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4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）
1. 能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等.
2. 会寻找已知和隐藏条件，并准确运用相关定理去证明三角形的边或角相等.
想一想：如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适?
3
2
1
我们从两个三角形全等的角度考虑
3
1
如果带3去，得到的三角形不唯一，无法保证全等
如果带1去，得到的三角形唯一，可以保证全等
已知一个角
已知“两角及夹边”
实际操作：用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两个角分别为60°，40°，且两个角的夹边为3 cm. 将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？你有什么猜测？
假设两名同学画出的三角形分别为△ABC 和△A'B'C'，其中 BC = B'C'=3 cm，∠B = ∠B'= 40°，∠C = ∠C'= 60°，如图所示.
把△ABC放在△A'B'C'上，使点B与点B'重合，BC落在射线B'C'上，点A与点A'在BC的同侧，则由BC = B'C'可得，点C与点C'重合.
因为∠B = ∠B'，
所以射线BA与射线B'A'重合.
又∠C = ∠C'，
故射线CA与射线C'A'重合.
因为C'A'与B'A'，CA与BA都有且只有一个交点，
所以点A与点A'重合.
于是△ABC与△A'B'C'完全重合，从而△ABC ≌ △A'B'C'.
由此猜测：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角边角）：
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
所以 △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：因为 AB∥DC，
所以∠A =∠C.
在△ABE 和△CDF 中，
所以△ABE≌△CDF (角边角).
∠A =∠C，
AB = CD，
∠B =∠D，
例2 如图，∠1 =∠2，∠C =∠E，AC = AE.
求证：△ABC≌△ADE.
证明：因为∠1 =∠2，
所以∠1 +∠BAE =∠2 +∠BAE，
即∠BAC =∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中，
所以△ABC≌△ADE(角边角).
∠BAC =∠DAE ，
AC = AE，
∠C =∠E，
说一说：如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判断下面的两个三角形是否全等，说明理由.
不全等，因为 BC 虽然是公共边，但并不对应.
A
B
C
D
易错点：判定全等的条件中，必须是对应的边相等， 对应的角相等，否则不能判定.
议一议：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？为什么？
证明：如图，在△ABC 与△A'B'C'中，满足 ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'.
因为∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠A'+ ∠B'+ ∠C'= 180°，所以∠C = ∠C'.
又由于BC = B'C'，∠B = ∠B'，
因此△ABC ≌ △A'B'C（角边角）.
由此得到全等三角形的判定定理（角角边）：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角角边）：
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
所以 △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例3 如图，∠B = ∠D，∠1 = ∠2. 求证：△ABC ≌ △ADC.
证明：因为∠1 = ∠2，
所以∠ACB = ∠ACD（等角的补角相等）.
在△ABC和△ADC中，∠?????=?∠????，?∠?????????????=?∠????????????，??????????=?????????，?
所以△ABC ≌ △ADC（角角边）.
?
1.如图，∠1=∠2，AE=AD. 求证:△ADC≌△AEB.
所以△ADC≌△AEB（AAS）.
∠1 =∠2，
∠A =∠ A，
AD = AE，
证明：
在△ADC 和△AEB中，
2.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC 和△DCB 中，
所以△ABC≌△DCB（角边角）.
B
C
A
D
3.已知：在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB， BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E. 求证：BD = CE.
证明：因为 BD⊥AC，CE⊥AB，
在△CDB 和△BEC 中，
∠DCB = ∠EBC，
BC = BC ，
所以△CDB≌△BEC (角角边).
∠CDB =∠BEC = 90°，
所以 BD = CE.
所以∠CDB =∠BEC = 90°.
内容
注意
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成 “ASA”).
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法.
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别.

两角相等和其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成 “AAS”).
用两角一边关系判定三角形全等

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