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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.1 认识全等三角形
1. 了解全等图形、全等三角形的概念，掌握两个三角形全等的记法与读法．
2.会确定全等三角形中的对应元素.
3.掌握全等三角形的性质，会用全等三角形的性质解决简单问题.
同一张底片洗出的相同尺寸的照片
同一种剪纸
形状，大小是几何
图形研究的重要内容
想一想：在日常生活中，我们经常可以看到形状、大小完全相同，能够互相重合的图形，你还能想到一些例子吗？
做一做：如图是两组形状、大小完全相同的图形，用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形叠放在一起，它们能完全重合吗
（1）
（2）
完全重合
一般地，能够完全重合的两个图形叫作全等图形.
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
A
B
C
E
D
F
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.
其中点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 是对应顶点.
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边.
∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角.
B
C
A
E
F
D
点 D
点 E
点 F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
1.全等三角形的对应元素
△ABC≌△FDE
A　
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
2.全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
反过来，如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
3.全等三角形的性质：
例1 如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4， ∠A=60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数.
解：(1)AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.
例1 如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4， ∠A=60°.
(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
(2)求AC，DC的长及∠D的度数.
(2)因为AC与DB，AB与DC是全等三角形的对应边，
所以AC=DB=4，DC=AB=3.
所以∠D=∠A=60°.
因为∠A与∠D是全等三角形的对应角，
1.如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠E 的度数和 CF 的长．
解：因为△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，EF＝7，
所以∠E＝∠B＝50°，BC＝EF＝7.
所以CF＝BC－BF＝7－4＝3.
试一试
1. 有公共边
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
2. 有公共点
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
A
B
D
C
E
议一议：结合下图，你能说说你是如何寻找对应边、对应角的吗？
寻找对应元素的规律：
1.有公共边的，公共边一般是对应边；
2.有公共角的，公共角一般是对应角；
3.有对顶角的，对顶角一般是对应角；
4.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
5.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.
要点归纳
（1）如图1，把△ABC沿点B到点C的方向平移一定距离，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
图1
图2
C
A
B
C'
A'
B'
C
A
B
C'
A'
（2）如图2，把△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′B′C′，旋转角为∠ABA′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
平移
（B')
议一议
（3）如图3，把△ABC沿直线l折叠，得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′全等吗？
由平移、旋转、轴对称的知识可知，一个图形经过平移或旋转或轴对称得到的图形与原图形全等.
图3
C
A
B
C'
A'
B'
l
补充：全等变换图形展示
1．下列说法正确的是（ ）
A．周长相等的三角形是全等三角形
B．形状相同大小相等的三角形是全等三角形
C．面积相等的三角形是全等三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
B
能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形
2.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=4 cm，BD=3 cm， AD = 5 cm，那么BC的长是（ ）
A. 5 cm B. 4 cm
C. 3 cm D. 无法确定
A
B
D
C
A
3.如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE， 显然有△ABC≌△ADE，写出所有的对应顶点、对应边和对应角.
A
E
D
C
B
解：对应顶点：A与A，B与D，C与E；
对应边：AB与AD，AC与AE，BC与DE；
对应角：∠BAC与∠DAE，∠B与∠D，∠C与∠E.
4.如图，△ABC≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC与∠EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB=3 cm，BC=1 cm，求∠E，∠ADE的度数和线段DE，AE的长度.
B
C
E
D
A
解：因为△ABC≌△AED，
所以∠E=∠B=35°，
∠ADE=∠ACB=180°-25°-35°=120°，
DE=BC=1 cm，AE=AB=3 cm.
全等图形
全等三角形的表示：对应顶点的位置要正确
全等三角形的定义
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
能够完全重合的两个图形叫做全等图形

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