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运城中学2025-2026学年第一学期高三年级期中考试
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题所给的答案中，只有一个是正确选项.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量的夹角为，且，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A． B．1或 C．或3 D．
7．已知为常数，函数存在极大值，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每题所给的答案中，有多个选项为正确选项.
9．已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数（），下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在上有且只有一个零点
B．若函数在单调递增，则的取值范围为
C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则
D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
11．若函数的定义域为，且为偶函数，的图象关于点成中心对称，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的值域为
C．直线y＝1与函数的图象在区间上有4个交点
D．
三、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数是纯虚数，则实数的值是 .
13．不等式的解集是 .
14．已知函数，则方程的根的个数为 ，其所有根之和的取值范围为 （提示：函数在上单调递增）.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出解题、演算过程.
15．已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和．
(1)求正四棱台的体积．
(2)求正四棱台的表面积．
16．已知等差数列的项，公差．
(1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式；
(2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和．
17．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面的距离．
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.
①求四边形的面积的最大值；
②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.
19．已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值；
(2)若，且图象上任意两点连线的斜率都小于，求的取值范围；
(3)若，求的最小值.
试卷第4页，共4页
答案第2页，共6页运城中学2025-2026学年第一学期高三年级期中考试
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C C B D D AB AD
题号 11
答案 ABD
12． 13． 14． 2
15．(1)112
(2)168
【分析】（1）根据棱台的体积公式计算即可；
（2）求出正四棱台的斜高，计算正四棱台各个面的面积之和即可.
【详解】（1）正四棱台的体积.
（2）正四棱台的斜高为，
所以正四棱台的侧面积，
故正四棱台的表面积.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列的性质可求得的公差，可求得的通项公式；
（2）由题意可得的第50项在和之间，进而利用分组求和法可求得的前项的和.
【详解】（1）由题意可得，，
∵是等差数列，设公差为，
∴，
∴．
（2）因为，，，
即的第50项在和之间．
所以数列的前50项中含有数列的前9项，含有数列的前41项，
所以数列的前50项的和为
.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论；
（2）结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算．
【详解】（1）
直三棱柱中，所有棱长均为4，
上下底面为边长为4的正三角形，侧面为边长为4的正方形，
连接与交于点，则为，的中点，连接DE，
在中，分别为边的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）取中点，中点，连接，则，平面ABC，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
，
为上的点，平面，
到平面的距离d即为直线与平面的距离，
，
直线与平面的距离为：．
18．(1)；
(2)①；②是，0
【分析】（1）设椭圆的方程为，由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；
（2）①求出，设直线的方程为，设点，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由是椭圆C上位于直线PQ两侧，求出的范围，然后表示出四边形的面积，化简可求出其最大值；②表示出直线的斜率和直线的斜率，然后结合前面的式子化简可得答案.
【详解】（1）设椭圆的方程为.
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①当时，，解得，
所以点的坐标为，则，
设直线的方程为，设点，
联立，整理得：，由，可得.
由韦达定理知：，
又是椭圆C上位于直线PQ两侧，则
，解得
四边形的面积
故当时，；
②由题意知，直线的斜率，直线的斜率，
则
.
.
所以的值为常数0.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问解题的关键是设出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导可得，分类讨论当、、时的正负，进而判断其单调性，即可求解；
（2）由函数单调性的定义可知在区间上单调递减，进而转化为不等式恒成立问题；
（3）分离参数可得，利用三阶导数讨论的单调性，求得即可求解.
【详解】（1）当时，，，
当时，，，
当时，，，，
当时，，，，
综上得，时，，单调递增，
所以在区间上的最大值为.
（2）当时，，
设，是图象上任意两点，
则，所以，
设，则在区间上单调递减，
所以，
因为，所以，.
即的取值范围是.
（3）由得，设，
则，
设，则，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
因为，，
所以时，，，单调递增，.
当时，设，
则，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以，的最小值为.
答案第2页，共3页

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