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(共17张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第5节 一元二次方程的解法
考点 考频 出题形式 命题角度
一元二次方程的解法 10年5考 1次选择、3次填空、 1次解答 解一元二次方程(3次);
一元二次方程根的判别式;
因式分解法直接求方程的根.
贵阳10年考情分析
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人教版:九上第二十一章　　北师版:九上第二章　　湘教版:九上第2章
2022年版课标变化:
了解一元二次方程的根与系数的关系.(改动,删除“*”,改为必学)
一元
二次
方程
一
2
整式
相等
一元二次方程的解法
≥
一元二次方程
根的判别式
b2-4ac
两个不相等
两个相等
没有
a≤且a≠0
-
过知识
随堂巩固练
1. [一元二次方程的解法]已知方程 .
（1）将方程化为一般形式为__________________， _____，
____.
16
（2）分别用三种不同的解法解该方程（因式分解法、配方法、公式法）.
因式分解法：
由（1）得， ,
解得, .
配方法:
由（1）得， ,
即,则 ,
解得, .
公式法：
由（1）得，,, ,
,
, .
2. 已知关于的一元二次方程 .
（1）[根的判别式，北师九上P43习题1变式]
①若该方程有两个相等的实数根，则 的值为____.
②若该方程无实数根，则 的取值范围为________.
③若该方程有实数根，则 的取值范围是_________________.
且
. .
易错 (1)③解题时易忽略二次项系数不为0的条件
2. 已知关于的一元二次方程 .
（2）若该方程的一个根是1，则 ____,方程的另一个根是_ _.
（3）当 时，求该方程的根.
当时，原方程是,配方得, ,
解得, .
【拓展设问】
（4）[近似解]当 时，根据表格中的信息，估计该一元二次方程的一
个解的范围是__________.
0 1 2 3
5 15 29
过考点
考点 一元二次方程的解法（10年5考）
1.[2025贵州15题4分]一元二次方程 的根是_______________.
,
1年新题针对练
1-1.[2025贵阳南明区模拟]若一元二次方程的一个根是 ，
则另一个根是____.
2.[2023贵州15题4分]若一元二次方程 有两个相等的实数
根,则 的值是__.
1年新题针对练
2-1.[2025遵义汇川区模拟]对于一元二次方程，若“ ”表示
一个数字，且方程有实数根，则“ ”的值可能为________
________________________________.（写出一个即可）
（答案不唯一,满足小于等于4即可）
考点 一元二次方程的解法（10年5考）
3.[2022贵阳17（2）题6分]在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三
种解法.它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程
中任选两个，并解这两个方程.
；；； .
考点 一元二次方程的解法（10年5考）
，
，
.
， .
，
，
， .
，
两边都加上4，得 ，
， ，
， .
，
，
， .
（任选2个方程进行计算，正确即可）
1年新题针对练
3-1.[2025遵义汇川区模拟]已知，是方程 的两个实数根，
则 的值为( )
B
A. B.1 C. D.3
3-2.[2025铜仁碧江区模拟节选]从下列三个方程中任选一个方程，并用适当
的方法解方程.
；； .
，
，
， .
，
，
或 ，
， .
，
或 ，
， .
（任选1个方程进行计算，正确即可）(共19张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第4节 一次方程（组）与
分式方程的解法
考点 考频 出题形式 命题角度
等式的性质 10年1考(仅2024年考查) 选择 天平保持平衡时的关系式.
一元一次方程的解法 10年1考,2025年新增 选择 解一元一次方程.
贵阳10年考情分析
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人教版:七上第三章、七下第八章、八上第十五章　　北师版:七上第五章、八上第五章、八下第五章　　湘教版:七上第3章、七下第1章、八上第1章
贵阳10年考情分析
2022年版课标变化:
掌握代入(删除)消元法和加减消元法(删除),能解二元一次方程组.
一元一次方程及其解法
等式的性质
等式的性质1：等式的两边① 同一个数（或式子），结果仍相等.即若a=b，则a±c=②
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即若a=b，则ac=③ ；若a=b，c≠0，即=④
概念
只含有⑤ 个未知数，未知数的次数是⑥ ，且等号两边都是整式的方程
[一般形式：ax+b=0（a≠0）]
同时加上或减去
b±c
bc
一
1
波
必要条件
【提醒】一般应用于“移项”
【提醒】一般应用于“去分母”“系数化为1”
一元一次方程及其解法
解一元一次方程的步骤
(1)去分母;(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1
【常见误区】1.去分母、去括号时，不要漏任何一项.
2.移项时，不要忘记变号.
3.系数化为1时，容易将分子分母颠倒.
例：解一元一次方程=x+1
解：去分母，得2(x+2)-2(x-1)=6(x+1),
去括号，得2x+4-3x+3=6x+6，
移项，得2x-3x-6x=6-4-3，
合并同类项，得-7x=-1，
系数化为1，得x= .
→依据：等式的性质2
→依据：乘法分配率，去括号法则
→依据：等式的性质1
→依据：等式的性质2
二元一次
方程(组)
及其解法
概念
两
1
两
消元
二元一次
方程(组)
及其解法
概念
另一个
代入
相减
相加
分式方程及其解法
概念：分母中含有 的方程叫分式方程
一般
步骤
分式方程
去分母
x=a
乘 方程
整式方程
解整式方程
最简公分母为0
最简公分母
0
x=a 不是分式方程的解
x=a 是分式方程的解
解分式方程
未知数
最简公分母
不为(或≠)
检验
分式方程第及其解法
解分式方程
(1)去分母化简后的整式方程无解
(2)分式方程有增根(即解出的整式方程的根使原分式
方程的最简公分母为 )
分式方程无解
例：解分式方程= -1
解：方程两边乘(x-1),
得-4=3-x-(x-1),
解得x=4.
检验：当x=4时，x-1≠0，
∴x=4是原分式方程的解
常数项不要漏乘最简公分母
去分母后不要忘加“-”号
不要忘记检验
0
过知识
随堂巩固练
1. 已知关于,的二元一次方程 .
（1）[等式的性质，新人教七上P116例3变式]①因为 ，所以
______，依据是_____________；
②因为，所以____ ，依据是_____________.
等式的性质1
等式的性质2
（2）[解一元一次方程，北师七上P135例1变式]若，则 ____.
. .
. .
（3）[消元思想]若用消元法解方程组 时，利用______消元
法，可得.或利用代入消元法，将代入 ,可
得_ ___________________.
加减
（4）[解二元一次方程组，北师八上P108例1变式]请从下列三个方程中，
任选1个与 组成一个二元一次方程组，并求解该方程组.
；； .
选择方程①，
可得
解得
（答案不唯一，计算正确即可,选择方程②和③的解与①一样）
. .
【拓展设问】
（5）若（4）中方程组的解是关于,的二元一次方程 的一个
解，求 的值.
将代入关于,的二元一次方程 中，
可得 ,
解得 .
2. [解分式方程]已知关于的分式方程 .
（1）去分母得__________________.
（2）去括号得_________________，这一步的依据是__________________
_______.
（3）若该分式方程的解是,则 ___.
乘法分配律或去括
号法则
1
【拓展设问】
（4）若该分式方程的解是非正数，则 的取值范围是________.
（5）当 时，求该分式方程的解.
当 时，
原分式方程为 ，
去分母得， ,
去括号得， ,
移项、合并同类项得， ,
系数化为1得， ,
检验：当时， ，
是原分式方程的解.
过考点
考点1 等式的性质（10年1考）
1.[2024贵州11题3分]小红学习了等式的
性质后，在甲、乙两台天平的左右两边
分别放入“ ”“ ”“ ”三种物体，如
图所示，天平都保持平衡.若设“ ”与
C
A. B. C. D.
“ ”的质量分别为, ，则下列关系式正确的是( )
1年新题针对练
1-1.[2025贵阳清镇模拟]若 ,则下列变形正确的是( )
B
A. B. C. D.
1-2.[2025毕节织金模拟]根据等式的性质，下列各式变形错误的是( )
A
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
考点2 一元一次方程的解法（10年1考，2025年新增）
2.[2025贵州6题3分]已知是关于的方程的解，则 的值为
( )
C
A.3 B.4 C.5 D.6
1年新题针对练
2-1.[2025铜仁碧江区一模]下列方程的解为 的是( )
B
A. B. C. D.(共18张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第6节 一次不等式（组）的解法
考点 考频 出题形式 命题角度
不等式的性质 10年1考 (仅2020年考查) 选择 判断不等式是否成立.
一元一次不等式的解法 10年3考 1次选择、1次解答、 1次填空 解集在数轴上的表示;与整式结合,并求出不等式的解集;根据解集表示,写出不等式的解集.
一元一次不等式组的解法 10年3考 1次解答、2次填空 选择2个不等式,组成不等式组求解集;
含参的不等式组的无解问题;
已知不等式组求解集.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:七下第九章　　
北师版:八下第二章　　
湘教版:八上第4章
不等式
的性质
【注意】若a＞b，则b＜a；若a＞b，b＞c，
则② .
a>c
>
>
>
改变
<
<
【注意】要改变
不等号的方向
﹏﹏
一元一次
不等式及
其解法
1
思考 这个步骤有点熟悉，在哪里见过呢？
一元一次不等式组及其解法
定义:由两个含有同一未知数的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一 元一次不等式组
解不等式组的一般步骤:先分别解出每个一元一次不等式,再求出它们解集的⑨ ,即为不等式组的解集
一元一次不等式组解集的表示
公共部分
x>b
a一元一次不等式组及其解法
【易错提示】在数轴上表示解集时，要注意“两定”
(1)定边界点:“≤”或“≥”是实心圆点”，“＜”或“＞”是空心圆圈
(2)定方向:小于向左，大于向右
一元一次不等式组解集的表示
x>b
a过知识
随堂巩固练
1. 已知关于的不等式组
（1）[解一元一次不等式组]当 时，
Ⅰ解不等式①，得______.
Ⅱ解不等式②，得________.
Ⅲ把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
Ⅳ 不等式组的解集是____________.
【拓展设问】 Ⅴ解不等式①的依据是________________________________
_____________________________________________.
该不等式组的最小整数解是________.
不等式的性质3［或不等式两边都
乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变］
（2）若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则 ___.
3
（3）［人教七下P128例1（2）变式］若不等式组无解，求
的取值范围.
解不等式,得 ,
解不等式,得 .
不等式组无解,
,即 .
. .
过考点
考点1 不等式的性质（10年1考）
1.[2020贵阳8题3分]已知 ，下列式子不一定成立的是( )
D
A. B.
C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025广州番禺区二模]若,且,则 的值可能是( )
B
A.0 B.1 C. D.
考点2 一元一次不等式的解法（10年3考）
2.[2024贵州4题3分]不等式 的解集在数轴上表示正确的是( )
C
A. B. C. D.
1年新题针对练
2-1.[2025杭州模拟]不等式 的自然数解的个数是( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.[2017贵阳11题4分]关于 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该
不等式的解集为______.
1年新题针对练
3-1.[2025西安雁塔区模拟]不等式 的解集是( )
C
A. B. C. D.
4.[2023贵州17（2）题6分]已知,,.若,求 的取值
范围.
，
，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1,得 .
4-1.[2025乐山五通桥区模拟]求与的和为正数时， 的取值范
围，并在数轴上表示出来.
由题意得， ，
解得 .
在数轴上表示如图所示.
1年新题针对练
考点3 一元一次不等式组的解法（10年3考）
5.［2016贵阳11题4分改编］不等式组 的解集为( )
B
A. B. C. D.
. .
1年新题针对练
5-1.[2025长沙一模]不等式组 的解集在同一条数轴上表示正确
的是( )
C
A. B. C. D.
6.[2021贵阳17（1）题6分]有三个不等式， ，
，请在其中任选两个不等式，组成一个不等式组，并求出它
的解集.
选择两个不等式，组成的不等式组为
解得
该不等式组的解集为 .
（答案不唯一）
6-1.[2025黔南州一模节选]定义一种新运算“”：当 时，
.当时， .例如：
， .
已知，求 的取值范围.
由题意知，可列不等式组为
或
由①得 ，由②得该不等式组无解，
的取值范围为 .
1年新题针对练(共32张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第7节 方程（组）及不等式的实际应用
考点 考频 出题形式 命题角度
一次方程(组)的 应用 10年8考 2次填空、 6次解答 列二元一次方程组求解(生产问题);解一元一次方程(数学文化);列二元一次方程组求解(方案问题);列二元一次方程(数学文化);列二元一次方程组求解(利润问题);列一元一次方程求解(购买问题);列二元一次方程组求解(销售问题);列二元一次方程组求解(购买问题).
分式方程的应用 10年4考 解答 生产问题;货运问题;购买问题;行程问题.
贵阳10年考情分析
考点 考频 出题形式 命题角度
不等式的应用 10年6考 解答 设问“不少于”与二元一次方程组结合(车间生产线);设问“不超过”与二元一次方程组结合(劳动实践);设问“至少”与二次函数结合;设问“不超过”与二元一次方程组结合(购买文具);设问“不超过”与分式方程结合(扶贫);设问“不超过”与二元一次方程组结合(安全、禁毒教育).
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:七上第三章,七下第八、九章,八上第十五章,九上第二十一章　　
北师版:七上第五章,八上第五章,八下第二、五章,九上第二章　　
湘教版:七上第3章,七下第1章,八上第1,4章,九上第2章
2022年版课标变化:
①能根据现实情境理解方程的意义(新增),能针对具体问题列出方程.
②理解方程解的意义(新增).
一次方程(组)与分式方程实际应用问题的常见类型
工作时间
解决方程中实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答
一次方程(组)与分式方程实际应用问题的常见类型
进价
进价
列分式方程解应用题的一般步骤
【技巧】双检验:(1)检验是否为分式方程的解;(2)检验是否满足应用题的实际意义
思考 解分式方程应用题的步骤与其他的方程应用题有点不一样，你能看出来吗？
一元二次
方程的实
际应用
(a-2x)(b-2x)
(a-x)(b-x)
(a-x)(b-x)
(a-x)(b-x)
列不等式解决实际问题
常见关键词与不等号的关系如下
≥
≤
过知识
随堂巩固练
1. 在以“爱护环境，绿化祖国”为主题的系列活动中，为进一步美化
校园，学校决定在校园内的空地处栽种一批树苗.
（1）如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵
树苗．若设参与种树苗的有 人，则可列方程为___________________，
参与种树苗的有___人.
6
（2）若学校原计划购买A，B两个品种的树苗共100棵，其中A品种树苗每
棵40元，B品种树苗每棵35元，经测算购买两种树苗一共需要3 800元.小
星据此列出方程组
①表示_____________________, 表示_____________________.
购买A品种树苗的数量
购买B品种树苗的数量
②请补全括号中的内容，并求学校原计划购买A，B两个品种的树苗各多少棵.
解得
答：学校原计划购买A品种树苗60棵，B品种树苗40棵.
（3）在实际购买中，校方与商家协商：两种树苗的售价均下降 元
，且每降低1元，学校就多购买A品种的树苗2棵和B品种的树苗3
棵．若学校实际购买这两种树苗的费用比原计划多了300元，求学校实际
购买A，B两种树苗共多少棵.
依题意得， ，
整理得， ，
解得， （不符合题意，舍去），
.
答：学校实际购买A，B两种树苗共125棵.
（4）学校准备在新校区的空地上也栽种一批树苗，在购买时发现，C品种
树苗的单价比D品种树苗的单价高了 ，用1 800元购买C品种树苗的棵
数比用1 800元购买D品种树苗的棵数少10棵.若设D品种树苗的单价为 元，
①C品种树苗的单价是______________________元.（用含 的代数式表示）
（或）
②求C，D两种树苗的单价各多少元.
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
.
答：C品种树苗的单价是90元，D品种树苗的单价是60元.
（5）学校现在需要购买C，D两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过
8 700元，则至少需要购买多少棵D品种树苗？
设需要购买棵D品种树苗，则需要购买 棵C品种树苗，
由题意得, ，
解得 .
答：至少需要购买70棵D品种树苗.
过考点
考点1 一次方程（组）的应用 （10年8考）
1.[2024贵州15题4分]在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了一道题,
大意是:快马每天行240里（注：1里 米）,慢马每天行150里,慢马先行
12天,则快马追上慢马需要的天数是____.
20
1年新题针对练
1-1.[2025南通模拟]《九章算术》中有一道题大致意思是：有大小两种盛米
的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米.则1大桶加1小桶
共盛__斛米.（注：斛是古代一种容量单位）
考点2 分式方程的应用（10年4考）
2.[2023贵州19题10分]为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需
求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比
更新前提高了,设更新设备前每天生产 件产品.解答下列问题:
（1）更新设备后每天生产___________________________件产品
（用含 的式子表示）.
［填亦可］
（2）更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,
求更新设备后每天生产多少件产品.
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是该分式方程的根且符合实际意义.
.
答：更新设备后，每天生产125件产品.
1年新题针对练
2-1.[2025遵义汇川区模拟]某市要在边长为40米的正方形
文化广场中心建一个半径为10米的圆形花坛，其图案如
图所示，图中阴影部分铺设广场砖.
（1）需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（ 取3）
（米 ）.
答：需要广场砖1 300米 正好铺设完成.
（2）某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，
每天比原计划多铺设 ，提前3天完成任务，求原计划每天铺设广场砖
多少平方米.
设原计划每天铺设广场砖米，则实际每天铺设广场砖米 ，
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天铺设广场砖100米 .
考点3 不等式的应用（10年6考）
3.[2024贵州21题10分]为增强学生的劳动意识,养成劳动的习惯和品质,某校
组织学生参加劳动实践活动.经学校与劳动基地联系,计划组织学生参加种
植甲、乙两种作物.种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生,种植2亩甲作
物和 2亩乙作物需要22名学生.
根据以上信息,解答下列问题:
（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
设种植1亩甲作物需要名学生，种植1亩乙作物需要 名学生，
根据题意得,
解得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1亩乙作物需要6名学生.
（2）若种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生人数不超过55人,则至少种植
甲作物多少亩
设种植甲作物亩，则种植乙作物 亩，
根据题意得， ，
解得 ，
的最小值为5．
答：至少种植甲作物5亩.
1年新题针对练
3-1.[2025遵义汇川区二模]为庆祝我国“春节——中国人庆祝传统新年的社
会实践”在北京时间2024年12月4日列入人类非物质文化遗产代表作名录，
市面上推出一款以蛇年为主题的窗花.某店第一次用600元购进这款窗花，
很快售完，又花1 000元第二次购进这款窗花.已知该款窗花第二次购进的
单价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍.
（1）求该店两次购进这款窗花各多少个.
设该店第一次购进这款窗花个，则第二次购进这款窗花 个，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
.
答：该店第一次购进这款窗花100个，第二次购进这款窗花200个.
（2）第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要使两次购进的
窗花销售完后的总利润不低于1 400元，则每个窗花的售价至少为多少元？
设每个窗花的售价为 元，
由题意得, ，
解得 .
答：每个窗花的售价至少为10元.
规范答题
[2025贵州21题10分]贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球
最大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A,B两种
型号生产线.已知,同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共
200吨,同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共280吨.
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨.
解：设一条A型生产线每月生产抹茶吨，一条B型生产线每月生产抹茶 吨.
由题意得， （4分）→得分点1：正确列出方程组，列对一
个方程得2分
解得 （6分） →得分点2：正确解出未知数的值，解
对一个未知数得1分
答：一条A型生产线每月生产抹茶120吨，一条B型生产线每月生产抹茶80吨.
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A，B两种
生产线共5条 [1] ，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于2 000
吨[2] ,至少需要安装多少条A型生产线
.
. .
. .
.
.
第1步：根据[1]用含未知数的式子分别表示安装A，B两种生产线的条数
设需要安装A型生产线条，则安装B型生产线 条.
第2步：根据[2]列出不等式
由题意得, ,（8分）
→得分点3：正确列出不等式,得2分
第3步：根据题意求出最小正整数值
解得 .（9分） →得分点4：正确解出不等式的解集,得1分
为正整数,
的最小值为3.
答：至少需要安装A型生产线3条.（10分）→得分点5：取值正确,得1分
【注意】①本题审题易粗心，遗漏“4个月”关键字眼，导致最后计算结果
为“安装A型生产线至少40条”，与题目“安装相同型号的A，B两种生产线
共5条”矛盾.
②不等关系词理解错误，“不少于2 000”书写成“”或“ ”导致
失分.
③遗漏实际意义的检验从而缺少取整过程，或取整错误，作答时书写成
“至少需要安装A型生产线2.5条”或“至少需要安装A型生产线2条”导致失分.

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