般过程：
命题的条件
逻辑推理、计算
定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题
命题的结论成立
三角形的内角和等于180°
证明了它是真命题
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
利用三角形的内角和定理证明了它是真命题
三角形内角和定理的推理
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
经过证明为真的命题叫作定理.
探究：如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF 是 △ABC 的三个外角，
问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？如何证明呢？
证明：因为 ∠ACE = 180°- 40°= 140°，
∠CBD = 180°- 60°= 120°，
∠BAF =180°- 80°= 100°，
所以∠ACE + ∠CBD + ∠BAF = 140°+ 120°+ 100°= 360°.
A
B
C
D
F
E
80°
60°
40°
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
证明：如图 ，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE.
因为∠BAF = 180°- ∠BAC，
∠CBD = 180°- ∠ABC，
∠ACE = 180°- ∠ACB，
A
B
C
D
F
E
所以 ∠BAF + ∠CBD + ∠ACE
=（180°- ∠BAC）+（180°- ∠ABC）+（180°- ∠ACB）
= 540°-（∠BAC + ∠ABC + ∠ACB）
= 540°- 180°
= 360°.
由此可得：三角形的外角和等于360°.
如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
逆定理，互逆定理:
例如，平行线的性质定理 1（两直线平行，同位角相等）与平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理.
判断一个定理是否有逆定理
写出这个定理的逆命题
为真命题
为假命题
是原定理的逆定理
原定理没有逆定理
提醒：定理是真命题，但真命题不一定是定理；
任何定理都有逆命题，但这个逆命题不一 定是真命题，所以并不是每一个定理都有逆定理.
想一想：如何判断一个定理是否有逆定理？
判一判：下列定理有没有逆定理？
（1）对顶角相等；
（2）两直线平行，同旁内角互补.
解：（1）逆命题：相等的角是对顶角.
这个逆命题不正确，原定理没有逆定理．
（2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行.
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
已知：如图，在△ABC 中，∠B = ∠C，AE 是外角∠CAD 的平分线.
求证：AE∥BC.
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD = ∠B + ∠C.又∠B = ∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于AE是∠CAD的平分线，
因此∠CAD = 2∠DAE，
从而2∠B = 2∠DAE，
即∠B = ∠DAE.
所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
第一步
根据题意
根据命题的条件画出图形，将文字语言转换为符号（图形）语言
第二步
根据条件、结论
结合图形
第三步
定义、基本事实，
已有定理
进行证明
写出已知、求证
反证法是一种
重要方法
证明与图形有关的命题时的步骤：
1.如图，证明“三角形任意两边之和大于第三边”时，得到“ AB+AC>BC ”
的依据是( ) .
?
D
A.通过度量线段的长度
B.过两点有且只有一条直线
C.整体大于部分
D.连接两点的所有连线中，线段最短
2.如图，下列推理正确的是( )
B
A.因为?∠1=∠4 ，所以?AB//CD
B. 因为?∠2=∠3 ， 所以?AE//DF
C. ?因为∠1=∠3 ，所以?AB//DF
D. ?因为∠2=∠3 ，所以?AE//DC
?
3.证明：如图，在四边形 ABCD 中，如果 ∠A + ∠B = 180°，那么 ∠C +∠D = 180°.
证明： 在四边形 ABCD 中
因为 ∠A + ∠B = 180°，
所以 AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
所以 ∠C +∠D = 180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
4.如图，线段AB与CD相交于点E. 求证：∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
证明： 因为 AB与CD 相交于点E ，
所以∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 因为∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°（三角形内角和等于180°），
所以∠A + ∠C = ∠B + ∠D.
根据关键词“定理、推论”梳理本节课知识框架：
定理、推论
推论：利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
定理：经过证明为真的命题叫作定理.
逆定理、互逆定理.

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