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2024-2025学年度下学期2024级（高一）期末考试卷
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知集合，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2.在复平面内，对应的点位于（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3.某读书会由6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3、2、5、4、3、1，则这组数据的75%分位数为（ ）
A、3 B、4 C、3.5 D、4.5
4.已知向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ）
A、4 B、2或-4 C、-2 D、-2或4
5.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则（ ）
A、若m // α，n // α，则m // n B、若α // β，m⊥α，n // β，则m⊥n
C、若n // α，m⊥n，则m⊥α D、若α⊥β，m // α，n // β，则m⊥n
6.素面高足银杯（如图1）是唐代时期的一件文物。银杯主体可以近似看作半个球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示，已知球的半径为r，银杯内壁的表面积为，则球的半径与圆柱的高之比为（ ）
A、 B、 C、 D、
7.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减。若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
8.已知平面的一条斜线a和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线b和斜线a在平面内的射影的夹角是45°，则直线a、b所成的角是（ ）
A、30° B、45° C、60° D、75°
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9.下列说法正确的是（ ）
A、在△ABC中，已知，，，则
B、向量，，则
C、向量，可以作为平面向量的一组基底
D、已知点A（1，5）、B（4，-7），点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为（2，）
10.在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（ ）
A、A1C1⊥BD B、B1C与BD所成的角为60°
C、A1C与平面ABCD所成的角为45° D、三棱锥A1—ABD的外接球半径为
11.有6个相同的球，分别变号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1。则下列说法正确的是（ ）
A、 B、事件A与事件C相互独立
C、事件A与事件E相互独立 D、事件A与事件B相互独立
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.数据x1、x2、…、xn的平均数，方差，若、、…、，则数据y1、y2、…、yn的平均数 ，方差 。
13.若直线l1：与直线l2：平行，则实数a的值为
14.已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为
四、解答题（共5小题，共77分）
15.（13分）已知△ABC的顶点为A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）。
（1）求AB边所在直线的方程；
（2）求AB边上的高线所在直线的方程；
（3）求△ABC的面积。
16.（15分）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求图中a的值；
（2）若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差；
（3）现学校准备利用分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宜讲团。从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件A为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件A发生的概率。
17.（15分）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示。
在图2中：
（1）求证：平面ABC1⊥平面AC1D；
（2）求点C1到平面ABD的距离d；
（3）求二面角C1—BD—A的余弦值。
18.（17分）在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且。
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围。
19.（17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为。
（1）写出的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值；
（2）已知向量，，函数，求函数f（x）的“伴随向量”的坐标；
（3）已知，的“伴随函数”为f（x），的“伴随函数”为g（x），设（，），且的伴随函数为h（x），其最大值为p。
①若，求p的取值范围；
②求证：向量的充要条件是。

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