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4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）
1．探索发现和掌握三角形全等的判定定理“边角边”定理．
2．能应用“边角边”定理和全等三角形性质，解决有关线段相等、角相等的计算与推理问题．
A
B
C
D
E
F
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
① AB = DE
③ CA = FD
② BC = EF
④∠A =∠D
⑤∠B =∠E
⑥∠C =∠F
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
想一想：如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证两个三角形全等 吗?
三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
问题1：只满足一个相等条件的两三角形是否全等?
6cm
30°
结论：有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60°
30°
不一定全等
3cm
4cm
不一定全等
30°
60°
3cm
4cm
不一定全等
30°
6cm
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
问题2：满足两个相等条件的两三角形是否全等?
试一试：用量角器和刻度尺画一个三角形， 使它的两边为 2 cm，2. 5 cm，并且这两边的夹角为 50°. 将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？
50°
2cm
2.5cm
50°
2cm
2.5cm
问题3：满足两边及其夹角分别相等的可以吗？
猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
它们完全重合
下面我们利用平移、旋转、轴对称知识来证明上述猜测成立.
设在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠ABC =∠A′B′C′，
A
B
C
AB = A′B′，BC = B′C′.
A′
B′
C′
猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
第一步，如图，将△ABC 沿射线 BB′ 的方向平移，平移的距离等于线段 BB' 的长度.
A
B
C
A1
B'
C1
在这个平移下，将△ABC 的像记为△A1B1C1，则点 B 的像（点B1）与点B 重合，且△A1B1C1≌△ABC，
从而 B1C1 = BC，B1A1 = BA，∠A1B1C1 = ∠ABC.
A′
C′
(B1)
从而 B2A2 = B1A1，B2C2 = B1C1. 又 B1C1 = BC，BC = B'C'，
则 B'C2 = B'C'，于是点 C2 与点 C' 重合.
又∠A2B2C2 =∠A1B1C1，∠A1B1C1 =∠ABC，
∠ABC =∠A'B'C'，
所以∠A2B2C2 =∠A'B'C'.
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
第二步，如图，将△A1B1C1 绕点 B' 旋转，旋转角的大小等于∠C1B'C'.在这个旋转下，将△A1B1C1 的像记为△A2B2C2 ，则点 B1 的像（点B2）与点 B' 重合，点 C1 的像 (点C2) 在射线 B'C' 上，且△A2B2C2 ≌△A1B1C1，
又点 B3，C3 分别与点 B'，C' 重合，从而∠A3B3C3 =∠A3B'C'，
于是∠A3B'C' =∠A'B'C'，
因此射线 B'A3
与射线 B'A' 重合.
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
第三步，如图，作△A2B2C2 关于直线 B'C' 成轴对称的图形，将其像记为△A3B3C3 ，由于点 B2 与点 B' 重合，且均在对称轴 B'C' 上，因此点 B2 的像（点B3 ）与点 B' 重合. 同理可得，点 C2 的像（点C3）与点 C' 重合.
又 △A3B3C3 ≌△A2B2C2 ，于是∠A3B3C3 =∠A2B2C2 .
又∠A2B2C2 = ∠A'B'C'，所以∠A3B3C3 =∠A'B'C'.
又 B3A3 = B2A2，B2A2 = B1A1，B1A1 = BA，BA = B'A'，
于是 B3A3 = B'A' = B'A3，因此点 A3 与点 A' 重合.
所以△A3B3C3 与△A′B′C′ 重合，即△A3B3C3 ≌△A′B′C′ .
又△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，
△A2B2C2≌△A3B3C3 ，
因此△ABC≌△A'B'C'.
我们将上述猜测称为全等三角形的判定定理（边角边)
A
B
C
A1
C1
A2
B'(B1)(B2)
A′
C′(C2)
(C3)
(B3)
(A3)
在△ABC 和△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF (边角边)．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”(SAS).
几何语言：
AB = DE，
∠A = ∠D，
AC = DF，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
全等三角形的判定定理（边角边）:
例1 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO.
分析:
△ ACO≌△BDO.
边:
角:
边:
AO = BO (已知)，
∠AOC = ∠BOD (对顶角相等)，
(边角边)
CO = DO (已知).
？
证明：
在△ACO 和△BDO 中，
所以△ACO≌△BDO (边角边).
AO = BO，
∠AOC =∠BOD (对顶角相等)，
CO = DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐含的条件，如对顶角相等、公共角（边）相等这些.
议一议：“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法.
是假命题.
A
B
C
D
可用右图进行解释
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.
B
A
C
D
这里△ABC 和△ABD 满足AB = AB，∠B =∠B，AC = AD，但它们并不全等.
说明：两条边与其中一条边的对角分别对应相等(SSA)的两个三角形不一定全等.
1. 下列条件中，能判断两个三角形全等的是（　A　）
A. 两边和它们的夹角分别相等
B. 两边及其中一边所对的角分别相等
C. 三个角分别相等
D. 两个三角形面积相等
A
SAS
SSA
AAA
2. 下列选项中，可用“SAS”证明△ABC≌△A'B'C'的是（　C　）
A. AB＝A'B'，∠B＝∠B'，AC＝A'C'
B. AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠A＝∠A'
C. AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠C＝∠C'
D. AC＝A'C'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'
C
B
C
A
A'
B'
C'
几何题没有图形的首先根据题意画出图形
3.将两根钢条AA'和BB'的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就形成了测量工件内槽宽度的工具——卡钳，如图所示. 只要量出A'B'的长，就能得出工件内槽的宽AB. 根据的是什么道理呢？
解:因为AO=A′O,∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O
所以△ABO≌△A′B′O，
所以AB= A′B′.
根据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
4.如图，AD∥BC，AD=BC. 问：△ADC和△CBA是全等三角形吗？为什么？
解 :是全等三角形.理由如下：
因为 AD∥BC
所以 △ADC≌△CBA（SAS)
所以∠DAC=∠BCA，
又 AD=BC，AC公共边
证明：因为BE = CF ，
所以BE + EF = CF + EF，即BF = CE，
在△ABF和△DCE中，
AB = DC，
∠B =∠C，
BF = CE
所以△ABF≌△DCE(SAS)， 所以∠A =∠D.
5.如图，点E，F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B =∠C.
求证：∠A =∠D.
内容
方法
有两边及夹角分别相等的两个三角形全等 (简写成“SAS”).
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法.
1.已知两边，必须找“夹角”;
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边.
“边角边”判定三角形全等

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