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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
1. 通过三角形全等条件的探索，掌握全等三角形的判定定理（SAS）.
2.会利用三角形全等证明线段、角相等.
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形.
2.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
A
B
C
D
E
F
① AB = DE
② BC = EF
③ CA = FD
④ ∠A = ∠D
⑤ ∠B = ∠E
⑥ ∠C = ∠F
两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等，能否用更少的条件来判定两个三角形全等？
有以下两种情况：
思考1：若给出两个三角形边和角的相等条件，且只给一个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？
一边对应相等； 标
一角对应相等 标
A
B
C
D
E
F
试一试1：根据下表给出的△ABC和△A'B'C的相等条件及对应的图形，判断△ABC和△A'BC是否全等，并把结果写在表格中.
边和角的相等 条件 示例 对应的图形 是否全等
BC＝B′C′
∠B＝∠B′
不全等
不全等
一个条件不能判断两个三角形全等
一边对应相等
一角对应相等
思考2：给出两个条件，可以分哪几种情况？能够判断两个三角形全等吗？
①两边对应相等; 标
②一边一角对应相等; 标
③两角对应相等. 标
有以下三种情况：
边和角的相等 条件 示例 对应的图形 是否全等
AB＝A′B′ BC＝B′C′
BC＝B′C′ ∠B＝∠B′
∠A=∠B′A′C′ ∠B＝∠B′
不全等
不全等
不全等
两边对应相等
一边一角对应相等
两角对应相等
两个条件也不能够判断两个三角形全等
想一想：能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等？
试一试2：
做一做：用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2cm，2.5cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗
A
B
C
A′
B′
C′
2cm
2.5cm
50°
2cm
2.5cm
50°
完全重合
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理1：
如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“边角边”或“SAS”
所以△ABC≌△A′B′C′(SAS).
几何语言：
A
B
C
A'
B'
C'
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
在△ABC和△A′B′C′中，
归纳总结
例1 如图，AB和CD相交于点0，且 AO=BO,CO=DO.
求证:△ACO≌△BDO.
分析：
先找隐含条件
再找现有条件
∠AOC=∠BOD
AO=BO,CO=DO.
证明: 在△ACO和△BDO中，
AO=BO,
∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
CO=DO,
所以△ACO≌△BDO(边角边).
指明范围
摆齐条件
得出结论
例1 如图，AB和CD相交于点0，且 AO=BO,CO=DO.
求证:△ACO≌△BDO.
思考3：“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题 与同学交流你的想法.
C
A
B
30°
2.5 cm
1.5 cm
A
B
E
2.5 cm
1.5 cm
假命题
特别提醒：两边和其中一边的对角分别相等(SSA)的两个三角形不一定全等.
30°
两个三角形不全等
1. 在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30°
8 cm
9 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅲ
Ⅶ

30°
8 cm
9 cm
Ⅴ
30°

8 cm
5 cm
Ⅲ

30°
8 cm
8 cm
Ⅵ
Ⅳ
Ⅷ
8 cm
5 cm
2. 如图, AB ＝ AD , AC ＝ AE . 若要用“SAS”证明△ ABC ≌△ ADE ，则还需添加的条件是(　C　)
A. ∠ B ＝∠ D B. ∠ C ＝∠ E
C. ∠1＝∠2 D. ∠3＝∠4
C
所以AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
3.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
因为 AD∥BC，
所以∠A =∠C.
因为 点 E、F 在 AC 上，AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
AD = CB (已知)，
∠A = ∠C (已证)，
AF = CE (已证)，
所以△AFD≌△CEB (边角边).
4. 小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH， ED = FD ，将上述条件标注在图中，小明说不用测量就能知道 EH = FH .你能说明理由吗？
E
F
D
H
解：在△EDH 和△FDH 中 ，　　
ED = FD（已知），
　 ∠EDH =∠FDH（已知），
　 DH = DH（公共边），
所以△EDH≌△FDH（边角边）.
所以EH = FH (全等三角形对应边相等).
内容
方法
有两边及夹角分别相等的两个三角形全等 (简写成“SAS”).
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法.
1.已知两边，必须找“夹角”;
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
“边角边”判定三角形全等

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