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第4章 三角形
4.3 全等三角形
4.3.3 全等三角形的判定定理
（角边角、角角边）
1. 能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.
2. 会寻找已知和隐藏条件，并准确运用相关定理去证明三角形的边或角相等.
所以△ABC≌△A′B′C′(SAS).
A
B
C
A'
B'
C'
在△ABC和△A′B′C′中，
两边及其夹角分别相等(SAS)
两个三角形全等
思考：如果两个三角形的两个角和这两个角的夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗?
????????=????′????′,∠????????????=∠????′????′????′,????????=????′????′,
?
B
C
A
A'
B'
C'
如图，在△ABC和△A′B′C′中，BC＝B′C′=3cm,∠B＝∠B′=400，∠C＝∠C′=600.把△ABC和△A′B′C′叠放在一起，它们能够完全重合吗?
A'
B'
C'
B
C
A
重合
三角形全等
夹边
夹边
如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
几何语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA).
注意：把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置及对应关系．
判定定理2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
归纳总结
B
C
A
A'
B'
C'
例1 如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB//DC，AB= CD，∠B=∠D.求证:△ABE≌△CDF.
证明：因为AB// DC,
所以∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∠A=∠C,
AB=CD,
∠B=∠D,
所以△ABE≌△CDF(角边角).
提示：
①边读题边做标记边想；
②从问题着手，倒着分析；
③读到的写成因为，想到的写成所以.
准备条件
指明范围
摆齐条件
得出结论
例2 如图，∠1=∠2，∠C=∠E, AC=AE. 求证:△ABC≌△ADE.
证明: 因为∠1=∠2，
所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE,
AC=AE,
∠C=∠E,
它们不是全等三角形的角，如何转化呢？
准备条件
指明范围
摆齐条件
得出结论
所以△ABC≌△ADE(角边角).
议一议：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗?为什么?
B
C
A
B
C
A
夹边
对边
换成
两角及其夹边
两个角和其中一个角的对边
判定定理2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′，BC＝B′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′.（尝试用ASA证明）
B
C
A
A'
B'
C'
证明：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∠ A′ ＋∠ B′ ＋∠ C′ ＝180°，
又因为 ∠A＝∠A′， ∠B ＝ ∠B′(已知)
所以 ∠C＝∠C′(等量代换).
因为在△ABC和△A′B′C′中，
所以△ABC≌△A′B′C′(ASA).
∠????=∠????′,????????=????′????′,∠????=∠????′,
?
如果两个三角形的两角分别相等及其中一组等角的对边相等，那么这两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”.
几何语言：
在△ABC和△A′B′C′中，
因为
所以△ABC≌△A′B′C′(AAS).
B
C
A
A'
B'
C'
判定定理3：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
归纳总结
∠????=∠????′,∠????=∠????′,????????=????′????′,
?
例3 如图，∠B=∠D,∠1=∠2.求证:△ABC≌△ADC
证明: 因为∠1=∠2，
所以∠ACB=∠ACD(等角的补角相等).在△ABC和△ADC中，
∠B=∠D,
∠ACB=∠ACD,
AC=AC,
所以△ABC≌△ADC(角角边).
它们不是全等三角形的角，如何转化？
1.如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成4块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是(　　)
A．带①和②去
B．只带②去
C．只带④去
D．都带去
C
④带去两个角和夹边：
ASA
2.已知：如图，已知AC平分∠BAD， AB⊥BC，AD⊥DC，可以证明△ABC≌ ________，依据是____________
A
C
D
B
△ADC
AAS
3. 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，添加下列一个条件，仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　C　）
C
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}A. AC∥DF
B. ∠A＝∠D
C. AC＝DF
D. BE＝CF
4.如图，点 ???? 在 ???????? 上， ∠????????????=∠???????????? ， ∠????=∠???? , ????????=???? ，
????????=???? ，则四边形 ???????????????? 的周长为 .
?
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5. 已知：如图，点 B，F，C，E 在同一条直线上，AC∥FD，∠A =∠D，BF = EC.求证：△ABC≌△DEF.
证明：因为 AC∥FD，
所以∠ACB =∠DFE.
因为 BF = EC，
所以 BF + FC = EC + FC，
即 BC = EF.
在△ABC 和△DEF 中，
所以△ABC≌△DEF (角角边).
∠A =∠D，
∠ACB =∠DFE，
BC = EF，
内容
注意
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “ASA”).
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法.
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别.

两角相等和其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成 “AAS”).
用两角一边关系判定三角形全等

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