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2025-2026学年六年级数学上册预习学案
第五单元《确定起跑线》
结合田径场跑道的实际结构，理解跑道由“直道”和“弯道”组成，明确不同跑道的直道长度相同，弯道长度不同（由半径决定）。
掌握“圆的周长”公式在跑道弯道计算中的应用，能推导并理解“相邻跑道起跑线差距 = 2π×跑道宽度”的核心规律。
能根据跑道宽度和弯道半径，准确计算相邻跑道起跑线的具体差距，解决“确定起跑线”的实际问题。
感受数学与体育、生活的紧密联系，培养用数学知识分析、解决实际问题的意识和能力，提升逻辑推理与计算能力。
（一）预习重点
分析跑道结构：明确跑道由2段等长的直道和2段等长的弯道（合起来是一个完整的圆）组成，即“跑道总长度 = 2×直道长度 + 弯道圆的周长”。
推导起跑线差距规律：通过对比相邻跑道的弯道周长差，得出“相邻跑道起跑线差距 = 2π×跑道宽度”（弯道半径差等于跑道宽度，周长差 = 2π(R - r) = 2π×跑道宽度）。
（二）预习难点
理解弯道半径与跑道的关系：不同跑道的弯道半径不同，第1跑道弯道半径为内圈半径，第2跑道弯道半径为，第跑道弯道半径为，避免混淆“跑道序号”与“弯道半径”的对应关系。
区分“跑道总长度差”与“起跑线差距”：由于直道长度相同，相邻跑道的总长度差等于弯道周长差，因此起跑线差距等于弯道周长差，无需重复计算直道长度。
实际问题中灵活应用规律：当题目给出不同跑道的弯道半径或跑道宽度时，能准确代入公式计算，避免因数据提取错误导致结果偏差。
阅读教科书《确定起跑线》内容，结合书中田径场跑道插图，圈出跑道的组成部分（直道、弯道）及“相邻跑道起跑线差距”的关键推导过程。
动手画图：在纸上画一个简单的跑道示意图（2段直道 + 2段半圆弯道），标注第1跑道、第2跑道的弯道半径和跑道宽度，直观感受半径差异。
自主推导：假设直道长度为，第1跑道弯道半径为，跑道宽度为，分别计算第1、2跑道的总长度，对比两者差值，验证“起跑线差距 = 2πd”的规律。
完成“概念填空”，巩固跑道结构与起跑线差距的核心知识。
独立完成“预习检测题”：必做题确保掌握基础规律应用；选做题尝试复杂场景（如非相邻跑道差距、已知差距求宽度），核对答案后分析错题原因，明确未掌握的知识点。
（一）回顾旧知
圆的周长公式：（为圆的半径）或（为圆的直径），其中通常取3.14。
田径场跑道常识：标准田径场跑道一圈通常为400米，由直道和弯道组成，且所有跑道的直道长度相同。
（二）新知学习：分析跑道结构
跑道的组成（结合教科书插图）：
观察田径场跑道可知，每一条跑道都由两部分组成：
直道：左右两条直道，长度相等（设为），所有跑道的直道长度完全相同。
弯道：前后两条弯道，均为半圆，且两条弯道合起来正好是一个完整的圆（弯道总长度 = 圆的周长）。
结论：单条跑道的总长度 = 2×直道长度 + 弯道圆的周长（即，为该跑道弯道的半径）。
不同跑道的弯道半径差异：
由于跑道有宽度（设为，即相邻两条跑道之间的距离），外侧跑道的弯道半径比内侧跑道大，且“相邻跑道的弯道半径差 = 跑道宽度"。
举例：若第1跑道（最内侧）的弯道半径为米，跑道宽度米，则：
第2跑道弯道半径米；
第3跑道弯道半径米；
第n跑道弯道半径r_n = r_1 + (n - 1)×d。
（三）推导起跑线差距规律（核心重点）
问题：为什么跑外圈跑道的运动员，起跑线要比内圈提前？提前多少？
分析：由于不同跑道的总长度不同（弯道半径不同导致弯道周长不同，直道长度相同），为了保证所有运动员跑相同的距离（如400米），外圈跑道的起跑线需要提前，提前的距离 = 相邻跑道的总长度差。
计算相邻跑道总长度差：
设：直道长度为，跑道宽度为，第1跑道弯道半径为，第2跑道弯道半径为。
第1跑道总长度：；
第2跑道总长度：；
相邻跑道总长度差：。
结论：相邻两条跑道的起跑线差距 = 2π×跑道宽度（与直道长度无关，仅与跑道宽度有关）。
举例：若跑道宽度米，取3.14，则相邻起跑线差距 = 2×3.14×1.25 = 7.85米，这与教科书例题中的结果一致。
（四）实际应用：确定起跑线（结合教科书例题）
例题：标准400米跑道，直道长度为85.96米，第1跑道弯道半径为36米，跑道宽度为1.25米。求第2跑道的起跑线应比第1跑道提前多少米？
解题步骤：
明确核心规律：相邻跑道起跑线差距 = 2πd，无需计算总长度（直道长度不影响差距）；
代入数据：米，；
计算：米；
答：第2跑道起跑线应比第1跑道提前7.85米。
标准田径场跑道由（ ）和（ ）组成，其中所有跑道的（ ）长度相同，（ ）长度不同（ ）。
相邻两条跑道的弯道半径差等于（ ），若跑道宽度为，第1跑道弯道半径为，则第3跑道弯道半径为（ ）。
相邻跑道起跑线差距的计算公式是：起跑线差距 =（ ）（为跑道宽度），该差距与（ ）无关（填“直道长度”或“弯道半径”）。
（一）必做题（难度较低）
判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
（1）田径场跑道中，所有跑道的总长度相同。（ ）
（2）相邻跑道的起跑线差距仅与跑道宽度有关，与直道长度无关。（ ）
（3）第2跑道的弯道半径 = 第1跑道弯道半径 + 2×跑道宽度。（ ）
（4）若跑道宽度为，则第3跑道与第1跑道的起跑线差距 = 4πd。（ ）
填空题。
（1）一个跑道的宽度为1.2米，
取3.14，相邻跑道的起跑线差距是（ ）米。
（2）某400米跑道，第1跑道弯道周长为226.08米（π=3.14），则第1跑道弯道半径是（ ）米；若跑道宽度为1.5米，第2跑道弯道周长是（ ）米，起跑线差距是（ ）米。
（3）在一个标准跑道中，若相邻起跑线差距为9.42米，
取3.14，则该跑道的宽度是（ ）米。
解决问题。
（1）某小学的田径场跑道，跑道宽度为1米，取3.14。求第2跑道比第1跑道的起跑线提前多少米？第3跑道比第2跑道呢？
（2）一个400米跑道，直道长度为80米，第1跑道弯道半径为35米，跑道宽度为1.2米，取3.14。① 计算第1跑道的总长度；② 求第2跑道比第1跑道的起跑线提前多少米？
（二）选做题（难度较高）
某田径场举办400米赛跑，跑道宽度为1.25米，取3.14。
（1）第5跑道的起跑线应比第1跑道提前多少米？
（2）若运动员从第2跑道换到第4跑道，起跑线需要提前多少米？
一个200米赛跑跑道（仅跑1段直道和1段弯道，弯道为半圆），直道长度为50米，第1跑道弯道半径为20米，跑道宽度为1.1米，取3.14。
（1）计算第1跑道的总长度（验证是否为200米）；
（2）求第3跑道比第1跑道的起跑线提前多少米？（提示：200米跑道的弯道是半圆，周长差 = π×跑道宽度）
已知某400米跑道中，第3跑道比第1跑道的起跑线提前了18.84米，取3.14。
（1）求该跑道的宽度；
（2）若要在该跑道举办800米赛跑（跑2圈），则第2跑道比第1跑道的起跑线应提前多少米？
七、答案
（一）概念填空答案
直道；弯道；直道；弯道
跑道宽度；
；直道长度
（二）预习检测题答案
1. 必做题答案
（1）判断：
① ×（不同跑道弯道半径不同，总长度不同）
② √（由规律“起跑线差距 = 2πd”可知，与直道长度无关）
③ ×（第3跑道弯道半径 = 第1跑道半径 + 2×跑道宽度，第2跑道仅需加1个宽度）
④ √（第3与第1跑道相差2个相邻差距，即2×2πd = 4πd）
（2）填空题：
① 7.536（）
② 36（弯道周长 = 2πr → ）；235.5（第2跑道弯道半径 = 36 + 1.5 = 37.5米，周长 = 2×3.14×37.5 = 235.5）；9.42（，或直接用2×3.14×1.5 = 9.42）
③ 1.5（由“2πd = 9.42” → ）
（3）解决问题：
① 第2比第1提前：米；第3比第2提前：米；
答：第2跑道比第1跑道提前6.28米，第3跑道比第2跑道提前6.28米。
② ① 第1跑道总长度 = 2×直道长度 + 2πr = 2×80 + 2×3.14×35 = 160 + 219.8 = 379.8米（注：题目中“400米跑道”为标准说法，此处计算结果为379.8米，可能因数据简化导致，不影响起跑线差距计算）；
② 起跑线差距 = 2×3.14×1.2 = 7.536米；
答：第1跑道总长度为379.8米，第2跑道比第1跑道起跑线提前7.536米。
2. 选做题答案
（1）400米跑道（相邻差距 = 2πd = 2×3.14×1.25 = 7.85米）：
① 第5与第1跑道相差4个相邻差距：米；
答：第5跑道比第1跑道提前31.4米。
② 第4与第2跑道相差2个相邻差距：米；
答：起跑线需要提前15.7米。
（2）200米跑道（仅1个半圆弯道，周长差 = πd）：
① 第1跑道总长度 = 直道长度 + 半圆弯道周长 = 50 + πr = 50 + 3.14×20 = 50 + 62.8 = 112.8米（题目说“200米赛跑跑道”，此处数据简化，重点在差距计算）；
② 第3与第1跑道相差2个跑道宽度，差距 = π×2d = 3.14×2×1.1 = 6.908米；
答：第1跑道总长度为112.8米，第3跑道比第1跑道提前6.

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